배수 판정법

[겨울소나기]

배수 판정법

7을 제외한 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9의 배수 판정법은 다음과 같다.

2의 배수 판정법 : 끝자리가 0, 2, 4, 6, 8이면 원래 수는 2의 배수이다.
3의 배수 판정법 : 각 자리 수의 합이 3의 배수이면 원래 수도 3의 배수이다.
4의 배수 판정법 : 끝 두 자리 수가 4의 배수이면 원래 수도 4의 배수이다.
5의 배수 판정법 : 끝자리가 0 또는 5이면 원래 수는 5의 배수이다.
6의 배수 판정법 : 2의 배수이면서 동시에 3의 배수이면 원래 수는 6의 배수이다.
8의 배수 판정법 : 끝 세 자리 수가 8의 배수이면 원래 수도 8의 배수이다.
9의 배수 판정법 : 각 자리 수의 합이 9의 배수이면 원래 수도 9의 배수이다.

예를 들어, 1234759680은 끝 세 자리 수 680이 8의 배수이므로 원래 수도 8의 배수이고, 각 자리 수의 합이 45이므로 원래 수도 9의 배수이다. 따라서 이 수는 2, 3, 4, 6, 8, 9의 배수가 됨을 알 수 있다. 끝자리 수가 0이므로 5의 배수인 것도 분명하다. 그렇다면 7은 어떨까? 이 수가 7의 배수인지 아닌지 직접 나누어 보지 않고 알 수 있는 방법은 없을까?

7의 배수 판정법(1) 과거의 방법

다른 수의 판정법과 달리 7의 배수 판정법은 여러 가지 다양한 방법이 개발되어 있지만, 대부분 그리 간단하지 않아서 직접 나누는 것과 큰 차이가 없는 경우가 많다. 가장 오래된 판정법 가운데 하나는 다음과 같다.

1. 일의 자리부터 시작하여 커지는 방향으로 각 자리 수에 1, 3, 2, 6, 4, 5를 반복하여 곱한다.
2. 위에서 곱한 수들을 모두 더한다.
3. 위의 합이 7의 배수이면 원래 수도 7의 배수이다.

예를 들어, 앞서 보았던 1234759680에 이 판정법을 적용하면 다음과 같다.

168이 7의 배수이므로 이 수는 7의 배수이다. 이 방법은 1, 10, 100, 1000, …을 7로 나눈 나머지를 이용하는 방식으로, 어떤 수의 배수 판정법이라도 비슷한 방법으로 만들어낼 수 있는 장점이 있지만, 여섯 개의 숫자 1, 3, 2, 6, 4, 5를 외우느니 차라리 7로 일일이 나누는 편이 차라리 쉬울 것 같다.

7의 배수 판정법(2) 스펜스의 방법

비교적 간단하면서도 그런대로 효과적인 방법은 일의 자리 수를 두 배 하여 일의 자리를 제외한 나머지 수에 뺀 결과가 7의 배수인지를 살펴보는 것이다. 예를 들어 469의 일의 자리 수 9를 두 배 한 18을 46에서 빼면 46-18 = 28이고, 이것은 7의 배수이므로 원래의 수 469도 7의 배수이다. 두 배 해서 빼는 대신, 다섯 배 하여 더하여도 된다. 이 과정을 반복하면 큰 수도 7의 배수인지 아닌지 판정할 수 있다. 다음은 1234759680에 이 판정법을 적용한 것이다.

최종 결과인 0이 7의 배수이므로 원래의 수도 7의 배수가 된다. 이 방법을 발견한 사람의 이름을 따 “스펜스(Spence)의 방법”으로도 불리는 이 판정법은 간단하기는 하지만 다른 수의 배수 판정법에 비해 꽤 많은 계산을 해야 한다.

7의 배수 판정법(3) 1001이 7의 배수임을 이용

7의 배수인지 판정하는 데는 1001이 7의 배수임을 이용하는 것도 가능하다. 예를 들어,

이므로 123456을 7로 나누는 대신 -123+456 = 333을 7로 나누어 보아도 된다. 이 방법에 따라 1234759680이 7의 배수인지 알아보자. 이 수를 세 자리 끊어 표시하면 1 234 759 680이 되고, 교대로 빼고 더하면, 1 - 234 + 759 - 680 = -154이다. 이 결과는 7의 배수이므로, 원래의 수도 7의 배수임을 알 수 있다. 한편, 1001 = 7×11×13이므로, 7의 배수뿐 아니라, 11과 13의 배수 판정법에도 적용할 수 있다. 즉, 154가 11의 배수이므로 1234759680은 11의 배수이지만, 154가 13의 배수가 아니므로 1234759680은 13의 배수가 아니다.

7의 배수 판정법(4) 라이언스의 방법

이번에는 아주 큰 수에 효과적인 독특한 판정법을 하나 소개하겠다. 이 방법은 뉴욕의 신경정신과 의사인 라이언스(Vosburgh Lyons)가 발견하였다. 역시 1234759680을 예로 들자. 먼저 이 수를 두 자리씩 끊어 표시한다.

이제 각각의 두 자리 수를 7로 나눈 나머지를 차례대로 쓴다.

위의 결과를 오른쪽에서부터 세 개씩 한 조로 묶어 세로로 늘어 놓고 순서대로 더한다.

다시 각 수마다 7로 나눈 나머지를 차례대로 쓴다.

왼쪽 두 숫자, 오른쪽 두 숫자를 묶어 두 수를 만들면 53과 32가 된다. 이 두 수를 7로 나눈 나머지를 구한다.

오른쪽 수에서 왼쪽 수를 빼면 4-4=0이므로 원래의 수는 7의 배수가 된다. 대단히 복잡해 보이지만, 이 방법은 수가 클수록 위력을 발휘하며, 7로 나눈 나머지가 얼마인지까지도 알 수 있다. 화끈하게(?) 1234567891011121314151617181920에 이 판정법을 적용하면 다음과 같다.

7의 배수 판정법(5) 토자의 방법

최근에 브라질 상파울루 대학의 토자(Gustavo Gerald Toja)는 라이언스 판정법과 비슷한 판정법을 고안하였다. 이 판정법 역시 판정하려는 수를 두 자리씩 끊고 각각의 두 자리 수를 7로 나눈 나머지를 구하는 것으로 시작한다.

라이언스 판정법과 달리, 오른쪽에서 짝수 번째의 수는 7에서 뺀 수로 바꾼다.

위의 결과를 거꾸로 쓴다.

새로 만들어진 수를 두 자리씩 끊어 위의 과정을 반복한다.

위의 결과를 거꾸로 쓰고 두 자리씩 끊어 위의 과정을 반복한다.

위의 결과를 다시 거꾸로 쓰면 56이 되고, 이 수는 7의 배수이므로 원래의 수도 7의 배수가 된다.

수학은 사소한 현상을 통해서도 발전한다

요즘처럼 계산기와 컴퓨터가 흔한 세상에 배수 판정법 따위는 큰 의미가 없는 것도 사실이지만, 이런 판정법을 통해 수의 성질과 구조를 이해하는 것은 여전히 의미가 있는 일이다. 예를 들어, 위에서 소개한 두 번째 판정법인 스펜스의 방법이 왜 성립하는지 증명하는 것은 수학과 정수론 시험 문제로 딱 알맞다. 수학은 화려하고 거대한 이론을 통해 발전하기도 하지만, 이처럼 별것 아닌 것처럼 보이는 사소한 현상에 대한 관찰과 연구를 통해서도 발전한다. 여러분도 자신만의 판정법을 한번 찾아보시기를.

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[겨울소나기]

뒷 두 자리 00이면 4의 배수
뒷 세 자리 000이면 8의 배수