수학-일차방정식

[꼬꼬댁]

수학1

일차방정식― 디오판토스

디오판토스는 대수학의 아버지라고도 불리는 아주 위대한 사람이다. 디오판토스는 [산학], [다각수], [계론] 등의 책을 지었다. 그리고 디오판토스는 수세기동안 수사학적 표현이 통용되던 방정식을 단순화시킨 대단한 수학자이다. 이제 일차방정식에 대해 알아볼 것이다.

일차방정식을 들어가기 전 우리는 먼저 첫 번째! 문자와 문자 또는 문자와 숫자를 곱할 때에는 곱하기 기호를 생략해야 한다. 예를 들어 3×x는 3x가 된다는 것이다. 그리고 a×b는 a b가 되는 것이고 말이다. 두 번째로는 수와 문자의 곱에서는 수를 문자 앞에 쓰고 곱셈기호를 생략한다. 세 번째 1이나-1과 문자의 곱에서는 1을 생략해준다. 예를 들어 1×x면 1x가 아니라 그냥x라고 하고 x×-1이면 -1x가 아닌-x라고 해 주어야 한다. 네 번째로는 같은 문자의 곱은 지수를 사용하여 거듭제곱으로 나타낸다. 또 문자끼리는 알파벳 순서를 따라 배열한다. 다섯 번째 괄호가 있는 곱셈에서도 곱셈기호는 생략하고 숫자는 괄호 앞에 씁니다. 마지막으로 나눗셈 기호는 나타내지 말고 분수로 나타내야 한다. (나눗셈은 역수를 사용한다는 것도 알고 있어야 한다. ) 식에서는 식을 이루는 기복적인 요소가 있는데 먼저 ‘항’이 있다. 항이란 문자와 숫자가 곱해진 형태의 덩어리를 말한다. 그리고 특별히 숫자로만 이루어진 것은 상수항이라고 부른다. 그리고 ‘계수’는 숫자와 문자의 곱으로 된 항에서 문자 앞에 곱해진 숫자를 말한다. 또 ‘차수’란 차수란 어떤 문자가 곱해진 개수를 말한다. 즉 문자가 곱해진 개수를 지수를 사용해서 거듭제곱의 형태로 나타내는 것이다. 그리고 ‘동류항’이란 문자와 그 문자의 차수가 같은 경우를 말한다. 그리고 어떤 다항식의 최고차항의 차수가 1차인 경우 그 것을 일차방정식이라고 말한다.

방정식이란 무엇일까? 방정식이란 미지수를 나타내는 문자가 포함되어 있는 어떤 등식에서 그 문자에 특정한 값을 대입할 때에만 등식이 참이 되어 성립하는 것을 말한다. 등식이란 단항식 또는 다항식에 등호를 사용하여 나타내는 관계식을 말한다.

그리고 등식은 그의 성질을 가지고 있는데 등식의 성질은 모두 4가지가 있다.

1. 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.

2. 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.

3. 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.

4. 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.

일차방정식은 기원전 19세기 이집트의 ‘아메스’가 남긴 파피루스에는 생활은 반영하는 일차방정식의 문제를 찾아볼 수 있다. 그리고 고대 그리스 유클리드가 쓴 시화집에서 시의 형태로 써 있는 방정식 문제를 찾아볼 수 있다. 또 디오판토스의 묘비에는 그가 몇 살까지 살았는지 알 수 있는 방정식 문제가 적혀있다. 그리고 동양에서는 [구장산술]이라는 책에서 복잡한 내용을 간단하게 표현하고자 했던 그 노력이 잘 드러나 있다. 이 책은 매우 대단한 책이라고 할 수 있다. 이 책에는 정말 대단한 내용들이 담겨있다. 그리고 디오판토스의 묘비에서는 그가 몇 년을 살았는지 알 수 있는 방정식 문제가 적혀 있다. 나는 말이다. 솔직히 누군가를 좋아한다. 그 사람은 잘 생겼다고 말 할 수는 없다. 그냥 그렇게 생겼다. 나는 그 사람이 그냥 좋다. 왜 좋아하게 되었는지는 모르겠다. 그냥 좋아하게 되었다. 나는 정말로 그 사람을 좋아하는 건지도 모르겠다. 그냥 막 왠지 그 사람을 보면 심장이 떨리고 괜히 창피해지고 뭔가 계속 얼굴을 가꾸고 싶어진다.

라고 말이다.

고대 그리스에는 기하학이 발달했는데 방정식의 풀이도 기하학으로 해결한 것을 볼 수 있다. 먼저 ax=bc 형태의 일차방정식을 구하는 방법은 작도를 하여 비례식를 이용하는 것이었습니다. 그리고 [구장산술]에서 나오는 과부족 문제는 각각 쓴 후 교차로 곱하고 더한 뒤 더한 값을 각 사람이 낸 돈의 차로 나누어서 그 결과를 물건 값으로 합니다. 이제 마지막으로 [산반서]에서 소개된 역산에 관련된 문제 푸는 방법을 배어볼 것이다. 가장 마지막 수에서 거꾸로 풀어 나가면서 답을 구해나가는 것이다.

이런 방식들을 보면 선조들이 우리가 가용하는 식의 계산 형태는 아니더라도 논리적으로 체계적인 방법으로 해결했다는 것을 알 수 있다.

1- 이항으로 해를 구하는 방법 일차방정식의 해를 구할 때는 대부분 좌변에 x만 남기도록 식을 정리해 주어야 한다. 그럴려면 좌변에서 우변으로 옮겨야 하는데 이렇게 한 변에 있는 항을 부호만 바꾸어서 다른 벼으로 옮기는 것을 ‘이항’이라고 한다. 이한은 등식의 성질을 바탕으로 그 과정을 간단히 한 것을 알 수 있다.

그리고 다른 방법으로는 일차방정식의 해를 구하기 위해서는 다양한 모양을 가지고 있는 방정식의 형태를 등식의 성질을 이용하여 x=(숫자) 꼴로 바꾸면 일차방정식의 해를 구할 수 있다. 일차방정식의 해를 구하는 예는 정말로 많다.

2- 방정식이 계수가 1이 아닌 경우에 해를 구하는 방법

3- 항이 여러 개가 있는 경우에 해를 구하는 방법

4-방정식의 괄호가 있는 경우 해 구하기-괄호가 있을 때는 분배법칙으로 괄호 먼저 푼다.

5-x의 계수가 소수인 경우에 해를 구하는 방법6-x의 계수가 분수인 경우에 해를 구하는 방법-계수가 소수 또는 분수일 때에는 양변에 적당한 수를 곱해서 계수를 정수로 고친다.

등 등 많은 문제들과 그에 따른 방법들이 있다.

일차방정식을 푸는 방법은 위에 있는 예 중에 있다면 일단 그걸 해결하고 미지수 x를 포함하는 항은 좌변으로 상수항은 우변으로 모은 다음 양변을 정리하여 ax=b(a는 0이 아니다. 라는 조건 아래) 꼴로 만든다. 그리고 양변을 x의 계수 a로 나눈다. 구한 해를 주어진 문제 ,x,에 대입하여 맞는지 확인한다.

일차방정식의 활용은 중요하다. 일차방정식의 활용 분제를 풀 때 다음 같은 순서를 따른다.

문제의 뜻을 파악하고 구하려는 값을 미지수 x로 놓는다.

문제의 뜻에 따라 방정식을 만든다. 이 방정식을 푼다. 구한 해가 맞는지 확인한다.

그리고 속력을 구하는 공식과 농도를 구하는 공식은 알고 있어야 하는데

속력을 구하는 공식은 속력은 시간 분의 거리로 계산하고 거리는 속력 곱하기 시간으로 계산을 하고 시간은 속력 분의 거리로 계산을 한다. 이건 삼각형 모양으로 외우면 된다. 그리고 농도를 구하는 식은 소금물의 농도는 소금물의 양 분의 소금의 양 곱하기 100이다.

<일차방정식의 개념>

방정식이란 문자가 포함되어 있는 어떤 등식에서 그 분자에 특정한 값을 대입할 때에만 등식이 참이 되어 성립하는 것을 말한다. 이 때 이 특정한 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 한다. 특히 방정식에 사용되는 문자의 차수가 1차인 경우 일차방정식이라고 한다.

<연립방정식의 개념>

2개 이상의 미지수를 포함하는 2개 이상의 방정식 쌍이 주어지고 미지수가 주어진 모든 방정식을 동시에 만족할 것이 요구되어 있을 때 이 방정식의 쌍을 연립방정식이라 한다. 각 방정식을 동시에 만족시키는 미지수의 값의 쌍을 주어진 연립방정식의 해또는 근이라고 하고 이것을 구하는 것을 연립방정식을 푼다고 한다.

미지수가 2개인 일차방정식 두 개를 한 쌍으로 묶어 놓은 것을 미지수가 2개인 연립일차방정식이라고 한다. 연립일차방정식은 대입법, 등치법, 가감법 등의 방법으로 풀 수 있다.

<감상문>

나는 이번에 일차방정식에 관한 책을 읽었다. 나는 일차방정식을 일반 학교에서 배웠었다. 그런데 나는 일반 학교에서는 그냥 공식을 외우고 그냥 계속 풀고 또 풀고 하는 식으로만 공부를 하고 시험을 보고 했다. 그러니깐 거의 나는 시험을 보기 위해서 라는 마음을 가지고 공부를 한 것이라고 말을 할 수 있다. 나는 그렇지만 막상 시험은 정말 정말로 못 봤다. 나는 그 이유를 몰랐다. 왜냐면 나는 그 때 당시 학원도 다니면서 정말로 열심히 한 문제를 반복해서 풀고 또 풀고 했고 정말로 내 생각에는 열심히 공부를 했기 때문이다. 그런데 이번에 이 [디오판토스가 들려주는 일차방정식 이야기]라는 수학 책을 읽어보니깐 일차방정식이 나에게 다르게 느껴지기도 했다. 나는 전에는 그냥 외우기만 하고 공식을 보고 또 보기만 했던 것이다. 나는 솔직히 그 의미와 뜻을 몰랐고 그 일차방정식의 성질 같은 것도 모르고 그냥 시험을 치기 위해서 공식만을 외우고 일차방정식 문제를 푼 것이라도 할 수 있는 것이다. 내가 지금 생각을 해 보니 내 자신이 살짝 한심스럽기 까지 하다. 나는 이번 기회를 통해서 정말로 진심으로 진정한 나의 지식을 쌓고 싶다. 그리고 이번에 이 책을 하면서 너무나도 많은 시간이 걸렸는데 다음부터는 최대한 열심히 해서 더 많은 지식을 빨리 알고 이해하고 정리해서 글로 쓸 수 있게 되었으면 좋겠다. 물론 나는 아직 부족하지만 말이다. 나는 아직 많이 부족하다. 그러니깐 부족하면 부족할수록 더 열심히 하고 더 잘 할 수 있도록 열심히 노력할 것이다. 나는 이번에 일차방정식의 뜻에 대해서 잘 알게 되었다.

[샘솟는님]

계영님~ 일차방정식에 대해서 수로 배웠던 것을 또 다시 글로 이해하며 배우는 것이 색달랐을 것 같아요. 수학을 학습하는 이유는 계영님의 사고력 발전을 위한 것이니 만큼 이해하고 수로 계산한다면 더 고차원적인 수학을 할 수 있겠죠. 수학 내용을 요약하느라 고생했을 것 같아요. 감상문에 쓴 대로 다음 학습은 시간을 좀 더 줄일 수 있도록 해요. 잘했어요~