체 모고 1회 B6 현대대수 질문

[Platiniridium]

제 질문은 문제에서 irr(α,Q)의 차수를 묻는 것과 관련된 것입니다.

칠판 사진들 속 상황 전반부에서 지금

α ∈ K_H,  K_H > Q(α) > Q ,  [K_H : Q]=3,  [Q(α):Q] = 1 or 3  ( K=Q(ζ). H=<σ>, σ(ζ)=ζ^8 )

은 아무 문제없이 이미 얻어진 상태입니다. (마지막 사진 파란박스 부분 해당)

마지막 사진에서는 문제에서 요구한 irr(α,Q)의 차수를 구하기 위해

[Q(α):Q] = 3 를 확립하려고  K_H = Q(α) 을 주장하는 중입니다. 

이를 위해, 

 G(K/Q)=<σ.>이므로 (단, σ.는 판서 속 σ_0 (=sigma_knot)을 나타내고, σ.(ζ)=ζ^2 )   
σ.(α)≠α 을 보여서 α가 σ.에 의해 고정되지 않으니 α는 Q에 들지 않는다는 것을 보이려고 합니다. (빨간박스 부분)
그래서 α와 σ.(α)을 계산해보니 노란박스 부분처럼 처럼 결과가 나왔는데 
α 와 σ.(α)가 노란박스 부분의 모양이 (mod 19)에서 각각 2^(3k), 2^(3k+1) 으로 다르기 때문에   
σ.(α) ≠ α 이다 라고 설명하셨습니다. -- 이 부분이 의문이 든 부분입니다.  

제 의문은 노란 박스 안의 각각의 항들이 서로 다르지만 그것들의 합인 
α 와 σ.(α)들은 같아질 수도 있지 않을까? 하는 것입니다.

만약 아니라면, 그런 가능성은 어떻게 배제됐는지가 궁금합니다. 

[신선물고기]

zeta^{2^k}, k=0,1,2,..., 18 은 Q위에서 선형 독립임에 주목하세요. 이들 중 지수가 다른 조합은 같을 수 없습니다.