피보나치 수열

[누리]

한 쌍의 토끼가 있다. 이 토끼는 매달 암수 한 쌍의 새끼를 낳으며,
새로 태어난 토끼도 태어난 지 두 달 후면 어미가 되어 꼭 한 쌍씩의 새끼를 낳는다고 한다.
1년이 지나면 토끼는 모두 몇 쌍이나 태어날까?"

1년 동안 매달 태어나는 토끼 쌍의 수는 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144이고 합계는 376쌍 이다.

각 달에 태어난 토끼 쌍의 수를 순서대로 나열해보면 규칙이 있는 수들의 나열로 나타남을 알 수 있다.
이러한 규칙이 있는 수의 나열을 우리는 수열이라고 한다.
그렇다면 이 수열만의 독특한 특징은 무엇일까?

① 1로 시작한다.
② 처음에 똑같은 두 수가 반복된다.
③ 두 번째 수부터는 맨 앞자리 단위의 수가 반복된다.(1, 2, 3, 5, 8)
④ 연속하는 두 수의 합이 다음에 나타난다.
⑤ 수들이 홀수, 홀수, 짝수로 이어진다.
⑥ 4의 배수 번째에 있는 수들은 3의 배수이다.
⑦ 이웃하는 두 수의 차이들도 같은 규칙의 수열을 이룬다.


위와 같은 특징 중에 갖는 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... 와 같이 선행하는 두가지 숫자의 합이
다음 합의 수치가 되는 특징을 뽑아 갖는 특수한 수열을 피보나치 수열이라고 한다.

위에 주어진 문제는 중세의 대표적인 수학자로 손꼽히는 피보나치가 세계의 여러 곳을 여행하다가
인도-아라비아 수학의 실용성을 통감하고 귀국한 후 1202년에 지은 산반서( Liberabaci)에 나오는 문제이다.
이 문제의 풀이에 나오는 수열을 나중에 E. Lucas라는 사람이 "피보나치 수열"이라고 이름을 붙일 만큼 유명한 수열이다.
피보나치는 어느 날 집에서 기르던 토끼가 새끼를 번식하는 과정을 보면서 이 수열의 아이디어를 착안했다고 한다.

또한 피보나치 수열의 연속된 항의 비를 계산하면 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.666…, 8/5=1.6, 13/8=1.625 등이 된다.
이것은 황금비 1.618…,에 가까이 간다는 사실이다.

단순한 흥밋거리에 불과할 수도 있는 이 수열은 수학의 여러 분야와 컴퓨터 과학에서 매우 의미있게 응용된다.
실제로 피보나치 수열과 이와 관련된 사실을 주로 다루는 학술지인 '피보나치 계간지'도 있다.
1963년에 창간되 이 잡지는 매년 4-5호를 발간한다. (www.sdstate.edu/~wcsc/http/fibhome.html참조)

피보나치의 수열은 자연현상 여러곳에서 발견되곤 한다.
이 부분은 다른 곳을 빌려 자세하게 설명하기로 하고 여기서는 간단한 예만 들어본다.


① 황금비 : 황금 분할이란 어떤 길이의 선분을 짧은 선분과 긴 선분 2개로 나눌 때, 짧은 선분의 길이 대 긴 선분의 길이의 비가 긴 선분의 길이 대 전체 선분의 길이의 비와 같도록 나누는 것이다. 보통 1 : 1.618로 일컬어 지는데 이것은 3:5이다.

② 증권시장과 피보나치 : 증권시장에서도 피보나치의 이러한 수학적 원리가 적용될 수 있다는 사실은 1930 연대 미국의 증권가인 엘리어트에 의해서 관찰되었다.

③ 피보나치와 국화과의 꽃 : 해바라기 씨의 배열을 생각하면, 중심에서 가장자리로 뻗어나온 바른 시계 방향과 반 시계 방향의 나선의 수를 세어 보면 피보나피 수열의 이웃하는 두 항임을 알 수 있다. -실제로 세어보세요^^;; 전 포기-

④ 솔방울(5,8) / 식물의 잎사귀 / 달팽이 / 우리의 몸 /음악등에서도 관찰되어 진다..



사실 이러한 것들을 일일이 나열하기는 힘들죠. 자신이 한번 스스로 찾아 보세요.