EBS에서 4일 밤 9시50분에 방영한 다큐프라임은 고대 이집트 왕국 수학의 비밀을 밝혀 화제다.
수는 어떻게 생겨났을까. 곱셈과 나눗셈은 어떻게 시작했을까. 파이값도 모르면서 원의 면적을 어떻게 구했을까. 수학의 모든 것은 이집트에서 출발한다. 3천500년 전 이집트
서기관이 썼던 파피루스 한 장에 의지해 인류 최초의 문명 이집트가 어떻게 왕국을 다스렸으며, 분배와 측량의 기술을 터득했는가를 살펴본다.
한편 그리스는 메소포타미아 지역의 수학과 이집트의 수학을 모두 접할 수 있는 지리적 이점을 가지고 있었다.
그리스 수학은 탈레스(Thalēs)로부터 시작된 것으로 보는데, 그는 기원전 6세기 경 바빌로니아와 이집트를 방문하였다.
탈레스는 오리엔트 수학의 특징인 “어떻게?”라는 것에서 나아가 “왜?”라는 질문에 대해서 답하고자 하였다. 그는
직각삼각형의 비례를 이용하여 피라미드의 넓이를 구하였으며, “원은 지름에 의해 이등분 된다.”, “이등변삼각형의 밑변의 두 각은 같다.” 등등의
정리를 발견하고 증명하였다. 또한 그리스의 피타고라스 학파는 수를 신비한 것으로 간주하고 우주의 영원한 법칙을
수를 통해 탐구하고자 하였다.
피타고라스 학파는 산술적 비율(2b=a+c), 기하적 비율(b2=ac), 조화비율을 구분하여 다루었고, 정다각형과 정다면체의 성질을 알고 있었으며, 선분의 통약불가능성(通約不可能性, incommensurability)을 통하여
‘무리수(irrational number)’를 발견하였다.
그리스 수학의 정수는 유클리드의 13권의 원론(Stoicheia)에서 잘 드러난다.
유클리드는 그 당시의 세 가지 위대한 발견인 비율에 관한 에우독소스(Eudoxos)의 정리, 무리수에 관한 테아이테투스의 정리, 플라톤(Plato)의 우주론에서의 정다면체의 이론을 포함하여 책을 구성하였다. 원론은 원론에 포함된 내용보다
이를 전개한 방법에서 더 큰 의의를 갖는다. 유클리드는 일련의 정의, 공준, 공리에서 출발하여 엄격하게 논리적인 연역에 기초하여 명제를
전개해 나가는 공리적 방법으로 책을 구성하였다. 이러한 공리적 방법은 이후 현대수학의 가장 기초적이고 근본적인 방법으로 자리 잡았다. 유클리드 이후 적분에 대해서 심도 있게 논의한
아르키메데스(Archimedes), 원뿔곡선에 대해서 논의한 아폴로니우스 등도 그리스 시대의 유명한 수학자였다.
▲ 그리스 수학의 상징적인
그림
이 시기의 수학에 대해서는 주요 수학자별 업적으로 그 흐름을 파악해 볼 수 있다. 클라우디오스
프톨레마이오스(Klaudios Ptolemaeos)는 대집전(Great Collection)에서 0.5°간격으로 증가하는 각에 대한 현의 길이를
표로 제시하였고, 사인공식과 코사인공식 등에 대한 시초를 볼 수 있으며 한 원에 내접하는 사각형에 대한 정리를 볼 수 있다.
디오판토스(Diophantos)는 그의 책 『산학』에서 다양한 대수적 문제들을 다루었는데 부정방정식과 연립 부정방정식의 해를 구하는 방법을
포함하였고, 비록 축약적으로 사용한 것이기는 하나 미지수, 빼기, 역수 등에 대해서 특정한 기호를 사용하는 등 대수기호를 체계적으로
사용하였다.
이후 4세기 경 파푸스(Papus)는 그의 저서 『수학집성』에서 그리스 기하학의 기존의 정리와 증명에 대하여 주석을 포함하여 정리하였다. 고대 저자의 많은 업적들이 파푸스에 의해 정리된 형태로 남아 있다. 레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci)는 오리엔트를 여행하고 이 때 수집한 산술과 대수 지식을 모아 『산반서』(1202)와 『실용 기하학』(1220)을
기술하였다.
16세기에는 3차 방정식에 대한 논의가 활발하였다. 페로는 3차 방정식을 해결한 것으로 알려졌으며 니콜로 타르탈리아(Niccolo
Tartaglia)에 의해 1535년에 페로의 방법이 재발견되었다. 타르탈리아는 지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano)에게 그 방법을
전해주었고 카르다노의 『위대한 술법』이라는 저서에 이 방법이 기록되어 남겨졌다.
16세기 후반의 수학자 프랑수아 비에트(François Vièe)는 3차 방정식에 대한 카르다노의 해를 삼각법적인 해로 환원하였고, 최초로
미지수가 아닌 기지수에도 문자를 사용하였다. 대수학의 발전을 기호 발달의 측면으로 구분할 때, 비에트는 현대적인 기호 사용의 시작을 알린
학자였다. 16세기의 몇몇 수학자는 산술급수와 기하급수를 통합할 수 있는 가능성을 다루었고, 특히 존 네이피어(John Napier)는 『놀라운
로그 체계의 기술』이라는 저서를 1614에 발간하기도 했다.