광물학 10 : 광물 광석 결정 형태 및 대칭 10.2: 스테레오 다이어그램 2.1: 스테레오 다이어그램의 대칭

[백산]

광물학 10 : 광물 광석 결정 형태 및 대칭 10.2: 스테레오 다이어그램 2.1: 스테레오 다이어그램의 대칭

 

 
출처 덱스터 퍼킨스 노스다코타 대학교     소스: EK 이페어케이 플러스

10.2.1: 스테레오 다이어그램의 대칭

크리스탈의 대칭을 보는 편리한 방법은 스테레오 다이어그램이라고도 하는 스테레오그래픽 프로젝션을 사용하는 것입니다. 

스테레오 다이어그램을 사용하면 2차원 다이어그램에서 3차원 대칭을 묘사할 수 있습니다. 

스테레오 다이어그램은 거울 평면, 반전 중심, 회전 대칭 및 크리스탈 문자면과의 관계를 나타내지만 스테레오 다이어그램은 문자면의 모양을 표시하지 않습니다.

 다이어그램에는 대칭만 표시됩니다.

10.2.1.1 회전축

그림 10.18: 적절한 회전 축

스테레오 다이어그램은 정량적이고 매우 복잡할 수 있습니다. 

이 본문에서는 그들의 질적 측면을 고려하는 것으로 충분합니다. 

그림 10.18은 페이지에 수직인 1배, 2배, 3배, 4배, 6배 회전 축을 나타내는 스테레오 다이어그램을 보여줍니다. 

다이어그램 중앙에 있는 기하학적 기호(빨간색)는 회전 축의 종류를 나타냅니다. 

5개의 도면에서 회전축은 하나의 검은색 점에서 작동하여 다이어그램의 중심을 중심으로 360°, 180°, 120°, 90° 및 60° 회전하여 0, 1, 2, 3 또는 5개의 다른 점을 생성합니다.

그림 10.19: 적절한 회전축을 포함하는 결정체

그림 10.19는 회전축을 갖는 크리스탈의 예시를 보여줍니다. 

이러한 종류의 그림에서는 대칭을 제한하고 대칭을 명확하게 하기 위해 여러 가지 다른 모양의 면이 있는 크리스탈을 묘사해야 하는 경우가 많습니다(이 그림에서와 같이). 

원하는 것보다 대칭이 많은 그림을 쉽게 만들 수 있습니다. 예를 들어, 상단 피라미드 면이 없는 경우 2겹, 3겹, 4겹 및 6겹 대칭을 가진 결정에도 수직 거울이 포함됩니다.

그림 10.20: 페이지 평면의 회전 축

그림 10.18의 스테레오 다이어그램은 대칭과 점의 반복을 페이지 평면에서 아주 잘 보여줍니다. 그러나 대칭 연산은 3차원에서도 작동합니다. 

세 번째 차원을 수용하려면 페이지 아래와 위에 점을 표시하는 방법이 필요합니다. 

관례에 따라 실선은 페이지 평면 위의 점을 나타내고 원은 페이지 평면 아래의 점을 나타냅니다(그림 10.20a). 

점 주위에 작은 원으로 형성된 과녁 기호는 페이지 바로 아래에 있는 페이지 위의 점을 표시합니다. 그림 10.20b는 두 가지 예를 보여줍니다.

 페이지의 평면 내에 있는 점(결정의 적도 주위)은 항상 스테레오 다이어그램의 바깥쪽 원에 단색으로 표시됩니다(그림 10.20c).

그림 10.20a와 b는 2겹과 4겹의 대칭 축이 페이지의 평면에 평행하게 놓여 있는 것을 보여줍니다. 

페이지 위의 포인트에서 작동하여 아래의 포인트를 생성합니다. 2겹 축의 경우 검은색 점(페이지 위)은 180도 회전한 후 열린 원(페이지 아래)이 됩니다o 

페이지의 평면에 있는 축을 중심으로 합니다. 두 기호는 서로 겹쳐져 있지 않습니다.

 4겹 축(10.20b)의 경우 90o 축을 중심으로 회전하면(즉, 페이지의 평면에 있음) 4개의 동일한 점이 생성됩니다. 

페이지 아래의 두 점은 위의 두 점 바로 아래에 있으므로 과녁으로 표시됩니다.

그림 10.20a에서 바깥쪽 원은 점선입니다. 다른 두 다이어그램에서는 견고합니다.

 왜 이런 차이가 나는가? 단색 바깥쪽 원은 수평 미러 평면이 페이지 위의 점을 페이지 아래로 반사한다는 것을 나타냅니다(과녁 모양 기호로 표시). 

반대로, 점선 원은 반사가 없고 페이지에 평행한 거울 평면이 없음을 의미합니다. 

그림 10.20c에서 점은 바깥쪽에 있으므로 페이지의 평면 내에 있으므로 위아래로 반사될 수 없습니다. 

이러한 경우 원은 단색 또는 파선일 수 있지만 일반적으로 단색으로 표시됩니다.

그림 10.21: 거울 평면이 있는 스테레오 다이어그램

따라서 거울은 페이지의 평면에 놓일 수 있습니다. 

그들은 또한 다른 방향을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 그림 10.21의 4개의 스테레오 다이어그램에는 페이지에 수직인 미러 평면이 포함되어 있습니다. 

다이어그램의 중심을 통과하는 직선으로 나타납니다. 이러한 다이어그램 중 일부는 다른 종류의 대칭도 나타냅니다.

●다이어그램 a는 1개의 수직 거울과 반사에 의해 관련된 2개의 점을 포함합니다.

●그림 b는 90에 3개의 미러를 포함하고 있습니다.o 서로에게, 하나는 페이지의 평면에 있고(바깥쪽 원은 실선으로 표시), 세로로 두 개(직선 실선으로 표시)입니다. 

총 8개의 포인트가 있습니다(페이지 위에 4개, 아래에 4개). 이 다이어그램에는 빨간색 렌즈 모양으로 표시된 3개의 2겹 회전 축도 포함되어 있습니다.

●그림 c는 120에 3개의 수직 거울(직선)을 포함합니다.o 그 거울에 의해 관련된 9개의 점(페이지 아래)이 있습니다. 이 다이어그램에는 다이어그램 중앙에 빨간색 삼각형으로 표시된 3겹 회전 축도 포함되어 있습니다.

●다이어그램 d에는 페이지 평면에 수평 거울(실선 원)과 4개의 다른 수직 거울(직선)이 있습니다. 대칭과 관련된 16개의 점이 포함되어 있습니다. 

이 다이어그램에는 4개의 2겹 축(렌즈 모양)과 4겹 회전 축(다이어그램 중앙에 빨간색 사각형으로 표시)도 포함되어 있습니다.

그림 10.22: 거울 평면이 있는 결정

그림 10.22는 그림 10.21에 있는 4개의 스테레오 다이어그램과 일치하는 대칭을 가진 결정체를 보여줍니다. 

Crystal a는 대칭의 거울 평면이 하나만 있습니다. 

오른쪽이 왼쪽으로 반사됩니다. 결정 b에는 3개의 수직 거울면과 3개의 2겹 축이 있습니다.

 각 2겹 축은 미러 중 하나에 수직입니다. 크리스탈 c에는 120도에서 교차하는 3 개의 거울이 있습니다.o 

이를 위해서는 수직 3겹 축이 있어야 합니다. Crystal d에는 4개의 수직 거울과 1개의 수평 거울이 있습니다. 또한 4개의 수평 2겹 축과 수직 4겹 축이 포함되어 있습니다.

10.2.1.3 수직 거울 평면이 있는 회전축

그림 10.23: 미러 평면에 수직인 회전축

그림 10.22에 묘사된 일부 크리스탈을 포함한 많은 크리스탈은 미러 평면에 수직인 회전축을 포함하고 있습니다. 

결정학자는 이러한 조합을 설명하기 위해 속기 기호를 사용합니다. 

우리는 기호로 그들을 나타냅니다 1/m, 2/m, 3/m, 4/m그리고 6/m. 그림 10.23은 각각에 대한 스테레오 다이어그램을 보여줍니다. 

이 도면에서 미러는 수평이고 회전축은 수직(페이지에 수직)입니다. 

이 모든 다이어그램에서 바깥쪽 원은 단색인데, 페이지 위의 점이 페이지 아래의 수평 미러에 의해 반사되기 때문입니다. 

상징물 1/m 1 겹 회전 축은 아무 것도 변경하지 않기 때문에 다소 중복됩니다. 따라서 이 대칭은 일반적으로 m으로 표시됩니다.

그림 10.24: 회전축과 수직 거울 평면이 있는 결정

그림 10.24의 크리스탈 드로잉은 그림 10.23에서 볼 수 있는 것과 동일한 대칭을 가진 크리스탈을 보여줍니다. 모든 도면에서 맨 위 면은 맨 아래에 반사됩니다. 

이 결정체가 작은 비늘 삼각형 면을 가지고 있지 않다면, 수직 거울 평면을 포함하는 대칭을 갖는 것처럼 보일 것입니다. 그들은 단순한 프리즘처럼 보일 것입니다. 

이러한 크리스탈 모양은 복잡한 대칭을 묘사하기 위해 모양이 다른 여러 면이 필요하다는 생각을 강화합니다.

10.2.1.4 회전 반전 축

위의 논의에서 우리는 리플렉션, 회전 및 반전 작업에 대해 이야기했습니다.

회전은 네 번째이자 중요한 대칭 작업입니다. 회전과 반전의 조합인 회전전산은 때때로 다른 것과 구별되는 대칭 작업입니다.

기호 1, 2, 3, 4 및 6은 회전 반전 축을 나타냅니다. "bar-1", "bar-2" 등으로 표현됩니다.

로토인버전 작업에서는 회전과 반전을 순차적으로 적용합니다. 

적절한 회전축과 마찬가지로 회전각은 360̊입니다o 1중 회전 반전 축의 경우, 180̊o 2겹 회전 반전 축의 경우, 120o 3겹 회전 반전 축 등의 경우(아래 표) 차이점은 로토인버전의 경우 점의 회전 다음에 다이어그램의 중심을 통해 반전된다는 것입니다.

회전반전 축(Rotoinversion Axis)

로토인버전 작업

1 360̊ 회전
및 반전

2 180̊ 회전
및 반전

3 120̊ 회전
및 반전

4 90̊ 회전
및 반전

6 60̊ 회전
및 반전

그림 10.25: 1 및 2 로토인 반전 연산

그림 10.25는 하나의 집 모양 모티프에 적용된 1 및 2 회전반전 연산을 보여줍니다. 

1 작업에는 360이 포함됩니다.o 회전 후 반전이 뒤따릅니다. 이것은 일반 반전 중심과 동일합니다.

2 작업에는 180이 포함됩니다.o 회전 후 반전이 뒤따릅니다. 

이것은 거울 평면에 의한 반사와 동일합니다. 완전성을 위해 목록에 1 및 2 작업을 포함하지만 중복된다는 것을 알고 있습니다.

3 그러나 로토인버전은 그렇게 사소한 것이 아닙니다. 

예를 들어, 그림 10.26 (아래)에서는 3 축을 실선 점 1 (페이지 위)에 적용합니다. 

120 회전o 반전은 열린 지점 (페이지 아래의 포인트 2)을 생성합니다. 

우리는 작업을 반복합니다 : 점 2가 120 회전합니다.o 그리고 반전되어 점 3을 생성하는 식입니다. 

다섯 번 반복한 후 2, 3, 4, 5, 6번 지점이 생성되었으며 여섯 번째 반복을 통해 원래 지점으로 돌아가기 때문에 완료되었습니다.

 3축은 그림의 큰 스테레오 다이어그램에 표시된 총 6개의 점과 관련이 있습니다. 

이 다이어그램을 살펴보면 3 축이 3 겹 축 및 독립적으로 작동하는 반전 중심과 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 

점 중 3개는 페이지 위에, 3개는 아래에 있습니다. 위의 것들은 아래의 것들 바로 위에 있지 않습니다 – 그들은 60의 회전으로 오프셋됩니다o.

그림 10.26: 3겹 회전역전축과 3대칭을 갖는 결정

아래 그림 10.27은 서로 다른 로토인버전 축에 대한 스테레오 다이어그램을 보여줍니다. 

3과 달리 2, 4 또는 6 연산은 별도로 작동하는 회전 및 반전과 동일하지 않으며 적절한 2겹, 4배 또는 6겹 회전 축과 동일하지 않습니다. 

그러나 2 축은 m과 같습니다. 3축은 3겹축과 반전 중심을 별도로 적용하는 것과 같습니다. 

6축은 수직 거울이 있는 수직 3겹 축(페이지 평면)과 동일합니다. 

다음과 같습니다. 3/m. 4 rotoinversion은 다른 대칭 작업과 완전히 구별되는 유일한 rotoinversion 작업입니다. 

회전전축이라고 하지만, 4배의 대칭을 가진 결정에는 4겹의 회전축도 반전 중심도 없습니다.

그림 10.27: 회전역전축

그림 10.28: 회전반전 대칭을 갖는 결정

그림 10.28은 회전 반전 대칭을 갖는 결정의 도면을 보여줍니다. 

그림 10.27의 스테레오 다이어그램에 해당합니다. 

회전반전 대칭은 크리스탈에서 식별하기 어려운 경우가 많으며 스테레오 다이어그램에서 더 분명합니다.

결정학자들은 1 또는 2 대칭에 대해 거의 이야기하지 않는데, 이는 반전 중심이나 거울 평면에 대해 이야기하는 것이 더 간단하기 때문입니다. 

그러나 3, 4, 6에 대한 언급은 정상이지만 그 중 두 가지는 다른 방식으로 설명할 수 있습니다. 

그림 10.27의 스테레오 다이어그램은 중앙에 3, 4, 6에 대한 공통 기호(빨간색)를 포함합니다.