이차방정식의 활용 문제를 풀 때에는 다음의 순서로 문제를 푼다. ① 문제의 뜻에 알맞은 수량 관계를 파악한다. ② 적당한 것을 미지수
로 놓고 방정식을 세운다. ③ 방정식을 푼다. ④ 구한 근 중에서 문제의 뜻에 맞는 것만을 답으로 한다. 이차방정식의 활용 문제 중 도형의 길이 또는 넓이에 관계된 문제를 풀 때 다음의 내용이 자주 이용되므로 잘 알아 두자.
가로, 세로의 길이가 각각
인 직사각형에서 (넓이)
(둘레의 길이)
반지름의 길이가
인 원에서 (넓이)
(원의 둘레의 길이)
윗변의 길이가
, 아랫변의 길이가
, 높이가
인 사다리꼴에서 (넓이)
▶▶ 보기
둘레의 길이가
이고, 넓이가
인 직사각형의 가로의 길이를
라 할 때,
의 값을 구해 보자. 세로의 길이를
라 하면 둘레의 길이가
이므로
넓이가
이므로
또는
따라서 가로의 길이는
또는
이다.
가로, 세로의 길이가 각각
인 직사각형에서 가로, 세로의 길이를 똑같이 늘렸더니 넓이는 처음보다
만큼 늘었다. 늘린 길이를 구해 보자.
늘린 길이를
라 하면 가로, 세로의 길이를
만큼 늘린 직사각형의 넓이는
가 되므로 이차방정식을 세우면
또는
는 길이이므로
이어야 한다.
따라서 늘린 길이는
이다.
어떤 원의 반지름의 길이를
늘렸더니, 늘어난 넓이는 처음 원의 넓이의
배가 되었다. 처음 원의 반지름의 길이를 구해 보자.
처음 원의 반지름의 길이를
라고 하면 (늘어난 넓이)
(처음 원의 넓이)이고, (늘어난 넓이)
이므로
또는
이므로
따라서 처음 원의 반지름의 길이는
이다.
정사각형의 가로의 길이를
줄이고, 세로의 길이를
늘렸더니 직사각형 의 넓이가
가 되었다. 처음 정사각형의 한 변의 길이를 구해 보자.
처음 정사각형의 한 변의 길이를
라고 하면 새로운 직사각형의 가로의 길이는
, 세로의 길이는
이므로 (직사각형의 넓이)
또는
이므로
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는
이다.
어떤 원에서 반지름의 길이를
늘렸더니, 넓이가 처음 원의 넓이의
배가 되 었다. 처음 원의 반지름의 길이
를 구해 보자.
근의 공식에 의하여
이므로
따라서 처음 원의 반지름의 길이는
이다.
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