광물수집 광물학 10 : 광물 광석 결정 형태 및 대칭 10.4: 대칭 요소의 조합 - 점 그룹

[백산]

광물수집 광물학 10 : 광물 광석 결정 형태 및 대칭 10.4: 대칭 요소의 조합 - 점 그룹
 
 
 
 
 
 
출처 덱스터 퍼킨스 노스다코타 대학교     소스: EK 이페어케이 플러스
 
 
 
 

10.4: 대칭 요소의 조합 - 점 그룹

 
 

일부 대칭 연산자는 중복되기 때문에 결정의 대칭을 설명하는 데 모두 필요하지 않습니다. 
 
관례에 따라, 결정학자들은 여기에 표시된 표에 나열된 13개의 연산자를 사용합니다. 수학적 용어로 이 13개는 모든 결정의 대칭을 설명하기에 충분합니다.

이러한 대칭 연산자는 결합할 수 있으므로 둘 이상이 결정에 존재할 수 있습니다. 
 
그러나 가능한 조합의 수는 두 가지 이유로 제한됩니다. 
 
첫째, 일부 조합은 다른 대칭으로 이어집니다. 둘째, 일부 조합은 모순되어 불가능합니다.


대칭
연산자
 

그림 10.40: 3개의 2겹 축
예를 들어, 90도에서 교차하는 두 개의 2겹 대칭 축이 있는 결정을 생각해 보십시오o , 

그림 10.40에 설명되어 있습니다. 두 개의 면을 나타내는 점(다이어그램 a)으로 시작하면 대칭 연산자를 적용하면 6개의 점/면이 더 생성됩니다(다이어그램 b). 

면 중 4개는 페이지 위에, 4개는 아래에 있습니다. 다이어그램 b는 세 번째 2겹 축이 원래 두 축에 수직임을 보여주며, 다이어그램 c의 중앙에 렌즈 모양으로 표시됩니다. 

따라서 두 개의 수직 2겹 대칭 축이 있는 모든 개체에는 세 번째 2겹 축이 있어야 합니다. 처음에 어떤 두 개의 2겹 축을 선택하는지는 중요하지 않습니다. 

세 번째는 거기에 있어야 합니다. 그림 10.40은 대칭 연산자가 서로 연산을 수행한다는 이전에 결론을 내린 것을 강화합니다.

그림 10.40에 표시된 대칭은 서로 수직인 3개의 2겹 축으로 구성됩니다. 이 대칭을 설명하기 위해 약식 표기법 222를 사용합니다. 

그림 10.40의 맨 아래에 있는 그림은 222개의 대칭을 갖는 많은 가능한 결정 모양 중 하나일 뿐입니다. 세 개의 2겹 축(빨간색으로 표시)은 크리스탈 가장자리의 중심을 통과합니다. 222개의 대칭으로 연결된 4개의 면이 디스페노이드를 구성합니다. 

묘사 된 크리스탈에는 두 가지 형태가 있습니다. 둘 다 디스페노이드입니다. 그러나 한 형태의 네 면은 매우 작으며 수정의 모서리에만 표시됩니다.

우리는 222와 같은 대칭의 뚜렷한 조합을 점 그룹이라고 부릅니다. 따라서 그림 10.40의 결정은 점 그룹 222에 속합니다. 

그림 10.36은 다른 점 그룹에 속하는 결정을 보여줍니다. 2/m. 점 그룹은 결정의 중심에 있는 점 주위의 대칭을 설명하므로 스테레오 다이어그램의 점을 서로 관련시킵니다. 

그룹이라는 단어는 수학적 그룹 이론을 사용하여 대칭의 원리를 다룰 수 있기 때문에 사용됩니다. 연산자와 연산이라는 용어도 그룹 이론에서 파생됩니다. 

그룹 이론에서 위의 표에 나열된 13개의 연산자는 기초를 형성하며, 이는 대칭의 가능한 모든 표현을 설명하기 위해 다른 연산자가 필요하지 않다는 것을 의미합니다.

그림 10.41: 60̊에서 교차하는 2겹 축

그림 10.41은 대칭 연산자가 서로 작용하는 또 다른 예를 보여줍니다. 두 개의 2겹 축이 60에서 교차합니다.o (다이어그램 A). 하나의 점에서 시작하여 대칭 연산자를 적용하면 곧 5개의 등가 점이 더 생성됩니다(다이어그램 b). 

결과 패턴을 살펴보면 세 번째 2겹 축이 처음 두 축에 대해 60°에 있음을 알 수 있습니다. 또한 3겹 축(다이어그램 중앙에 삼각형으로 표시)은 두 겹에 수직입니다(그림 c). 

그림 10.41의 대칭을 보는 또 다른 방법은 3겹 회전축이 2겹 축에 작용한다는 것을 알 수 있습니다. 하나의 2겹 대칭 축이 있는 경우 다른 두 축도 존재해야 하며 세 축은 120° 각도로 관련되어 있어야 합니다. 이 대칭의 점 그룹은 32로 지정됩니다. 

그림 10.41의 맨 아래에 있는 그림은 32개의 대칭을 가진 결정을 보여줍니다. 그것은 얼굴 모양의 이름을 따서 명명 된 사다리꼴입니다.

그림 10.40에서 우리는 두 개의 수직 2겹 축이 서로 수직인 세 번째 축의 존재를 필요로 한다는 것을 보여주었습니다. 그림 10.41에서 두 개의 2겹 축이 60°에서 교차하면 또 다른 2겹과 3겹도 존재한다는 것을 보여주었습니다. 

마찬가지로 4겹 축과 하나의 수직 2배로 시작하면 4겹에 수직이고 서로 45°인 다른 2겹을 찾을 수 있습니다. 6겹 축과 수직 2단 축으로 시작하면 모두 6개의 2단 축을 찾을 수 있습니다.

그림 10.42: 포인트 그룹 222, 32, 422, 622에 속하는 결정체

그림 10.42는 포인트 그룹 222, 32, 422 및 622에 속하는 결정의 도면을 보여줍니다. 

미러 평면은 네 가지 경우 모두에 없습니다. 크리스탈의 상단과 하단은 서로 미러링되지 않으며, 크리스탈 면은 중심이나 가장자리 아래에 미러 평면이 없습니다(그렇지 않으면 점 그룹의 기호에 m이 포함됨). 

네 가지 예는 대칭 연산자가 임의의 방식으로 결합할 수 없음을 지적합니다. 두 개의 회전 축이 있으면 세 번째 또는 그 이상이 필요합니다. 또한 서로 0° 또는 90°가 아닌 각도에서 회전축과 거울을 조합하려면 다른 회전축이 있어야 함을 보여줄 수 있습니다. 

그림 10.42의 복잡한 결정 도면에서 대칭을 보는 것은 어렵습니다. (그래서 스테레오 다이어그램이 있습니다!) 결정의 대칭을 검사하는 더 좋은 방법은 실험실에서 모델을 연구하는 것입니다.

그림 10.43: 4/m 2/m 2/m 대칭

대칭이 결합하여 다른 대칭을 생성하는 방식에 대한 논의를 마치기 전에 한 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 그림 10.43a는 4겹 회전축과 관련된 점들을 보여줍니다. 

수평 거울(단색 바깥쪽 원으로 표시)을 추가하여 다이어그램 b에 표시된 점을 생성할 수 있습니다. 수직 미러를 추가하면 다이어그램 c가 생성됩니다. 

그리고 다이어그램 c에서 우리는 이것이 4겹 축과 두 개의 다른 종류의 2겹 축을 포함하는 대칭과 동일하다는 것을 알 수 있습니다(그림 d 참조). 

모든 회전축은 미러 평면에 수직입니다. 포인트 그룹입니다. 4/m2/m2/m.