필수예제 67질문입니다.

[수교수교]

1) <a>의 정의가 a를 포함하는 최소의 ideal
2) Zn의 ideal들은 <d>로 표현되고 이때 d|n

1)의 정의에 의해서 <d>의 다른표현 <d1>이 존재하고
이때 d1은 n의 약수가 아니어도 됨을 알고 있습니다.

그 예시로 Z60에서 <24>가 되는데 이게 성립하는 이유가
합동에 의해서 <24>={24, 48, 12, 36, 60}=<12>이 되기 때문으로 생각합니다.

그래서 필수예제 67 풀이를 다시 봤을때
I=<80+<56>>◁Z140/<56>이므로
∃ J ◁ Z140 s.t. I=J/<56>, <56>⊂J 에서
56∈J를 뽑아내고 ax=56을 통해 a|56 이라고 하셨는데

복습과정에서 저는 이게 법 140에 대한 연산이기에
ax1≡56(140)로 작성해야 하는게 아닌가는 생각이 들었습니다. --(*)

또한 풀이에서 ax-80∈<56>이므로

ax≡80(56)이라고 하시고 (a,56)|80하셨는데

제 생각으로는

80+<56> = ax+<56>ax-80∈<56>이므로

적당한 t∈Z140가 존재하여
ax-80≡56t (140)이 되고
ax-80≡56(ax1) (140)
a(x-56x1) ≡ 60 (140) --(**)

(*)에 의해서 (a,140)|56, (**)에 의해서 (a,140)|60 이므로
(a, 140)| 4를 만족한다.


제 개인적으로 만약 오개념이 있다면 (*)일 것 같은데

그래서 첫 번째 질문은 왜 ax=56이라고 주장할 수 있는지 알려주시면 감사하겠습니다.
(개인적인 짐작은 적당히 만족하는 a 하나만 찾으면 되기에
제한적으로 잡아서 잡는 것이 아닌가는 생각을 하고 있습니다.)

그리고 두 번째 질문으로는 80+<56> = ax +<56>에서 왜
ax≡80 (56)이 되는지 입니다.

마지막 세 번째 질문으로는 이 문제를 해결하기 위해서는 결국
a가 140의 약수이다가 필요한데, 적당한 J=<a>가 존재한다고 할때
a가 140의 약수이다라고 가정하고 풀어도 되는지 궁금합니다.

감사합니다.

[유현미]

강의에서 하신 풀이가 수정이 필요한 듯 합니다. 오늘은 수업중이시라 교수님께 확인 후 다시 답변드리겠습니다.

먼저 a | 56이라는 표현은 정수로서 약수, 배수의 의미로도 쓰이지만 환 R의 원소로서 a가 56의 인수라는 의미로도 쓰입니다. 아래 첨부파일을 참고해주세요.

80+<56>=ax+<56> ⇒ 80≡ax (mod 56) 은 성립하지 않습니다. 80≡ax (mod gcd(56,140)) 여야 합니다.

Zn에서 gcd(x,n)=d라 하면
[a]+<[x]>=[b]+<[x]> ⇒ [a]-[b]=[x][y]인 정수 y 존재 ⇒ a-b≡xy (mod n) ⇒ d | n | a-b-xy, d | xy ⇒ d | a-b ⇒ a≡b (mod d)
입니다.

140의 약수가 아닌 x에 대해 <x>=<gcd(x,140)> 이므로 140의 약수 d에 대해 <d>만 고려해도 충분합니다.

[수교수교]

첨부파일로 올려주신 환에서의 표현 잘 확인했습니다. 또한 나머지 답변들도 잘 확인하였고 감사합니다.

본문 글을 다시 보니 제가 모호하게 쓴 부분이 있어 살짝 수정했습니다.
본문에서 ax≡80(56)이라고 하시고 (a,56)|80
여기까지가 수업시간 풀이였고
제 생각을 아래에 작성했었는데 작성한 생각이 수업시간에 사용된 풀이로 보일 수 있어서 수정했습니다.
혹시 본문에서 (**)를 유도하는 식에서는 큰 문제가 없는지 궁금합니다.
감사합니다.

[유현미]

위에서 ax₁≡56 (mod 140)이라고 했으므로
밑에서 2번째 줄에 ax-80≡(ax₁)t (mod 140)이고
따라서 a(x-x₁t)≡80 (mod 140)이어야 합니다.

80이 갑자기 60으로 바뀌었는데요.
gcd(a,140) | gcd(56,80)=8입니다.

[수교수교]

아 전에 -80≡60(140)으로 오타났던 식을 작성해서 잘못 기재한 것 같습니다. 피드백 감사합니다.
좋은 하루 되세요

[유현미]

답변이 늦어져 죄송합니다. 다음주 (6주차) 수업 시간에 수정하여 다시 설명하신다고 합니다.

[수교수교]

네 확인했습니다. 감사합니다.