시계열 HP 필터(Hodrick-Prescott Filter)

[주인장]

HP 필터(Hodrick-Prescott Filter)는 거시경제학과 금융 시계열 분석에서 데이터의 장기적인 큰 흐름(추세, Trend)과 단기적인 위아래 출렁임(순환 변동, Cycle)을 분리해내는 대표적인 수학적 기법입니다.

쉽게 비유하면, 파도가 거세게 치는 바다에서 수면의 전체적인 조수 간만의 차(추세)와 일시적인 개별 파도의 높낮이(순환)를 분리해내는 작업과 같습니다.

1. 기본 원리

HP 필터는 관측된 실제 데이터($y_t$)를 두 가지 성분의 합으로 가정합니다.

$$y_t = \tau_t + c_t$$

• $y_t$ (실제 데이터): 관측된 값 (예: 실질 GDP)

• $\tau_t$ (추세 성분, Trend): 경제의 구조적 잠재 성장 경로

• $c_t$ (순환 성분, Cycle): 호황과 불황에 따른 경기 변동 (GDP 갭)

2. 어떻게 분리할까? (줄다리기 최적화)

HP 필터는 다음의 목적 함수를 최소화하는 추세선($\tau_t$)을 찾습니다.

$$\min_{\tau} \sum_{t=1}^{T} (y_t - \tau_t)^2 + \lambda \sum_{t=2}^{T-1} \big[(\tau_{t+1} - \tau_t) - (\tau_t - \tau_{t-1})\big]^2$$

이 식은 두 가지 상충되는 목표 간의 줄다리기입니다.

• 앞부분 (적합도): 실제 데이터($y_t$)와 추세선($\tau_t$)의 오차 제곱합을 줄여서 추세선이 실제 데이터를 잘 따라가게 만듭니다.

• 뒷부분 (매끄러움): 추세선의 기울기 변화량(2차 차분)을 줄여서 추세선이 꺾이지 않고 매끄럽게(Smooth) 이어지도록 만듭니다.

• $\lambda$ (스무딩 계수): 이 두 목표 사이의 균형을 조절하는 페널티 가중치입니다.

3. $\lambda$ (람다) 값의 의미와 권장치

$\lambda$ 값이 어떻게 설정되느냐에 따라 추세선의 형태가 완전히 달라집니다.

• $\lambda \to 0$: 매끄러움에 대한 페널티가 없어지므로, 추세선이 실제 데이터와 완전히 일치합니다 ($\tau_t = y_t$, 순환 변동 = 0).

• $\lambda \to \infty$: 추세선의 곡률을 극단적으로 억제하여 단순 선형 회귀 직선이 됩니다.

거시경제 분석에서 데이터 주기에 따라 널리 쓰이는 표준 람다 값은 다음과 같습니다:

데이터 주기

권장 λ 값

비고

4. 장점과 한계점

장점

• 별도의 복잡한 모델링 없이 데이터 주기와 $\lambda$ 값만 지정하면 간편하게 추세와 순환을 분리할 수 있습니다.

• 잠재 GDP 추정과 경기 변동성(GDP Gap) 측정에 사실상 표준(de facto standard)으로 널리 사용됩니다.

한계점 (주의점)

• 끝점 왜곡 (End-point bias): 데이터의 양 끝(시작점과 최신 시점)에서는 앞뒤 변화를 충분히 참조하지 못해 최신 데이터 부근의 추세선이 실제보다 왜곡될 수 있습니다.

• 가짜 주기 생성 가능성 (Spurious cycles): 추세가 없는 무작위 데이터(Random walk)에 적용해도 인위적인 경기 변동 주기를 만들어낼 위험이 있습니다.