미적분학(微積分學, Calculus)

[문안일]

서울대학교 김홍종 교수님의 자료입니다.^^ ( http://www.math.snu.ac.kr/~hongjong/TheBook/Calculus.htm 에서...)

미적분학(微積分學, Calculus)

`미적분학'은 미분적분학(Differential and Integral Calculus)을 줄인 말이다.

미적분학의 기본 철학은 "함수를 아는 것과 그 함수의 변화율을 아는 것은 크게 다르지 않다"는 것이다.  

우리가 관찰하는 것은 주로 "변화"인데 이것을 이해하면 전체를 이해한다는 것이다.

함수 가운데 가장 간단한 것은 상수함수라 할 수 있다.  상수함수란 변하지 않는 함수를 뜻하고, 한 점에서의 함수 값을 알면, 다른 점에서의 값도 바로 안다.  상수함수의  변화율이 영인 것은 너무나 당연하다.  

미적분학은, 거꾸로, 모든 순간의 변화율이 영인 함수는 상수함수라는 것을 말하여 준다.  (엄밀하기 위하여, 모든 함수의 정의역을 실수의 구간으로 한정한다.)  함수의 그래프를 보면, 각 점에서의 기울기가 바로 변화율인데, 기울기가 모든 점에서  영이니 함수의 그래프는 수평으로 그려지고, 그것이 바로 상수함수라는 뜻이다.

주어진 함수에서 각 순간의 변화율을 측정한 것을 그 함수의 도함수(derivative)라 한다.  (도함수에 대하여 처음의 함수를 원시함수라 한다.)  미적분학에서 처음으로 만나는 중요한 정리가 바로

상수함수 = 변화율이 영인 함수 = 도함수가 영인 함수

이다.  

하나도 어렵지 않다.  우리가 어려운 것을 잘 이해하지 못하는 이유는 주로 쉬운 것을 잘 이해하지 못하기 때문이다.

위 정리에서 다음을 바로 안다. 

`두 함수가 같다'는 것과 `두 함수가 한 점에서 함수 값이 같고, 두 함수의 도함수가 같다'는 것은 동치이다. 

왜냐하면, f'(x) ≡ g'(x) 이면 (f-g)'(x) ≡ 0 이고, 따라서 f-g 는 상수함수이다.  한편, 상수함수는 한 점에서의 값으로 결정되는데, f 와 g 가 한 점에서 값이 같으므로, f-g 는 항등적으로 영인 함수이다.  그러므로 f(x) ≡ g(x) 이다. ...

라이프니츠의 공식

미분법에서 사용되는 주요한 공식 가운데 하나가 `라이프니츠의 법칙' 또는 `곱의 미분법'이라고 부르는 공식이 있는데 이것은 다음을 뜻한다.

(fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)

이 공식은 가로가 f(x), 세로가 g(x) 인 직사각형에서 가로를 Δf 만큼 늘이고, 세로를 Δg 만큼 늘이는 경우에 늘어난 넓이가 얼마인가를 살펴보아 유도할 수 있다.  직사각형의 늘어난 넓이는  (Δf)·g + f·(Δg) + (Δf)·(Δg) 이다.  이 값을 측정하는 구간의 나비 Δx 로 나누어, 극한을 살펴보면, 위의 공식이 나온다.

라이프니츠의 공식에서 다항함수의 미분법을 바로 얻는다.

x' = 1

(x²)' = x'x + xx' = 2x

(x³)' = (x²)'x + x²x' = (2x) x + x² = 3x² , ...

(xⁿ)' = n x^n-1

연습문제:  

(f g h)'(x) = f'(x) g(x) h(x) + f(x) g'(x) h(x) + f(x) g(x) h'(x)

를 유도하라.

　

Fermat 의 임계점 정리

변화율이 영인 점을 임계점이라 한다.  산의 정상에 올라가 보면 평평한 것처럼, 함수의 최대점에서는 그 변화율이 영이다. 

미분가능한  함수의 극대점이나 극소점은 임계점이다.

다시 말하면, 최대값이나 최소값을 구하기 위해서는 임계점을 찾으면 된다.

단조함수

증가함수이거나 또는 감소함수인 함수를 단조함수라 한다.

도함수가 양인 함수는 증가함수이고, 도함수가 음인 함수는 감소함수이다. 

합성함수 미분법

df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x)

삼각함수의 미분법

sin' x = cos x,        cos' x = - sin x

원주 위의 점 A :=(cos x, sin x) 의 변화율을 측정하여야 한다.

그림에서 B = ( cos(x+Δx), sin(x+Δx)) 이고, B 를 반지름 OA 에 내린 수선의 발을 C 라하고, A 에서 접선과 반지름 OB 의 연장선과의 교점이 D 이다. 그러면

BC < AB < 호AB = Δx < AD

이다 (마지막 부등식은 부채꼴 OAB 와 삼각형 OAD 의 넓이를 비교하여 얻는다).  따라서 

 cos(Δx) = BC/AD < AB/Δx < 1

이다. 그러므로 협공의 원리에서

    lim_Δx→0 AB/Δx = 1

이다. 그림에서 d(cos x, sin x)/dx 가 (-sin x, cos x) 에 비례한다는 것을 알 수 있다. 이제 그 비례 상수가 1 이므로, 

d(cos x, sin x)/dx = (-sin x, cos x)

를 얻는다. 이것이 바로 원하는 바이다.

삼각함수와 멱급수 

원을 360˚라 하고, 하루를 1˚라 한다면, 1˚를 작도하고 싶어하는 것은 당연한 일이다.  별자리 지도를 만들고, 바람부는 방향도 정하고, 시계도 만들어야 하니까. 

180˚, 90˚, 45˚ 등은 누구나 작도할 수 있다. 각을 이등분 하는 일은 위대한 유클리드의 원론에 잘 소개되어 있다. 정삼각형을 작도할 수 있으니 60˚를 작도하는 것도 쉽고, 따라서 30˚나 15˚ (= 360˚/24)의 작도도 쉬운 일이다.  즉, 한바퀴(360˚)를 24로 등분하는 것은 쉬운 일이다.

황금비를 작도할 수 있고, 정오각형을 작도할 수 있으니, 72˚를 작도할 수 있다.  그러므로 36˚, 18˚, 9˚ 등을 작도 할 수 있다.  한편 15˚ - 9˚ = 6˚ 를 작도할 수 있으니, 3˚를 작도 할 수 있다.

이제, 각을 삼등분 할 수만 있다면, 1˚ 를 작도할 수 있을 터인데...

대수적으로는, 각을 이등분하는 것은 이차방정식을 푸는 것과 마찬가지이고, 각을 삼등분 하는 것은 삼차방정식을 푸는 것과 마찬가지이다.  그런데, 자는 직선을 그리고, 따라서 일차식에 해당되고,  콤파스는 원을 그리니 이차식에 해당된다.  또 원과 원의 교점은 사차식에 해당된다. 그러므로 자와 컴파스가 풀 수 있는 문제는 일차식, 이차식, 사차식, 팔차식 등의 방정식이지만, 삼차식은 풀 수 없다.  이러한 이유로 자와 컴파스만으로 일반각을 삼등분하는 것은 불가능하다. 

하지만 미적분학은 

sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ... =: S(x)

cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ... =: C(x)

임을 말해주고, 따라서 sin 1˚ 또는 cos 1˚ 등의 값을 아주 엄밀하게 측정하여 준다. 

이제 왜 위와 같은 등식이 성립하는지 살펴본다. 

먼저 S'(x) = C(x),  C'(x) = - S(x) 임을 안다.  

우리가 보이고자 하는 것은 

(sin(x) - S(x))² + (cos(x)-C(x))² 

이 항등적으로 영이라는 것을 보이는 것과 마찬가지이다.  그런데 이 함수는 한 점 (x=0) 에서 영이고, 따라서 도함수가 영이라는 것을 증명하면 된다. 한편 도함수는

2 (sin(x) - S(x))(cos(x)-C(x)) + 2(cos(x)-C(x))(-sin(x) + S(x)) = 0

이다.  이로서 원하는 것을 얻는다.

Lotka-Volterra 모형

이야기 나온 김에 인류통계학자인 A. Lotka 와 수리물리학자인 V. Volterra 가 1920년대에 연구한 미분방정식이 어떻게 먹이-포식자 모형을 설명하는지 살펴본다.

넓은 섬에 토끼와 여우가 살고 있다고 하자. 풀이 많고 넓은 섬이라 토끼는 번식하는 데 아무런 지장이 없고, 따라서, 여우가 없다면,  토끼의 마리수의 매달 증가율 x' 은 현재의 마리수 x 에 비례한다.  하지만 토끼의 증가율은 토끼가 여우에  먹힐 때 마다 줄어든다.  여우의 마리수를 y 라 한다면, 이러한 해석은 미분방정식

    x' = a x - b x y

로 표현된다.  한편, 여우의 매달 증가율은 토끼를 자주 만나면 늘어나지만, 토끼가 없을 때에는 자연 감소한다.  따라서 이러한 해석은

    y' = c x y - d y

로 표현된다.

이제 토끼와 여우의 마리수를 평면의 점 (x,y) 로 나타낸다면,

다음과 같은 그림이 나온다.

토끼의 마리수가 최대(또는 최소)인 점에서는 x'=0 이고, 따라서 y = a/b 임을 안다.

또 여우의 마리수가 최대(또는 최소)인 점에서는 y'=0 이고, 따라서 x = d/c 이다.

또,  x < d/c 이면 y 는 감소하고,  x > d/c 이면 y 는 증가한다.

마찬가지로,  y < a/b 이면 x 는 증가하고,  y > a/b 이면 x 는 감소한다.

보기를 들어

a = 0.1,    b = 0.005,     c = 0.00004,     d = 0.04

이면

 d/c = 1000,     a/b = 20

이다. 그러므로 현재의 마리수가

x₀ = 2000,    y₀ = 10

이라면 토끼의 수는 일정기간 동안 증가하고, 이때 여우의 수도 같이 증가한다.

만약 처음의 토끼수와 여우수가 각각 1000, 20 이면, 이러한 상태는 앞으로도 계속되어 평형상태가 유지된다.

에너지 보존법칙

위와 같은 모형에서는 제일적분(또는 에너지)이라 부르는 양이 보존된다.  이 경우에 제일적분은

E = a ln y - b y + d ln x - c x

이다.  제일적분이 보존된다는 것을 증명하기 위해서는

E'(t) ≡ 0

을 보이면 된다.

에너지 보존법칙은 Lotka-Volterra  모형이 주기적인 현상임을 설명한다.

멜라닌 색소

Lotka-Volterra 의 모형은 여러 가지 방법으로 일반화 할 수 있고, 그러한 일반화는 박테리아의 번식이나, 인체에서 면역 기능이 생기고, 에이즈가 발병하는 것들을 설명하는 데 쓰인다.  나아가서 동식물들에 무늬가 생기고, 멜라닌 색소가 피부에 점점이 박히는 것을 설명하기도 한다.

일기예보를 할 때에는 조금 더 복잡한 미분방정식을 사용한다.