Geometry 8/16 5회차-스튜어트 정리와 각의 이등분선에서 그 응용

[20107 노도현]

5회차
2020.8.16 일요일 - 시작 스터디카페 6호점
학습 주제-평면 기하학의 테크닉(Titu Andreescu 저), Solving Problems in Geometry(Kim Hu Hang, Haibin Wang 저)
활동시간-3시간

1. 포괄적 활동내역
동아리 회의: 8월 30일부터zoom 회의로 진행할 계획임
동아리 활동: 평면 기하학의 테크닉이라는 책에서 스튜어트 정리라는 삼각형의 길이에 대한 일반화된 공식을 알아내고 이를 특수한 상황에 도입하였다. 내심과 무게중심에서 삼각형의 변까지의 '사선' 거리를 유도하는 공식을 따름정리 02로, 외심과 내심 사이의 거리를 유도하는 공식을 따름정리 03으로 유도하였다.

2. 활동내용
a. 제 2 cos법칙, 스튜어트 정리
위 정리들이 이용되는 문제들을 풀고, 이를 증명했다.
제 2 cos법칙-a^2=b^2+c^2-2bc*cosA 스튜어트 정리- 삼각형 ABC에서 D를 BC위의 점이라 하고, BD, DC, AD의 길이를 m, n, d라 하면 a(d^2+mn)=b^2*m+c^2*n이 모든 임의의 삼각형에서 성립한다.
증명은 아래 사진을 참고하라. 제 2 cos법칙의 증명은 규민이와 예빈이가, 스튜어트 정리의 증명은 나와 승호가 한 것이다.

b. 따름정리 02-내심과 무게중심에서 삼각형의 변까지의 사선 거리
이번 시간에는 정리 3개를 새롭게 유도하였다. 네 가지 공식 모두 실제 상황에서 유용하게 쓰일 수 있고 신비롭지만(웃음) 그중 계산만을 바탕으로 한 따름정리가 바로 이 따름정리 02이다.
저번 시간의 따름정리 01을 기억하는가? 저번 시간의 따름정리에서는 각 A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 했을 때 AI:ID를 b+c:a로 정의하는 따름정리를 유도하였다. 이번 시간에는, 각의 이등분선 정리와 스튜어트 정리를 공통으로 적용하여 AI+ID의 길이를 삼각형의 각 변의 길이로 표현하였고(AD=sqrt[bc{1-(a/b+c)^2}]) 이를 따름정리 01과 규합하여 내심에서부터 각의 이등분선과 삼각형의 한 변의 교점까지의 거리를 나타내었다.(ID=a/(a+b+c)(b+c) * sqrt[bc{(b+c)^2-a^2}]--따름정리 02)
이는 내가 스터디 카페에서 한 생각으로서, 단순히 저번 시간의 정리에서 한 발짝 더 나아간 것일 뿐이었다. 그렇기에 새로운 정리로 게시판에 올리기 껄끄러운 면이 있어 고민하고 있던 중 승호한테서 연락이 왔다. 이를 내심에서부터의 거리라는 정리라는 제목으로만 하지 말고 무게중심이라는 속성을 추가하자고 말이다. 그래서 하나 더 정리하게 된 것이 무게중심에서 변까지의 사선 거리이다.
내심에서 사용한 유도과정과 완벽히 일치하는 증명이다. 변 BC의 중점을 M이라 하면, AM=sqrt{(b^2+c^2/2) -- (a^2/4)}임을 갖은 계산 후 유도할 수 있었다. 이 증명과정 또한 밑의 사진에 첨부해 놓으려 했으나 어떤 이유에서인지 용량 제한으로 첨부되지 않아 다음 게시물에 다로 올리도록 하겠다.

c. 따름정리 03-외심과 내심 사이의 거리: 외접원의 반지름과 내접원의 반지름으로 표현
이 정리는 참 참신하다고 생각한다. 삼각형의 내심과 외심 사이의 거리를 외접/내접원의 반지름으로 표현하는 정리, 이는 우리가 배우는 중학교 2학년 과정 내로 증명할 수 있음에도 정말 헷갈리는 정리라 표현하고 싶다.
우선 결론부터 보자. 삼각형의 내심 I와 외심 O 사이의 거리는 다음을 만족한다.
OI^2=R^2 - 2Rr ----------(따름정리 03) R은 외접원의 반지름, r은 내접원의 반지름이다.
이 증명과정도 이곳에 첨부하고 싶었으나 용량 관계로 간단히 설명만 하겠다. R^2-OI^2은 외접원에 대한 내심에서의 방멱값을 나타낸다. 이를 코사인 법칙을 통해 적절한 변환을 주면, 공식을 유도할 수 있을 것이다.
이 아이디어는 규민이가 내신 수학문제를 풀던 도중 떠올렸다고 했다 ㅎㅎ 음,,,
내심과 외심 사이의 거리를 공식으로서 유도할 수는 없을까? 했던 그의 생각은 실전으로 이어져 우리 동아리가 1시간 15분동안 고민했던 공식의 결과로서 나오게 된 것이다.

3. 활동 후 소감
Geometry 동아리 전체 공동의견: 어려운 정리들이었고, 증명하는 과정도 복잡했다. 수학을 해본 사람이라면 알듯이 알려진 문제를 푸는 것이 어렵다면 알려진 문제를 증명하는 것은 그보다 어렵고 새로운 문제를 만드는 것은 또 그보다 어렵다 했다. 오늘 우리는 저번 시간에 이어 두 가지 공식을 새로 만들어보았다. 첫 공식은 계산이 정말 복잡했지만 의외로 공식 몇 번만 쓰고 정리하면 되는 정리였다. 그러나 두 번째는 정말 오랜 토론 끝에 유도된 공식이었다. 노도현은 오일러의 직선을 통한 증명을 하고자 하였고, 이승호는 오심의 본질로 돌아가 문제를 해결하고자 하였으며, 임예빈은 이를 기하적 작도를 통해 이등변삼각형을 찾아 유도하고자 하였고, 나규민은 몽셸의 보조정리(저번 차시에 배운 정리)를 통한 유도를 하고자 하였다. 네 명으 의견이 어우러져 오래토록 생각을 한 끝에 문제를 해결할 수 있었고, 이는 사고력을 기를 수 있었던 좋은 기회였던 것 같다!

4. 다음 시간 활동
8월 23일 일요일에는 오늘 풀면서 부족하다고 느꼈던 삼각형의 오심에 관한 내용을 공부할 예정이다. 내심, 외심, 무게중심, 수심, 방심에 대한 공부가 벌써부터 기대되는 바이다.