수학 수학사상사3-1 - 모리스 클라인

[나목]

* 여기로 옮겨오면서 수학 기호가 다 깨졌으니, 파일로 보기를 권한다. 그리고 파일에는 수학사 구체에 대한 아주 상세한 인용이 있다.

수학사상사3-1 모리스 클라인.hwp

책

『수학사상사 3』

표제/저자사항

수학사상사.1-3 / 모리스 클라인 지음 ; 심재관 옮김

Kline, Morris[1908-1992] 심재관[1961-]

발행사항

서울 : 경문사, 2016

형태사항

3책 ; 23 cm

총서사항

(경문수학산책 ; 44)

주기사항

원저자명: Morris Kline

원표제: Mathematical thought from ancient to modern times (1972)

참고문헌과 색인수록

영어 원작을 한국어로 번역

저자 소개

저자 : 모리스 클라인

저자 모리스 클라인(Morris Kline, 1908-1992) 은 뉴욕 대학교에서 박사학위를 받았으며, 1938년부터 1975년까지 뉴욕 대학교 쿠란트 수리과학연구소에서 교수로 재직하며 학생들을 가르쳤다. 은퇴 후에도 쿠란트 수리과학연구소 명예 교수로 일하며 수학과 수학교육에 관한 다양한 저술을 남겼다. 순수 수학만이 아니라 응용 수학의 의미와 가치를 대중적으로 인식시키는 데 크게 공헌했다.

주요 저서

《수학 입문》(Introduction to Mathematics, 1937)

《수학, 문명을 지배하다》(Mathematics in Western Culture, 1953)

《수학과 물리 세계》(Mathematics and the Physical World, 1959)

《왜 교수는 못 가르치는가?》(Why the professor can't teach?: Mathematics and the dilemma of university education, 1977)

《수학의 확실성》(Mathematics: The Loss of Certainty, 1980)

《비수학자를 위한 수학》(Mathematics for the Nonmathematician, 1985)

《지식의 추구와 수학》(Mathematics and the Search for Knowledge, 1985)

역자 : 심재관

역자 심재관은 건국대학교 영문학과와 고려대학교 수학과를 졸업하고, University of Illinois at Urbana-Champaign에서 박사학위를 취득했다. 옮긴 책으로 《그림 없는 그림책》, 《존재하는 무》, 《피그말리온 효과》, 《수학의 확실성》, 《과학의 언어, 수》 등이 있다.

서평

무한과 실체

칸토어(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845~1918)의 연속체 가설 의 (1)긍정과 (2)부정은 영혼과 몸체의 상응을 해명하는 두 방식이다.

: 이 가설이 옳다면 가장 낮은 단계의 무한( 알레프)의 부분집합 개수는 연속체의 기수( , 체)와 같다. 따라서 실수 집합에서 만들어내는 부분집합들의 개수는 연속체에 있는 기수들의 개수와 같다. 엄밀히는 다른 개념이지만, 선을 연속체로, 그 선에 있는 점들을 낮은 단계의 무한이라고 생각하면 이해하기 쉬운데, (1)여기서 이 점들의 체계가 만들어내는 부분집합 개수는 그 자신의 무한을 넘어서서( > ), 2차원에서 1차원이 측량되듯이, 그 선 자체의 체계로 세어지며 심지어 같다는 것이다. 이렇게 무한의 무한을 정의할 수 있는 공리가 있다면, 이 연속체( )를 다음의, 이라 할 수 있고( ), 더 일반화하여, 식으로 무한하게 상위의 무한을 만들어낼 수 있다. (2)반대로 이 공리가 성립되지 않는다면( ), 상위의 무한을 만들 수 있는 근거는 사라지고, 연속체와 가장 낮은 단계의 무한 사이에 있는 다른 단계의 무한들의 입지가 생긴다. 예를 들어, 유리수와 무리수 사이의 무한이 있다는 것인데, 이는 새로운 수 체계 자체를 상정해야 하는 일이라서, 숫자로 직접 보일 수 없는 집합론적 이론 작업이다(강제법).

참고로 칸토어는 이 가설의 부정 증명과 긍정 증명을 번복하며 거듭하다가 결국 결론내리지 못한 채 사망하였고, 이후 현대 수학에서는 이 가설이 틀리기도 하고, 옳기도 하다고 ‘증명’하였다. 그리하여 현대 수학에서는 두 계열의 수학이 있다.

자연이라는 온실체(Substance)는 연속체이다. 그리고 자연이라는 온실체는 수학적으로 표상한다면 연속체라고 할 수 있다. 이 실체 안에는, 그러니까 연속체 안에는 그 자신을 드러내는 여러가지 방식들의 무한이 있을 수 있다. 스피노자(1632~1677)는 분리된 속성인 사유로 실체를 파악하거나, 너비로 실체를 파악할 수 있다고 하였는데, 그는 우주가 정량적이라는 17세기의 상식 아래에서 이렇게 전개하였지만, 여기서 칸토어의 19세기를 통과한 우리는 우주가 스스로 창성(創成)하는 실무한이라는 것을 받아들이자. 그렇게 이 무한 중 두 가지를 우리는 사유(pensée)와 너비(étendu)로 번역한다. 사유, 가깝게는 우리의 생각과 생각들은 단위화되면서도 유한하지 않고, 사실상 개체 안에서는 단속적인 무한을 우주 안에서는 영구적인 무한을 표하는, 무한체다―여기서 ‘사유’라고 한 것을 모종의 정신, 특히 원리의 동치로 유연하게 받아들이자. 또 너비, 가깝게는 몸의 움직임도 마찬가지로 무한체다―역시 질료. 그렇지만, 칸토어가 밝혔듯이 무한 안에서도 결이 다른, 특히 크기가 다른 여러 무한이 있을 수 있고, 이 사유와 너비도, 이번에는 스피노자를 따른다면 겹치는 원소가 없는, 다른 무한체들이다. 데카르트, 그리고 스피노자는 이 두 가지를 판명하게 예시할 수 있었지만, 그만큼 명시되지는 않더라도 다른 무한체들도, 있을 것이다. 더 중요한 것이 있다. 각각 계열의 무한체들이 각각의 관계(relation) 속에서 한편 재인하고 한편 재현한다고 할지라도, 한편 생각하고 한편 사랑한다고 할지라도, 이 타동사들이 함께, 한번에 연관(rapport)되는 그 자체로서는 단박에 온실체인 연속체를 말한다는 것이다. 원리상, 선 위에 점이 있을 수 있지만, 점 위에 선이 있을 수는 없는 것처럼, 혹시나 이 무한체들을 파악하지 못하더라도, 연속체는 분명하게 있다. 하지만 실체, 연속체 없이 이 무한체들은 결코 있을 수 없다.

드디어 칸토어의 연속체 가설을 우리는 여기서 만나게 된다. (1)먼저 이 가설을 긍정하면, 이 성립하고, 이는 하위 서열의 무한을 포함하면서도 그 아래 서열의 무한을 내포하는 상위 서열의 무한의 존립근거가 된다. 이것은 초월론이다. 즉 단순히 무한, 무한이 있다는 것이 아니라, , 즉 무한, 무한의 무한....이 있다는 것이다. 이렇게 보면 온실체란 무한히 상위 계급자를 요청하는 원리 자체가 되어버린다. 무한평면이란 무한계열들이 서로 혼합(混合)되지 않은채 혼일(混一)되는 두깨가 있는 생생한 대지인데, 이 원리 아래에서는 이 무한평면은 내세를 기다리고 있는 이승으로 전락해버린다.

(2) -연속체 가설을 부정한다면, 우주 전체의 공연성을 소묘할 수 있는 무한평면이 열린다. 이 가설의 부정은 무한을 지수로 양산되는 계서적인 무한집합들을 금지한다. 이것은 내재성이다. 연속체는 다른 평면을 요청하지 않고 이 평면 그 자체로 끝없는 무한이 되어 무한정 할 수 있다. 연속체와 무한체의 관계는, 온실체와 실체의 관계와 같다. 생명체는 좁게 보아 개체로서 실체이지만, 그것은 온실체의 지속 원리를 동시적으로 달리게 하는 무한이었고, 무한이고, 무한이겠다. 즉 무한체로서 온실체의 실체이다. 이 온실체의 실체로서의 무한체가 비록 온실체보다 관념상 작은 무한이라는 투로, 예컨대 우주보다 우리는 미미한 존재라고, 빈번하게 우리가 말하게 될지라도, 그것은 기호를 가진 우리 인간의 한 온당한 개념작업(conception)일 뿐인 것이고, 사실상 연속체와 연속체 안의 무한은, 온실체와 실체는 서로가 서로의 몸으로서만 현존한다. 자기자신이 없다면 우주가 있다고 어떻게 여길 수 있는가? 즉 온실체와 실체는 동일한 무한평면에서 지속한다.

한편으로 실체들의 무한발산이, 온실체의 무한발산 보다 크기가 작다는 것은 다른 심대한 의미가 있다-수학에서는 개수가 작다고 말한다. 생명의 자기창조는 생명의 자기 기호화이다. 여기에서 마치 온실체는 개념으로서는 실체의 자산(資産)처럼 있다. 자기 기호화는: 실체를 만드는 일이 아니라 연속체에 유리수 등의 무한이 참여하듯이 온실체에 참여하는 일이며, 온자연을 기억하는 무한한 심층의 연속체를 파고들어서 추억하는 회로를 뚫어다 세계를 새로이 지각하는 기호가 되고 세계가 새로이 지각할 수 있는 기호를 만드는 일-그것으로서 다시 온실체에 참여하는 일이며, 마치 자연수 사이에서 유리수를 유리수 사이에서 무리수를 찾을 수 있듯이 안쪽으로 기억을 파들어가는 동시에 바깥으로 지각을 부풀려가는 신비스러운 발표 작업이다. 무한 안에서 무한소들이 그렇지 않은가. 스피노자와 그 시대 사람들은 이 무한, 즉 신이 드러났기만 한 것이 아니라, 태어날 수도 있다는 생각까지는 하지 못했다. 다만 베르그송이 우주는 신을 창조하는 기계라고 하지 않았던가.

다시 스피노자의 평행주의를 번역해보자. 사유와 너비라는 무한체로 이야기를 해보자. 사유 무한체와 너비 무한체가 있다. 혹자는 공시하기 까다로운 또다른 무한체를 자기 속성으로 느낄 수도 물론 있다. 이 무한체들은 실수 안에 다른 수가 그렇듯이, 서로 엮이면서 하나의 더 커다란 연속체에 참여하고 있는데, 우연히, 어쩌면 노고 끝에, 별안간 그 참여에 있는 두 무한체의 연관을, 그러니까 온실체로서의 실체들의, 사유와 너비의, 데카르트와 스피노자와 라이프니츠 등등을 따르면, 설명하기 매우 난해한 그 연관을 영혼 자체로서 감지하게 된다. 달리 말해, 내가 그저 있는 것이 아니라, 한 자아로서; 우주와 함께 더불어 있는 표현과 내용의 동연성 자체라는 자각을 한다. 연속체의 한 구간에서 영혼에 회로를 만드는 이 탐험은, 아주 특별하게는, 온실체와 함께가는 또다른 무한체를 심층에 뚫어 표면에 흘러넘치게 한다. 안타깝게도 적당한 깊이에서 빈손으로 돌아오는 경우도 없지는 않을 것이다. 그런데 이렇게 돌올한 신비가도 물론 신기하지만은, 누구도 통과하지 않은 사람이 없는 가장 신비롭고 원초적인 실체로서 무한체의 탄생은, 이 영혼이 그 스스로가 실체가 되어(devenir) 다른 실체와 상응하여 돌연한 실체를 만들고, 이 실체로써 좁게는 진화사에, 그리고 성쇠는 알 수 없을지라도, 결국 넓게는 자연에 참여하는 그일일 것이다.

* 비유클리드 기하학의 철학사적 의미에 대해서는 많은 책에서 이미 서술하고 있다. 초등학생, 중학생, 고등학생, 대학생 수준까지 다양하게 있다. 고등학교 교과과정까지 빠지지않고 수학이 편재되어 있다는 것의 영향이 이리도 크다. 다만 이 책에서는 대학생 수준이다. 그래서 굳이 내가 길게는 서술할 필요는 없다.

짧게만 말해보자면, 리만과 가우스의 미분 기하학은 비유클리드 기하학을 개시하였고, 여기에 케일리, 특히 클라인은 중요한 것은 ‘곡면’이 아니라, 대수적 불변량이라는 것을 밝혀내서, 대수 기하학을 전개한다. 이 진행의 의의는 심지어, 곡면도 평면도 아닌, 심지어는 비구현적인 기하학 조차도 얼마든지 ‘해석’될 수 있다는 것이다. 공간개념의 절대성이 파괴되는 장면이다. 대수 기하학의 중요성이 이렇게 부각되는 가운데, 해석학에서의 엄밀성 문제가 부각되었고, 칸토어가 등장하여 무한에 대한 개념을 수학사에 등록한다. 칸토어의 이 논의는 현대 집합론의 전개의 초석이 된다.

나로서는 이 수학사의 전개를: 공간에서 공간을 유추해가는 유클리드 기하학의 방식에서, 비유클리드 기하학의 도출, 급기야 공간 개념의 경성에 결정적으로 금이간 시점이 칸토어 시대이고, 그 이후는 시간의 실재화로서의 공간개념을 직관할 수 있는 문법으로 나아갔다고 정리하고 싶다. 다차적인 힘들 그 자체의 투사가 공간과 기호가 되는 것 아닐까. 이 진행이 현대에 와서는 심지어 수학자 사이에서도 다른 수학 분과를 이해할 수 없을 정도로 그 난도가 극악해진 것만은 분명한데, 그렇게 시간으로서 공간 모형을 개념화하는 것이 어려운 일이라서 그러한 것은 아닐까?

그 극단에는 감지할 수 없는 무한을 거의 무한하게 상정하는 인식불가능한 다차원 공간에서의 초대칭성 연구가 있을 것인데, 이 수학 연구가 고정된 형상 속에서의 지속 개념을 파기하고, 지속 속에서 제 형상을 창조해가는 바로서 진동 자체를 만물의 기저로하는 초끈이론의 기반이라는 것은 우연이 아닐 것이다. 그렇지만 나는 이 초끈이론 조차도 어찌하였든 한정된(peras) 진동을 상정한다는 점에서 진화한 원자론 같아서 불편하다.

*이 책의 정말 재미있는 부분은 여기서 다루고 있지 않은 후반부이다. 칸토어까지의 수학사는 수학사 서적에서 많이 다루는 부분이다. 여기까지 쓴 다음에 보통 급하게, 직관주의와 형식주의 논쟁으로 장을 할애하고 끝내는 것이, 모리스 클라인의 다른 수학사 서적을 포함하여 통상의 방식이다. 하지만 보통 그 이후의 수학사는 자세하게 다루지 않는다. 그 후의 수학사의 공간다루기가 어떻게 유동성다루기에 ‘접근’해가는지가 기대된다. 그 부분은 따로 다루어야 할 것 같아서, 남아 있는 장은 지금 다루지 않는 것이다.

*저자가 서문에서 부터 밝히듯이 이책은 수학전공자를 대상으로 한 책이다. 나는 이 분야 전공자는 아니지만, 다른 전공자라도 이 때에는 이 정도는 읽어야 하나하는 생각으로 읽었다. 이 말은 단순히 수학을 문명사 속에서 다루는 것이 아니라, 수학 그 자체의 역사를 구체적으로 공리를 제시해가며 서술하고 있다는 말이다. 꼭 전공자가 아니더라도 , 나는 아니었지만, 수식을 이해할 소양이 있는 사람이라면, 굵직한 수학과 수학자들 사이에 있는 수리적 영향들을, 어느 책에서 보다 적실하게 체험할 수 있다. 그리고 더 능력이 있는 사람이라면, 다음 시대 수학에 대한 영감까지도 받을 수 있을 것이다.

요컨대 이 책은 수학 세계 자체의 구축을 우리에게 보여주고 있는데, 여기에서 드러나는 시대의 인식론들까지 상세히 해명하고 있지는 않은 것이다. 그러나 단순히 유클리드, 비유클리드 세계관 차이 정도만을 증명하는 다른 수학사 책과 달리, 이 책은 여태 어떤 책보다 풍부하게 수학사의 미분화를 따라가고 있다. 비록 자료 그 자체이지만.

목차 1

수학사상사 1권

1장　메소포타미아의 수학

1. 수학이 시작된 곳은 어디인가? 1 / 2. 메소포타미아의 정치사 2 / 3. 숫자 3 /

4. 산술 연산 6 / 5. 바빌로니아의 대수학 9 / 6. 바빌로니아의 기하학 11 /

7. 바빌로니아의 수학 활용 12 / 8. 바빌로니아 수학에 대한 평가 15

2장　이집트의 수학

1. 배경 19 / 2. 산술 21 / 3. 대수학과 기하학 23 / 4. 이집트인의 수학 활용 27

/ 5. 요약 29

3장　고전 그리스 수학의 탄생

1. 배경 31 / 2. 일반 사료 32 / 3. 고전 시대의 주요 학파 35 / 4. 이오니아 학파

37 / 5. 피타고라스 학파 37 / 6. 엘레아 학파 45 / 7. 소피스트 학파 49 / 8. 플라톤

학파 56 / 9. 에우독소스 학파 64 / 10. 아리스토텔레스와 그의 학파 68

4장　유클리드와 아폴로니우스

1. 서론 75 / 2. 유클리드 《원론》의 배경 76 / 3. 《원론》의 정의와 공리 78 /

4. 《원론》 제1권에서 제4권 81 / 5. 제5권－비례 이론 91 / 6. 제6권－닮은꼴 도형 99

/ 7. 제7권, 8권, 9권－정수론 105 / 8. 제10권－통약 불가능수의 분류 109 /

9. 제11권, 12권, 13권－입체기하학과 착출법 110 / 10. 《원론》의 장점과 단점 117

/ 11. 유클리드의 다른 수학 저작 120 / 12. 아폴로니오스의 수학 연구 업적 121

5장　알렉산드리아 그리스 시대

1. 알렉산드리아의 건설 137 / 2. 알렉산드리아 그리스 수학의 특징 140 / 3. 넓이와

부피에 관한 아르키메데스의 연구 142 / 4. 넓이와 부피에 관한 헤론의 연구 157

/ 5. 예외적인 곡선들 159 / 6. 삼각법의 탄생 161 / 7. 후기 알렉산드리아 시대의

기하학 연구 171

6장　알렉산드리아 시대

1. 그리스 산술의 기호와 연산 177 / 2. 독립된 분야로서 산술과 대수학 183

7장　자연을 이성의 눈으로 파악한 그리스 문명

1. 그리스 수학을 낳은 원천 199 / 2. 자연을 이성의 눈으로 바라보기 시작하다 200

/ 3. 수학적 짜임새에 대한 믿음의 형성 202 / 4. 그리스의 수리천문학 211 /

5. 지리학 220 / 6. 역학 223 / 7. 광학 228 / 8. 점성학 231

8장　그리스 세계의 붕괴

1. 그리스인들의 업적에 대한 개요 235 / 2. 그리스 수학의 한계 238 /

3. 그리스인들이 남겨놓은 문제 242 / 4. 그리스 문명의 붕괴 244

9장　인도와 아라비아의 수학

1. 초기 인도 수학 251 / 2. 200~1200년의 인도 산술과 대수학 253 / 3. 200~

1200년의 인도 기하학과 삼각법 259 / 4. 아라비아인 261 / 5. 아라비아의 산술과

대수학 263 / 6. 아라비아의 기하학과 삼각법 269 / 7. 1300년경의 수학 271

10장　중세 유럽

1. 유럽 문명의 시작 277 / 2. 번역서와 저작물 278 / 3. 초기 중세 유럽에서의 수학의

역할 280 / 4. 수학의 침체 282 / 5. 그리스 학문의 일차 부흥 284 / 6. 합리주의와

자연에 대한 관심의 부활 286 / 7. 수학 분야의 발전 상황 289 / 8. 물리 과학의

발전 상황 292 / 9. 요약 295

11장　르네상스

1. 유럽에 밀어닥친 혁명적 영향 299 / 2. 새로운 지적 전망 302 / 3. 지식의 확산

304 / 4. 수학 분야의 인문주의 활동 306 / 5. 과학 혁신을 요구하는 외침 309 /

6. 경험주의의 출현 315

12장　르네상스 시대의 수학 연구

1. 원근법 321 / 2. 순수기하학 325 / 3. 대수학 328 / 4. 삼각법 330 / 5. 르네상스

시대의 주요 과학 발전 334 / 6. 르네상스 시대에 대한 촌평 344

13장　16세기와 17세기의 산술과 대수학

1. 서론 349 / 2. 수 체계와 산술의 상황 350 / 3. 기호 체계 361 / 4. 삼차방정식과

사차방정식의 해법 367 / 5. 방정식 이론 378 / 6. 이항정리 및 관련 주제 382 /

7. 정수론 384 / 8. 대수학과 기하학의 관계 392

14장　사영기하학의 시작

1. 기하학의 부활 401 / 2. 원근법 연구에서 제기된 문제들 403 / 3. 데자르그의

연구 405 / 4. 파스칼과 라 이르의 연구 414 / 5. 새로운 원리의 출현 419

15장　좌표기하학

1. 좌표기하학의 연구 동기 425 / 2. 페르마의 좌표기하학 426 / 3. 르네 데카르트

428 / 4. 데카르트의 좌표기하학 연구 433 / 5. 17세기의 좌표기하학 확산 446 /

6. 좌표기하학의 중요성 453

16장　과학의 수학화

1. 서론 459 / 2. 데카르트의 과학 개념 460 / 3. 갈릴레오의 과학 방법론 462 /

4. 함수 개념 474

17장　미적분학의 탄생

1. 미적분학 연구 동기 483 / 2. 17세기 초의 미적분학 연구 485 / 3. 뉴턴의 연구

503 / 4. 라이프니츠의 연구 522 / 5. 뉴턴과 라이프니츠의 비교 534 / 6. 최초

발견자의 영예를 두고 벌어진 논란 537 / 7. 뒤이어 나온 연구 성과 538 /

8. 미적분학의 엄밀성 541

약어 / a-i

찾아보기(인명) / a-v

찾아보기(용어) / a-xiii

수학사상사 2권

18장　1700년경의 수학

1. 수학의 변모 553 / 2. 수학과 과학 558 / 3. 수학자들 사이의 소통 560 /

4. 18세기에 대한 전망 563

19장　18세기의 미적분학

1. 서론 565 / 2. 함수 개념 570 / 3. 적분 기법과 복소수 573 / 4. 타원적분 581

/ 5. 그 밖의 특별한 함수 596 / 6. 다변수함수 미적분학 600 / 7. 미적분학에서

엄밀성을 확보하려던 시도 602

20장　무한급수

1. 서론 615 / 2. 무한급수에 대한 초기 연구 616 / 3. 함수의 확대 621 / 4. 급수의

연산 624 / 5. 삼각급수 640 / 6. 연분수 648 / 7. 수렴과 발산의 문제 649

21장　18세기의 상미분방정식

1. 동기 661 / 2. 1계 상미분방정식 665 / 3. 특이해 673 / 4. 2계 방정식과 리카티

방정식 675 / 5. 고계 방정식 683 / 6. 급수해 방법 688 / 7. 연립미분방정식 691

/ 8. 요약 704

22장　18세기의 편미분방정식

1. 서론 707 / 2. 파동방정식 708 / 3. 파동방정식의 확장 725 / 4. 퍼텐셜 이론

735 / 5. 1계 편미분방정식 748 / 6. 몽주와 특성 이론 754 / 7. 몽주와 비선형 2계

방정식 758 / 8. 연립 1계 편미분방정식 760 / 9. 수학 분야로의 성장 763

23장　18세기의 해석기하학과 미분기하학

1. 서론 767 / 2. 기초 해석기하학 767 / 3. 고차 평면 곡선 771 / 4. 미분기하학의

시작 780 / 5. 평면 곡선 781 / 6. 공간 곡선 784 / 7. 곡면 이론 791 / 8. 사상

문제 802

24장　18세기의 변분법

1. 초기 문제 807 / 2. 오일러의 초기 연구 813 / 3. 최소 작용 원리 816 /

4. 라그랑주의 방법론 820 / 5. 라그랑주와 최소 작용 826 / 6. 이차 변분 829

25장　18세기의 대수학

1. 수 체계의 상태 833 / 2. 방정식 이론 840 / 3. 행렬식과 소거 이론 852 /

4. 수론 856

26장　1800년경의 수학

1. 해석학의 대두 865 / 2. 18세기 연구의 동기 868 / 3. 증명의 문제 869 /

4. 형이상학적 바탕 872 / 5. 수학 연구 활동의 확대 875 / 6. 전망 877

27장　복소수함수

1. 서론 883 / 2. 복소수함수론의 시작 883 / 3. 복소수의 기하학적 표현 887 /

4. 복소수함수 이론의 기초 891 / 5. 바이어슈트라스의 복소수함수 이론 접근 방식

906 / 6. 타원함수 908 / 7. 초타원적분과 아벨의 정리 918 / 8. 리만과 다가함수

923 / 9. 아벨 적분과 아벨 함수 933 / 10. 등각사상 937 / 11. 함수 표현과 예외값

939

28장　19세기의 편미분방정식

1. 서론 945 / 2. 열방정식과 푸리에 급수 946 / 3. 닫힌 해-푸리에 적분 956 /

4. 퍼텐셜 방정식과 그린의 정리 959 / 5. 곡선좌표 966 / 6. 파동방정식과 축소

파동방정식 970 / 7. 연립 편미분방정식 979 / 8. 존재성 정리 983

29장　19세기의 상미분방정식

1. 서론 995 / 2. 급수 해와 특수 함수 996 / 3. 스투름 리우빌 이론 1003 / 4. 존재성

정리 1006 / 5. 특이점 이론 1011 / 6. 보형 함수 1018 / 7. 선형방정식의 주기

해에 관한 힐의 연구 1024 / 8. 비선형미분방정식-질적 이론 1026

30장　19세기의 변분법

1. 서론 1037 / 2. 수리물리학과 변분법 1037 / 3. 변분법의 수학적 확장 1045 /

4. 변분법에서의 관련 문제 1051

31장　갈루아 이론

1. 서론 1055 / 2. 이항방정식 1055 / 3. 거듭제곱근을 이용한 방정식의 해에 대한

아벨의 연구 1059 / 4. 갈루아의 가해성 이론 1060 / 5. 기하학적 작도 문제 1070

/ 6. 치환군 이론 1072

32장　사원수, 벡터, 선형결합대수

1. 동등 수식 불변 위에 세운 대수학의 기초 1083 / 2. 삼차원 ‘복소수’를 찾으려는

노력 1089 / 3. 사원수의 특징 1093 / 4. 그라스만의 확대 산법 1096 / 5. 사원수에서

벡터로 1100 / 6. 선형결합대수 1110

33장　행렬식과 행렬

1. 서론 1115 / 2. 행렬식의 새로운 용도 1116 / 3. 행렬식과 이차형식 1120 /

4. 행렬 1127

약어 / a-i

찾아보기(인명) / a-v

찾아보기(용어) / a-xiii

수학사상사 3권

34장　19세기의 수론

1. 서론 1139 / 2. 합동 이론 1140 / 3. 대수적 수 1146 / 4. 데데킨트의 아이디얼

1152 / 5. 형식의 이론 1157 / 6. 해석적 수론 1162

35장　사영기하학의 부활

1. 기하학에 대한 관심의 재개 1169 / 2. 종합 유클리드 기하학 1173 / 3. 종합

사영기하학의 부활 1177 / 4. 대수적 사영기하학 1194 / 5. 고차 평면 곡선과 곡면

1199

36장　비유클리드 기하학

1. 서론 1207 / 2. 1800년경 유클리드 기하학의 상황 1207 / 3. 평행선 공리에 대한

연구 1209 / 4. 비유클리드 기하학의 전조 1217 / 5. 비유클리드 기하학의 창시 1220

/ 6. 비유클리드 기하학의 기술적 내용 1226 / 7. 로바체프스키와 보여이가

비유클리드 기하학의 발명자인가? / 1231 / 8. 비유클리드 기하학의 의의 1234

37장　가우스와 리만의 미분기하학

1. 서론 1239 / 2. 가우스의 미분기하학 1240 / 3. 리만의 기하학 접근 방식 1248

/ 4. 리만의 계승자들 1259 / 5. 미분형식의 불변량 1263

38장　사영기하학과 계량기하학

1. 서론 1269 / 2. 비유클리드 기하학 모델로서의 곡면 1270 / 3. 사영기하학과

계량기하학 1272 / 4. 모델과 무모순성 문제 1281 / 5. 변환의 관점에서 본 기하학

1286 / 6. 비유클리드 기하학의 실재성 1291

39장　대수기하학

1. 배경 1295 / 2. 대수적 불변량 이론 1296 / 3. 쌍유리변환의 개념 1306 /

4. 대수기하학에 대한 함수론적 접근 방식 1309 / 5. 균일화 정리 1314 /

6. 대수기하학적 접근 방식 1316 / 7. 산술적 접근 방식 1320 / 8. 곡면의 대수기하학

40장　해석학에서 대두된 엄밀성의 문제

1. 서론 1327 / 2. 함수와 그 성질 1329 / 3. 도함수 1337 / 4. 적분 1340 /

5. 무한급수 1347 / 6. 푸리에 급수 1354 / 7. 해석학의 상태 1361

41장　실수와 초한수의 기초

1. 서론 1371 / 2. 대수적 수와 초월수 1373 / 3. 무리수 이론 1376 / 4. 유리수

이론 1382 / 5. 실수 체계를 다루는 다른 접근 방식 1386 / 6. 무한 집합의 개념

1390 / 7. 집합론의 기초 1392 / 8. 초한 기수와 초한 서수 1399 / 9. 1900년까지

집합론의 상황 1404

42장　기하학의 기초

1. 유클리드 기하학의 결함 1409 / 2. 사영기하학 기초에 대한 연구 1412 /

3. 유클리드 기하학의 기초 1415 / 4. 관련 기초 연구 1423 / 5. 미해결 문제 1425

43장　1900년경의 수학

1. 19세기 발전의 주요 특징 1433 / 2. 공리화 운동 1438 / 3. 인간의 고안물인 수학

1440 / 4. 진리의 상실 1445 / 5. 임의의 구조를 연구하는 분야로서 수학 1451 /

6. 무모순성의 문제 1455 / 7. 전망 1456

44장　실변수 함수 이론

1. 기원 1459 / 2. 스틸체스 적분 1460 / 3. 용량과 측도에 관한 초기 연구 1461

/ 4. 르베그 적분 1465 / 5. 일반화 1473

45장　적분방정식

1. 서론 1475 / 2. 일반 이론의 시작 1481 / 3. 힐베르트의 연구 1487 / 4. 힐베르트를

뒤이은 수학자들 1500 / 5. 이론의 확장 1505

46장　함수해석학

1. 함수해석학의 본질 1509 / 2. 범함수 이론 1510 / 3. 선형 함수해석학 1517 /

4. 힐베르트 공간의 공리화 1531

47장　발산급수

1. 서론 1537 / 2. 발산급수의 비공식적 사용 1539 / 3. 점근급수의 이론 1547 /

4. 가합 1555

48장　텐서 해석학과 미분기하학

1. 텐서 해석학의 기원 1573 / 2. 텐서의 개념 1574 / 3. 공변 미분 1580 /

4. 평행이동 1584 / 5. 리만 기하학의 일반화 1588

49장　추상 대수학의 출현

1. 19세기 배경 1593 / 2. 추상군론 1594 / 3. 체의 추상 이론 1606 / 4. 환 1612

/ 5. 비결합 대수 1617 / 6. 추상 대수학의 범위 1620

50장　위상수학의 시작

1. 위상수학의 특징 1623 / 2. 점집합 위상수학 1624 / 3. 조합위상수학의 시작 1630

/ 4. 푸앵카레의 조합위상수학 연구 1639 / 5. 조합적 불변량 1648 / 6. 고정점 정리

1649 / 7. 일반화와 확장 1652

51장　수학의 기초

1. 서론 1657 / 2. 집합론의 역설 1658 / 3. 집합론의 공리화 1661 / 4. 수리논리학의

출현 1664 / 5. 논리주의 학파 1671 / 6. 직관주의 학파 1678 / 7. 형식주의 학파

1688 / 8. 최근의 연구 1695

약어 / a-i

찾아보기(인명) / a-v

찾아보기(용어) / a-xiii

『수학자가 아닌 사람들을 위한 수학』, 모리스 클라인

목차 2

1 왜 수학인가?

2 역사적 개관

3 논리와 수학

4 수 - 근본적 개념

5 대수, 고등 산수

6 유클리드 기하학의 특징과 이용

7 지상과 천상의 지도를 그리다

8 자연의 수학적 질서

9 유럽이 깨어나다

- 10 르네상스 시기의 수학과 회화

11 사영기하학

12 좌표기하학

13 자연의 가장 단순한 공식

14 매개변수 방정식과 곡선 운동

15 공식을 중력에 적용하기

- 16 미분

- 17 적분

18 삼각함수와 진동 운동

- 19 삼각함수를 이용한 음향의 해석

20 비유클리드 기하학 및 그 중요성

21 다양한 산수와 그 대수

- 22 사회과학 및 생물학에 대한 통계적 접근법

- 23 확률론

24 수학의 본질과 가치

[나목]

수학 그리고 물리학에서 시간을 가운데 둔 이론의 입론서로는 일리야 프리고진의, 혼돈으로 부터의 질서, 가 있다. 시간의 비가역성을 주제로한 많은 다른 책들과 달리 이 책은 물리이론을 직접 다루고 있다. 그렇기에 이 책은, 동역학을 학과 과정에서 배운 사람이 아니면 제대로 즐길 수 없는 책이다. 읽긴 하였지만 옮겨올 만큼 이해하지 못했다는 것이 많이 아쉽다. 농담이지만, 내가 수학을 정통했으면 세계 철학사가 달라지지 않았을랑가. 항시 미망의 유식이 탐나는 법.

[나목]

ὂντως : réellement, véritablement, véritable 진정으로.
μὴ ὄν 메온 : (비)존재, 무(le néant), οὐκ ὄν 우크온 : 비-존재, 아무것도 아님(Rien).
메온은 상대적 무(네앙) 이고 우크온은 허무(규정없음 apeiron), 타자, 들뢰즈의 <(비)존재>이다.
// 마실가 주해, 논1919박홍규1986인식존재II 각주25), 옮기지 못한 본문의 내용도 참조하라.