E=mc2, 길이수축, 시간지연 특수상대론 유도 (중학수학 수준, 웹에서 펌)

[팜파스]

시간 지연(Time Dilation), 길이 수축(Length Contraction)을 나타내는 방정식과 에너지 질량 등가에 관한 E=mc^2 을 유도해 보도록 하자.

시간지연(time dilation) 방정식

아래 그림과 같이 두 개의 마주보는 거울과 광자(光子) 하나를 이용한 가상의 시계를 만들었다고 하자. 마주보고 있는 두 거울 사이의 거리는 h이고, 광자는 빛의 속도 c로 두 거울 사이를 시계추처럼 똑딱똑딱하며 왔다 갔다 하고 있다.

관측자 A는 땅위에 서있다. 왼쪽 그림은 이 가상시계 자체가 정지해 있을 때(즉 시계는 동작하고 있고, 시계 자체가 움직이지 않고 정지해 있다는 의미이다) 관측자 A가 관측한 것이고, 오른쪽 그림은 이 가상시계가 속도 v로 움직이고 있을 때 관측자 A가 관측한 것이다.

광자가 밑에 있는 거울에서 출발하여 위에 있는 거울까지 가는 시간을 위의 두 관점에서 각각 측정해보자.

아래 그림의 왼쪽 그림에서 빛의 속도는 c이고, 두 거울 사이의 거리는 h이며, 아래 그림의 오른쪽 그림에서, 가상시계 자체가 속도 v로 움직이므로,

관측자 A의 입장에서 가상시계를 바라보면 광자의 움직임은 거울이 움직이는 방향으로 비스듬하게 가는 것처럼 보일 것이다. 또한 빛의 속도는 언제나 일정하므로, 관측자 A의 입장에서 비스듬한 경로를 따라 움직이는 광자의 속도는 역시 c로 관측된다. 

자, 이제 준비는 끝났다. 가상시계의 아래 거울에서 출발한 광자가 위 거울까지 움직인 거리는 피타고라스의 정리에 의해 구할 수 있다. 관측자 A의 관점에서 볼 때, 정지한 상태의 가상시계의 시간을 t0, 속도 v로 움직이는 가상시계의 시간을 t 라고 하면,

길이 수축(length contraction) 방정식

자, 시간 지연 방정식을 유도해 봤으니, 이젠 속도 v로 움직이는 물리계에서 길이는 어떻게 변화할 것인가에 대해 알아보고, 그와 관련된 방정식을 유도해보자.

이 방정식을 유도하기 위해서는 아래 그림과 같이 약간 장치를 바꾸어 보자.

상자안의 왼쪽 끝에 연두색 물체가 하나 있고, 상자의 오른쪽편에 거울이 있다. 

여기서, 물체를 떠난 빛이 오른쪽으로 진행해서 거울에 반사한 후, 다시 그 물체로 돌아오는 경로를 생각해보자. 아래 그림의 관측자 A는 상자가 정지해 있을 때 이 현상을 바라본 것이고, 관측자 B는 상자가 속도 v로 움직이고 있을 때 이 현상을 바라본 것이다.

자 그러면 아래의 그림을 자세히 보면서, 차근차근 설명을 따라 가보자. 그러면 여러분들도, 특수상대성 이론에서 유도하는 길이에 대한 방정식을 유도할 수 있을 것이다.

에너지 질량 등가 : E=mc^2 유도

이 방정식을 유도하기 위해서는 맥스웰의 전자기파에 관련된 3개의 방정식으로부터 시작되어야 하지만, 여기서 시작하게 되면 짜증 지대로인 글이 될 것이다.

그래서 맥스웰의 방정식에서 도출된 결과(에너지가 E인 광자의 운동량 p는 p=E/c)만 이용하여 차근차근 풀어나가기로 한다.

에너지 질량 등가 방정식을 유도하기 전에, 먼저 기본적으로 알아야 할 것이 있다. 운동량(momentum)이라는 개념과 운동량 보존 법칙에 대해서 간략하게 복습을 하고 진행하도록 하자.

운동량은 질량(m) x 속도(v)로 정의하며, 일반적으로 운동량을 알파벳 p로 표현하므로 p = mv 로 된다. 운동량의 보존이라는 것은 어떤 고립된 물리계가 있을 때, 그 물리계 내의 운동량은 절대 변하지 않는다는 법칙이다.

이해하기 쉽게 당구장의 당구공을 떠올려보자. 하나의 당구공을 힘껏 쳐서 다른 당구공의 정중앙에 충돌시키면, 큐로 때린 당구공은 그자리에 멈춰서고, 맞은 당구공은 튕겨나가게 된다. 이 때, 이 두 당구공의 운동량은 보존된다.

운동량을 정의할 때, 질량이라는 요소가 포함된다. 하지만, 맥스웰은 질량이 전혀 없다고 알려진 광자(photon)에도 운동량이 존재한다는 사실을 밝혀냈다. 질량이 0인 광자가 어떻게 운동량을 가지고 있을까?

여기서 아인슈타인의 위대한 통찰력은 광자의 에너지가 틀림없이 질량과 동등할 것이라는 생각을 가지게 했고, 아인슈타인은 다음과 같은 사고(思考) 실험을 하게 되었다.

아무것도 없는 텅빈 우주 공간에 정지해 있는 상자 하나가 있다. 이 상자 안에서, 광자 하나가 상자의 왼쪽에서 오른쪽으로 발사되었다.

이 상자는 운동량이 보존되므로, 에너지를 가진 광자가 오른쪽으로 발사됨에 따라, 상자는 왼쪽으로 움직이게 된다.(물론 그 움직인 거리는 어림잡을 수 없을 정도로 작겠지만,,) 조금 후에 광자는 상자의 오른쪽 벽에 부딪히게 되고, 그 광자가 가진 모든 운동량을 상자에 전달하게 된다.

이 충돌로 인해 왼쪽으로 움직이던 상자는 운동량 보존에 의해 멈추게 된다. 그런데 여기에는 한 가지 문제점이 있다. 이 상자의 바깥에서 어떠한 힘도 상자에 작용하지 않았으므로, 상자의 질량중심은 절대 움직여서는 안된다.

하지만, 상자는 왼쪽으로 움직였으므로 질량중심 역시 왼쪽으로 조금 움직였다고 생각할 수 있다. 여기에 문제가 있는 것이다. 아인슈타인은 운동량 보존 법칙과 모순되는 이 문제를 "광자의 에너지는 질량과 동등한 성질을 가진다"는 논리를 주장함으로써 해결했다. 즉, 오른쪽으로 움직인 광자의 에너지가 질량과 동일한 역할을 함으로써 이 상자의 질량중심은 변하지 않았다고 주장한 것이었다.

자, 그러면 아인슈타인의 사고(思考) 실험을 아래 그림을 참조하여, 천천히 따라가보면서 이해해보자.

여기까지 이해가 되었다면, 이 상자 전체의 질량중심에 대해 살펴보자. 상자의 질량중심은 분명히 왼쪽으로 움직였다. 하지만 광자의 에너지에 해당하는 질량을 고려하게 되면, 상자 전체의 질량중심은 움직이지 않아야 한다.(아까도 말했지만 운동량 보존에 의해..)

[전형수]

위의 설명이 틀린 것은 아니지만 쉬운 내용을 매우 어렵게 설명한듯한 느낌이 드네요. E=mc^2의 핵심은 E=pc에 있습니다. 그런데 이것을 그냥 받아들이고 있으니 실질적으로는 증명한 것이 별 의미가 없네요. 만일 E=pc를 인정하면 p=mc이므로 E=mc^2이 성립함을 쉽게 확인할 수 있겠네요...p=mc이 성립함은 확실할지라도 이와 같은 식을 함부로 적용하면 않된다고 주장할지 모르나 위에 증명하는 과정을 보면 고전적으로 두 입자간의 충돌에서 적용한 것과 다를바가 없습니다. 다시말해서 그냥 고전적으로 다루는 상황이므로 고전적인 적용식인 p=mc가 맞음을 굳이 의심할 필요가 없다는 것이죠.