국립중앙과학관 - 수의 역사 정17각형의 작도정17각형은 작도 가능하다!

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국립중앙과학관 - 수의 역사 정17각형의 작도정17각형은 작도 가능하다!

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hanjy9713

2024.01.06. 22:30조회 0

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국립중앙과학관 - 수의 역사

정17각형의 작도

정17각형은 작도 가능하다!

여러분에게 가장 친숙한 도형은 무엇인가요?

아마 직선과 원이 가장 친숙한 도형일 거예요. 여러분은 직선을 그리는 자와 원을 그리는 컴퍼스를 가지고 있지요? 반듯한 물건만 있으면 눈금은 없을지라도 자 대신 쓸 수 있고, 팽팽한 실에 연필을 매달면 컴퍼스처럼 사용할 수 있어요. 이처럼 자와 컴퍼스는 단순한 도구라서 고대 사람들도 사용했답니다. 단순한 도구인 자와 컴퍼스만을 사용해서 상당히 많은 선이나 도형을 그릴 수 있어요.

예를 들어 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형과 같은 정다각형을 자와 컴퍼스만으로 그릴 수 있답니다.

수학에서는 자와 컴퍼스만으로 선이나 도형을 그리는 것을 ‘작도’라고 해요. 눈금이 없는 자와 컴퍼스 두 개만으로 작도하는 것을 ‘기하학적 작도’나 ‘유클리드 작도’ 혹은 ‘플라톤 작도’라고 하지요.

정다각형 중 변의 개수가 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, ··· 인 것은 자와 컴퍼스로 작도할 수 있었어요. 그런데 오랫동안 정7각형, 정9각형, 정11각형, 정13각형, 정17각형··· 등을 작도할 수 있는가 하는 문제는 해결되지 않고 있었어요. 그러다가 1796년에 19세의 청년 가우스가 정17각형의 작도가 가능하다는 것을 증명해 보이면서부터 이 문제에 대한 해결의 실마리가 보이기 시작했어요.

가우스는 정17각형이 작도 가능한 것은 cos(360°/17)를 작도할 수 있다는 것을 보이는 것과 같다고 생각했어요. 가우스가 보인 것을 표현하면 다음과 같아요.

가우스의 ‘정17각형’ 작도

엄청 복잡해 보이지요? 이 값이 사칙연산과 제곱근만으로 이루어져 있기 때문에 작도할 수 있다는 것이 가우스의 결론이었어요.

그런데 재미있는 것은 가우스는 직접 정17각형을 작도한 적이 없다는 것이에요. 가우스는 정17각형을 작도할 수 있다는 것만 증명해 보였거든요. 그런데 몇 년 뒤 정17각형을 작도하는 방법이 나왔고 그 후에는 개선된 다른 방법들도 나왔어요. 하지만 여전히 정17각형을 작도하는 것은 꽤 복잡하고 어려운 일이랍니다.

가우스의 ‘정17각형’ 작도

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