<p style="text-align: left;">정수다항식환 Z[x]에서 주아이디얼 (1)이 전체집합이 된다고 하셨는데 <br>1은 x를 생성하지 못한다고 생각이 들어서요! <br><br>x는 생성하지 않고 각 항의 계수인 a_i만 생성해도 주아이디얼이 되는 건가요?<br></p>
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@리수주아이디얼의 정의를 잘못 이해하신 것 같습니다. 주아이디얼은 하나의 원소로 생성된 아이디얼을 의미합니다. (a)는 하나의 원소 a로 생성된 아이디얼이라는 의미이므로 주아이디얼입니다. 1/2은 Z[x]의 원소가 아니므로 (1/2)은 Z[x]의 아이디얼이 아닙니다. (아이디얼이 아니므로 주아이디얼도 아닙니다.)
첫댓글 Z[x]는 pid가 아닙니다. 즉 한원소로 생성할 수 없어요! 첫번째 질문자체가 성립안합니다!
강의에서 첫번째 줄처럼 언급하셔서요! 그러면 (1)이 전체집합이 된다는 말은 정수환 전체를 의미하는 걸까요? (강의 40페이지 Ex4.2.2에서 f가 +-1이 아닌 걸 보일 때 그렇게 말씀하셨습니다!
@리수 Z[x]가 아니라 Z인것 같은데 필기해놓은건 있으신가요?
@청하 PID는 "모든" 아이디얼이 하나의 원소로 생성된 아이디얼인 경우를 이야기합니다. Z[x]가 주아이디얼정역이 아닌 건 맞지만, (1)은 Z[x]에서 주아이디얼입니다.
@리수 아이디얼의 특징은, 아이디얼의 원소와 환 R의 원소가 곱해지면 다시 그 아이디얼에 포함되는 것입니다. 1이 아이디얼 I의 원소이면 R의 어떤 원소 r에 대해서도 1*r = r ∈ I 이므로 R의 모든 원소가 I에 포함됩니다. 즉, I= R입니다.
다항식환 R[x]에서 R의 원소로 x를 생성하지 못한다는 것과 착각하신 것 같은데요, 이때 x는 R에 포함되지 않으므로 R의 아이디얼로 볼 때 (1)은 x를 생성하지 못합니다. 그렇지만 (1)을 R[x]의 아이디얼로 본다면 x도 생성하게 됩니다.
@심대원 감사합니다 교수님.
그러면 (1/2), (1/3)은 모두 Z[x]의 주아이디얼이 되는 거죠?
1보다 큰 a에 대해 (a)가 정수다항식환의 주아이디얼이 될 수 없는 게 맞을까요?
@리수 주아이디얼의 정의를 잘못 이해하신 것 같습니다. 주아이디얼은 하나의 원소로 생성된 아이디얼을 의미합니다. (a)는 하나의 원소 a로 생성된 아이디얼이라는 의미이므로 주아이디얼입니다. 1/2은 Z[x]의 원소가 아니므로 (1/2)은 Z[x]의 아이디얼이 아닙니다. (아이디얼이 아니므로 주아이디얼도 아닙니다.)
@심대원 감사합니다! 아이디얼의 정의를 간과했습니다!