국립중앙과학관 - 수의 역사 실수실제로 존재하는 수?

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국립중앙과학관 - 수의 역사 실수실제로 존재하는 수?

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hanjy9713

2024.01.13. 11:58조회 1

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국립중앙과학관 - 수의 역사

실수

실제로 존재하는 수?

바빌로니아 점토판

YBC 7289란 이름의 바빌로니아 점토판에는 삼각형이 그려져 있어요. 앞 주제인 ‘바빌로니아 점토판’부분에서 사진으로 확인할 수 있었어요? 이 그림은 밑변의 길이와 높이가 1인 직각삼각형 4개가 합쳐진 정사각형 그림으로 직각삼각형의 빗변의 길이는 넓이가 2인 정사각형의 한 변의 길이와 같게 그려져 있어요. 이 직각삼각형의 한 변의 길이(정사각형의 한 변의 길이)는 얼마일까요?

정사각형의 넓이가 2이므로 제곱해서 2가 되는 수가 이 직각삼각형의 한 변의 길이라고 할 수 있겠지요. 바빌로니아 점토판에 새겨져 있던 직각삼각형의 빗변의 길이를 표현한 숫자는

으로 빗변의 길이의 근삿값을 나타내지만 실제 그 길이는 유리수로 표현될 수 없는 수랍니다.

이와 같이 소수점 뒷자리가 반복되지 않고 끊임없이 이어지는 숫자는 순환하지 않는 무한소수라고 부르는데 다른 말로는 무리수라고 하지요. 비로 표현되는 수인 유리수와 비로 표현되지 않는 수인 무리수를 통틀어 ‘실수’라고 부른답니다.

우리가 알고 있는 수직선은 유리수와 무리수에 대응하는 점으로 메워져 있고, 수직선 위의 점 전체의 집합과 실수 전체의 집합 사이에는 일대일 대응이 이루어져요. 즉, 수직선은 실수를 나타내는 직선인 것이지요.

실수

실수란 영어로는 ‘Real number’라고 쓰고 한자로는 ‘實數’라고 써요.

즉 ‘실제로 존재하는 수’ 정도로 해석이 가능하겠네요. 그런데 숫자라는 것은 실제로 존재한다고 해도 우리가 만지거나 느낄 수 있는 것은 아닐 거예요. 수학은 논리로 이루어진 체계이기 때문이지요. 그렇다면 실수라는 게 어떤 논리로 이루어져 있는지 한번 살펴보도록 할까요? 고대 그리스의 수학에서는 실수의 체계가 완전하게 이해되고 있었던 것은 아니었어요. 수의 집합은 무리수의 발견으로 실수의 집합으로 확장되었어요. 특히, 19세기와 20세기 초에 이르러서야 칸토어라는 수학자와 데데킨트라는 수학자에 의해서 실수가 엄밀하게 정의되었답니다.

그렇다면 칸토어라는 수학자와 데데킨트라는 수학자가 어떻게 실수를 정의했는지 한번 살펴볼까요? 다음은 실수에 대한 칸토어의 설명이에요.

실수의 집합은 소수의 집합으로 정의될 수 있어요. 여기서 실수는 ±a1a2 ··· ak.b1b2b3 ···(각 자리의 수는 0부터 9까지의 정수)와 같이 나타낼 수 있어요. 이 때, 소수의 표현에서 0.5＝0.499999 ··· 와 같은 경우를 고려하면 두 실수가 같다는 것은 다음의 두 가지 중 하나가 되요.

1) 두 소수에서 각 자리수가 똑같다.

2) 자리수가 종료되는 소수는 그 소수의 마지막 자리수가 1만큼 작은 수와 이후 9가 무한히 반복되는 수로 대치한 소수와 같다.

유한소수나 순환하는 무한소수는 모두 분수로 나타낼 수 있어요. 역으로 분수는 유한소수나 순환소수로 나타낼 수 있어요. 따라서 순환하지 않는 무한소수는 분수로 나타낼 수 없음을 알 수 있지요. 즉, 칸토어의 정의로부터 실수란 유리수(분수로 나타낼 수 있는 수)와 무리수(분수로 나타낼 수 없는 수, 순환하지 않는 무한소수)로 이루어져 있다는 것을 알 수 있어요.

1872년에 칸토어의 설명과 동시에 발표된 데데킨트에 의한 실수의 정의는 유리수의 절단이라는 것을 이용하고 있어요. 가령 0에서 1까지의 실수가 표현된 수직선을 절단해 볼까요? 그러면 그 실수 선은 다음의 2가지 패턴이 나타난다는 것을 예측할 수 있어요.

1) 유리수가 나타난다.

2) 유리수가 나타나지 않는다.

실수 선을 칼로 잘랐을 때 뭔가가 칼끝에 닿았을 때를 유리수, 아무것도 닿지 않았을 때를 무리수라고 해요. 요컨대 실수라는 건 유리수와 그 사이에 있는 무리수의 연속으로, 그것을 알기 쉽게 설명한 것이 데데킨트의 절단이라고 할 수 있지요.

예를 들면, 우리가 생각하는 유리수가 아닌 어떤 수의 아랫부분에 1.4가 있다고 상상해 보세요. 이것은 아랫부분에 있는 최대의 수가 아니므로 이보다 더 큰 유리수가 또 아래 부분에 들어있게 되겠죠? 이것을 1.41이라고 하면 이것 또한 최대의 수가 아니므로 1.414라고 하면 또 이와 같은 방법으로 더 큰 수가 계속해서 존재하는 것이에요.

이런 식으로 계속되는 수의 열을 만들면 이것이 다름 아닌 무리수

가 되는 것이지요. 그 수의 집합의 윗부분에서도 이와 마찬가지로

로 다가오는 수의 열을 만들 수 있어요. 이때 위에서 다가오는 수열과 아래에서 다가오는 수열이 점점 가까워지게 할 수 있고 이것이 궁극적으로 일치하는 점이

라고 할 수 있어요. 유리수의 절단에 의해서 생기는 무리수는 다른 관점에서 보면 유리수의 열이 궁극적으로 도달하는 수라고도 말할 수 있답니다.

실수에는 다음과 같은 4가지의 중요한 성질이 있어요.

1) 실수의 집합은 무한집합이에요. 무한집합인 유리수의 집합은 자연수의 집합과 일대일로 대응이 가능하므로 자연수의 집합과 유리수의 집합은 농도가 같지만, 실수 집합의 농도는 자연수 집합의 농도보다 커요.

2) 실수는 직선 위의 각 점과 일대일로 대응시킬 수 있어요. 이것을 실수의 연속성이라고 해요.

3) 실수의 범위에서 사칙연산을 자유롭게 할 수 있어요.

4) 두 실수 사이에는 반드시 다른 실수가 존재해요. 이것을 실수의 조밀성이라고 해요.

위와 같은 성질에서 정수의 경우는 조밀성이 없지만 유리수의 경우는 연속성이 없다는 사실을 알 수 있지요. 사실 실수의 개념은 고대의 유명한 수학자들도 아주 오랜 시간에 걸쳐서 알게 된 내용이라서 어려운 점이 많아요. 그래도 우리의 삶과 가장 밀접한 관련이 있는 수인만큼 여러분들이 좀 더 관심을 갖고 살펴보면 삶을 수학적으로 보는데 많은 도움이 될 거예요.

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