예비고 학생들의 수학공부를 위한 제언(2)

먼저 10과정이 잘 안되는 아이들은 10과정을 하지말고 중등과정을 다시 공부하라 권합니다. 10과정의 내용은 과거 공통수학이라 했습니다. 즉, 의무교육이 중등과정까지 이므로, 적어도 수학은 이정도는 알아야 한다는 공통과정의 내용이라는 뜻에서 붙여진 이름입니다. 따라서, 10과정의 내용은 중등과정의 전체를 다시 한 곳에 모아놓고, 새로운 내용의 일부를 추가한 것이 10과정이므로, 중등과정의 베이스가 흔들린 학생들은 10과정이 매우 힘들게 되어 있습니다.   따라서, 어떤 경우든 10과정을 공부하다가 이해되지 않는 부분이 있다면 10과정에서 해결하려는 시도보다는 중등과정 어떤 내용과 상관관계가 있는지를 찾아서 베이스 개념을 다시 체크하라는 뜻입니다. 단순히 공식을 암기하는 것이 아니라, 개념이 갖는 정확한 의미가 무엇인지를 다시 정리하라는 것입니다. 섣불리 베이스개념이 무너진 상태에서 선행을 무리하게 한 학생들은 대체로 개념이 갖는 본연의 의미는 따져볼 생각을 하지 않고, 당연히 그러하다고 기본을 무시하기 때문에, 무너진 베이스를 보충하는 것이 매우 어렵고 잘 안되는 것입니다. 그러기에 다시 한 번 강조하지만, 섣부른 선행은 오히려 수학을 망친다는 것입니다.   10과정과 중등과정의 내용의 인과관계를 포괄적으로 알고 있는 것 또한 중요합니다. 무엇을 모르면, 어디엔가는 찾아봐야 할텐데, 그것이 무엇과 관계있는 것인지 상관관계를 모르면, 콩인지 팥인지도 몰라서 어디를 찾아야 할지를 모르기 때문입니다.   10과정은 대체로 다음과 같습니다.   1. 상 (과거의 가편).  1) 집합, 명제          기본개념 - 중1집합, 중2 명제,            문제해결력 - 중1,2,3 공통의 일반연산처리능력, 방정식, 부등식, 함수, 경우의 수등,                            특히 명제는 전 단원 모두 관계.  2) 수의 체계 및 다항식         기본개념- 중1 약배수, 기수법, 중등전과정 식의계산         문제해결력-           "                                         , 경우의 수등  3) 유리.무리식        기본개념- 전학년 공통 식의계산, 중3 무리수        문제해결력 -             "  4) 복소수      기본개념 - 고등부 신규내용      문제해결력- 중3 무리수, 식의계산, 이차방정식등  5) 방정식, 부등식     기본개념- 전학년 방정식, 부등식, 함수    문제해결력-       "  6) 통계     기본개념- 중1,3 통계     문제해결력 -    "      ,   2. 하 (과거의 나편)  1) 도형의 방정식      기본개념 - 전학년 기하, 함수      문제해결력 -      "                2) 함수     기본개념- 전학년 함수     문제해결력 -    "       , 방정식, 부등식  3) 삼각함수     기본개념-중3 삼각비, 전학년 기하     문제해결력 -        "     *******************************************************************************************                                       <중등 전과정 필수체크 개념들>   이 글은 필요하신 분들이 그냥 프린트하셔서 중3자녀들이 있는 경우 꼭 체크하시면 좋을 듯 합니다. 큰 주제별 또는 작은 주제별 반드시 노트에 적어서 꼼꼼히 직접 써 보고, 불확실하다 싶은 것은 갖고 있는 책이나 또는 이곳 수학문제풀이방에 질문을 해서라도 반드시 정리해두고 고등부 내용을 했으면 좋을 듯 합니다.   1. 중1과정       < 집합관련>   - 집합이란? 집합의 종류별 정의와 의미(교집합, 합집합, 차집합, 곱집합, 멱집합, 대칭차집합,     여집합, 부분집합, 진부분집합등)   - 부분집합의 갯수의 증명   - 집합의 연산법칙들(분배법칙, 흡수법칙, 드모르간의 법칙등)을 이용한 각 집합들의 증명.   <약수와 배수관련>  -약배수의 정의 및 정수에 제한하는 이유  - 약수의 갯수구하는 방법, 소인수분해의 뜻과 약수의 갯수공식의 유도.  - 소수 찾기 (에라토스테네스의 체, 정수를 6으로 분류하여 찾는 방법)  - 최대공약수, 최소공배수 찾기 (합, 차, 유클리드의 호제법이용)  - 정수의 나머지 정리 (나머지가 같을 때, 제수와 나머지의 차가 같을 때)  - 자연수의 배수찾기(3, 4, 7, 8, 9, 11의 배수와 근거)   <기수법 관련>   -진법, 진수의 뜻   - 진법 변환 (십진수의 다른진수로의 변환: 자연수 및 소수, 거듭제곱수 끼리의 변환)   - 소수의 진법변환에 따른 이해(2진수, 5진수의 순환하는 이유, 3,6,7진수등이 항상 순환하는     이유등)   2. 중2과정    < 순환소수관련>  - 순환소수의 분수표기방법(소수이하 사라지는 이유, 분수의 순환소수로의 변환(나누지 않고     직접 분수로의 변환)  - 분수의 소수판정 (분모의 조건에 따른 분류와 이유)   <근사값 관련> -근사값의 정의( 측정값, 통계에서의 근사값, 순환소수로 표기되는 분수의 근사값의 의미) -유효숫자의 의미, 반올림, 올림, 버림의 뜻, 참값의 정의와 범위에 대한 근거 -근사값의 사칙연산방법과 근거 ( 곱셈,나눗셈은 제외 : 통일된 규칙없음) -오차, 오차의 범위의 뜻과 처리방법   <확률관련> - 순열.조합의 공식(직순열,원순열,다각순열, 목걸이순열, 같은것이 있을때의 순열, 조합) - 확률의 정의 및 기댓값 (교과에서 빠졌으나 미리 알아둠)   <명제 관련>  - 명제의 정의, 조건, 진리집합, 진리값, 명제의 참 거짓 판별,  -조건및 명제의 부정  -조건명제의 역.이.대우와 진리값의 상관관계 (교과외 것이나 미리 알아둠)  -귀류법의 정의와 의미, 간단한 귀류법으로의 증명의 예.   3. 중3과정 및 전학년 공통   <무리수 관련>  - 지수의 법칙 및 확장의 개념.  - 거듭제곱식 및 거듭제곱근의 뜻, 기호의 정의, 연산 방법  -분모의 유리화 (세제곱근까지)  - 이중근호의 풀이 (식의 계산이용 미리 알아둠)   <식의 계산 관련>  - 절대값의 의미와 처리방법  -여러가지 수집합들의 닫혀있다의 정의, 유리수, 무리수, 실수의 사칙에 대한 닫혀있는지의 이해.  - 항, 단항식, 다항식, 차수, 계수의 정의  - 분수식의 처리방법 (대분수로의 계산방법, 부분분수화)  - 분수식의 값 구하기 ( 문자 비율을 알때, 문자소거 약분하기)  -비례식과 분수식의 상관관계  -가비의 리 개념 및 간단한 분수식에의 적용  - 전개 및 인수분해 (인수의 정의, 인수분해의 뜻 및 각종 공식유도 : 암기하지말고 반드시 유    도)  - 전개식의 각 항의 계수찾는 방법, 파스칼의 삼각형, 간단한 이항정리(안 배웠으면 미리 알아    보고 경우의수로 추론해봄)   <방정식 관련>  - 부정, 불능의 특수방정식의 뜻과 의미, 해 구하기  - 연립방정식의 뜻과 의미  - 이차방정식의 해의 의미, 근 구하기    ( 근의 공식 유도, 근과 계수와의 관계, 두 근의 차의 의미 및 공식유도)  - 유리계수 이차방정식에서의 무리수인 근의 상관관계 및 증명  - 부정방정식의 뜻 및 해법 (정수조건, 실수조건)  -부정방정식을 이용한 간단한 정수근 조건의 미정계수 찾는 방법  - 문장제를 위한 각종 공식이해 (농도, 속력, 비중, 부력, 시계셈등)  - 각종 가우스기호가 있는 방정식의 처리방법   <부등식 관련> - 부등식의 뜻과 해의 의미 - 불능인 부등식과 절대부등식의 의미와 해법 - 절대값이 있는 부등식의 해법과 의미 -가우스기호가 있는 부등식의 처리방법과 의미 - 각종 부등식의 성질(특히 가감승제의 부등호 방향의 변화에 따른 이유) - 간단한 분수부등식 및 지수부등식 ( 배우지 않았으면 미루어 짐작하여 추론해 봄)   <함수 관련> - 함수의 정의, 정의역, 공역, 치역의 정의와 의미 - 함수의 종류와 정의 (일차, 이차함수, 상수함수, 항등함수, 가우스함수, 우함수,기함수:배우지   않았으면 미리 알아보고 정리해봄, 삼각함수 처리때 쓰임) - 수직선좌표 및 평면좌표에서의 내분점, 외분점 공식유도 (삼각형의 무게중심도 함께 유도) - 그래프 변환개념 (x,y방향으로의 평행이동, x, y 축 및 원점 대칭 : 반드시 결과암기말고 직접    공식유도,  내용 정확히 이해하면 x=a, y=b, y=x, y=-x, (a,b)에 대한 대칭변환도 추론해 봄) - 이차함수 그래프개형과 기본적인 성질정리 -이차함수의 최대최소관련개념정리( 제한변역 없을 때, 있을 때, 정수로 주어질 때, 실수로 주어질 때,   절대부등식 이용하는 방법(산술기하평균), 판별식이용하는 방법, 분수꼴로 주어질때등) -평면위 삼각형의 좌표알 때 넓이구하기(사선의 정리 배웠으면 유도해봄)     <통계 관련> -각종용어의 정의 (자료, 도수, 상대도수, 계급, 계급값, 계급의 크기, 변량, 도수분포표,   도수분포다각형, 히스토그램, 누적도수, 과부족, 가평균, 과부족의 평균,  분산 및 표준편차   :배우지 않았으면 스킵)) -가평균을 이용한 평균구하는 방법   < 기하관련 > - 각종 용어의 정의 (각, 다각형, 다면체, 정다각형, 정다면체, 모서리, 교선, 정다각뿔,      선분, 직선, 반직선, 호, 활꼴, 부채꼴, 현, 할선, 접선, 동위각, 엇각, 여각, 보각, 전각,    우각, 열각, 동측내각) - 다각형의 성질 (한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 수, 대각선의 총수, 내각의 합,     외각의 합(반드시 유도해볼것)) - 평면에서 삼각형의 내각의 합 180도 증명(반드시) - 등적변형을 이용한 기본 성질(삼각형과 같은 넓이의 정사각형, 직사각형 작도, 임의의 사각형   과 같은 넓이를 갖는 삼각형 작도, 삼각형의 변위 임의의 점에서 넓이 이등분선 작도, 사각형   의 꼭지점 또는 변위 임의의 점을 지나 넓이 이등분선 작도) - 임의의 각의 이등분선 작도원리와 이유 - 선분의 수직이등분선 작도법과 대칭성 이해 (정점 A, B와 직선 L위를 움직이는 동점 P에 대한   PA + PB가 최소되는 점의 작도방법과 근거, 평면좌표상에서 정점 A, B와 직선 y=f(x)위를 움직   이는 동점 P에 대하여 PA + PB가 최소되는 점 P의 좌표구하기, 선분의 수직이등분선 작도법   관련 더 많은 굴절된 모양을 펴서 최단경로 구하는 방법등) - 원뿔, 각뿔의 부피가 기둥의 1/3되는 근거 -정사면체의 내.외접원의 반지름비와 정사면체의 높이와의 관계. - 오일러의 다면체정리 v-e+f 의 평면, 입체, 도너츠형에서의 결과와 그 이유.   ( 다면체꼴을 꼭지점공유하게 연속했을 때의 결과, 모서리를 연속하여 공유할 때의 결과와     그 이유) -정다면체가 5가지인 이유 - 정다면체의 꼭지점, 모서리 계산방법과 근거. -축구공다면체(준정다면체)의 꼭지점, 모서리의 갯수와 근거 - 삼각형의 오심정리 (외심, 내심, 방심, 무게중심, 수심의 증명 및 성질정리)    이를테면 삼각형의 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는 이유와 같은 증명. - 각종 사각형의 성질 증명 (기본성질 증명, 각종 사각형의 결정조건 증명, 임의의 사각형의 각   변의 중점을 이은 사각형의 꼴 증명) - 닮음의 성질(각종 기본공식, 삼각형이 중점연결정리, 사다리꼴의 중간선의 정리, 평행선의   정리, 삼각형의 내각 및 외각의 이등분선의 정리, 체바의 정리 및 메네라우스의 정리  제르곤의 정리(안배웠으면 인터넷등을 통하여 반드시 꼭 알아둘것), 직각삼각형에서의 닮음정  리) - 피타고라스의 정리 (기본공식 최대한 많은 방법으로 증명해봄)       ( 세변이 모두 자연수인 직각삼각형에서 적어도 한 변이 3의 배수인 이유) -피타고라스 정리 이용한 삼각형의 꼴 판정공식 유도 (예각삼각형, 둔각삼각형일 때) -파푸스의 정리 공식유도 -원주각과 중심각관계 (원주각이 항상 일정한 이유와 중심각의 1/2인 이유) - 공통내.외접선의 길이구하기 및 내접선, 외접선의 길이의 상관관계. -정삼각형의 내.외.방접원의 반지름의 길이비 관계 - 원과비례관련 각종 공식 유도 (대략 15개. ptolemy의 정리 배웠으면 포함해서 증명) -사각형이 원안에 내접할 조건 및 임의의 사각형이 원에 내접하지 않는 이유   <삼각비 관련> - 삼각비 기본기호의 정의 - sin, cos, tan 또는 그 역수들의 상호관련 공식들. - 삼각형, 사각형의 넓이 공식, tan를 이용한 산높이 측정공식. - sin, cos제1,2법칙 공식유도 및 삼각형 풀기, 삼각형의 꼴 판단하기. - 삼각함수 배웠으면 기본그래프 직접그려보고 삼각방정식, 부등식의 해 추론해봄. - 헤론의 공식 유도 - 삼각형의 넓이 구하는 공식 7가지 총정리 (밑변과 높이, 두변과 끼인각, 내접원의 반지름,    외접원의 반지름, 사선의 정리, 헤론의 공식, 방접원의 반지름)   *******************************************************************************************      중등과정의 책을 모두 내어놓고 일일이 검토해 보아야 보다 세심한 정리가 될 것이지만, 대략 떠오르는 대로 정리하면 이 정도가 될 듯 합니다. 회원 여러분들 중 수학을 가르치는 또는 가르치는 직업을 갖고 있지 않더라도 많은 관심을 갖는 분들이 보실 때, 부분적으로 조금 빠진 것이나 또는 교과외의 것들이 포함되어 있다고 느낄지도 모르겠습니다. 그러나, 개인적으로 이건 반드시 중요한 것이다 싶은 것들이 빠진 것은 내용을 보강하여 챙겨 주시면 될 듯하고, 또 내용 중 이것은 아직 중등내용으로 꼭 알아야 할까 싶은 개인적인 의견들은 모두 각자가 내용을 부분수정하시어 활용하시는데 도움되면 좋겠습니다. 대수든 기하든 모두가 중요하지만, 특히 강조하고픈 것은 10-하 과정중 도형의 방정식에서 대부분의 학생들이 어려움을 겪는것을 보는데, 충분히 이해되었다고 자부하더라도, 문제의 난이도를 조금만 높이면 쩔쩔매는 것을 봅니다. 그 원인은 대수와 기하의 특성을 잘 모른체 중등부 기하를 공부할 때 잘못된 공부습관이 길들여져 있기 때문인데, 많은 경우 기본 이론을 배우면 마치 한 단원을 다 아는것으로 착각하고 충분한 문제풀이를 하지 않기 때문입니다.   기하는 어떤 경우든, 이론과 실전문제가 괴리감이 있다 할 만큼 이론만으로는 접근이 잘 안되는 부분이 많습니다. 그것은 곧 심화된 문제에서 반드시 보조선이 필요하고, 그러한 보조선에 대한 생각은 충분히 이론과 무관하게 이런 저런 발상을 해 볼때만이 문제해결이 생기는데, 특히 이론위주로 엄청난 선행을 하는 학생들은 10과정 도형의 방정식에서 문제해결력이 거의 제로에 가까울 만큼 취약함을 드러내게 됩니다.   그러기에 다시 한 번, 마음 급하다고 이론만 챙길 것이 아니라, 중등과정에서 배우는 각종 순수기하의 문제들 중 반드시 발상을 요하는 문제들을 틈나는대로 찾아서 풀면서 고등부 과정을 병행하라고 간곡히 권하는 바입니다. 이 글을 보는 학생들은 특히 해석기하로 지금까지 풀리지 않은 기하문제가 기상천외하게 뭐든지 다 풀릴거라는 황당한 기대를 하고 있다면 즉시 생각을 바꾸고, 해석기하의 문제도 가능한 순수기하와 조합하여 풀 때, 훨씬 더 순조롭게 풀리는 것이니, 그간 배운 중등과정의 순수기하의 모든 이론과 실전문제 해결능력을 총 동원하여 풀 때, 비로소 고등부 해석기하의 심화까지가 해결될 거라는 생각 잊지말기 바랍니다.   끝으로, 정말 긴 글 끝까지 읽어주신 분들께, 어디서 무슨 일을 하시든지, 만사형통하시길 진심으로 바래봅니다.       <DIV class=autosourcing-stub></DIV>