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<P> 코시슈바르츠 증명 막 이리저리 해보다..-_ - 안되서 접고 있었는데 자고 일어났더니 풀려있어서 한번 적어봐요 ㅋㅅㅋ 근데 맞는지는 모르겠어요 OTL</P>
<P> </P>
<P> 적분구간은 그냥 임의로 무한에서 무한으로 합니다. 수식지원기능이 없고 (있어도 귀찮으므로) ' 기호를 미분이 아닌 켤레복소수 연산으로 나타낼게욤~ </P>
<P> </P>
<P> 우선 다음을 가정하고 진행합니다.</P>
<P> </P>
<P> 임의의 힐버트공간 안에 살고있는 함수아저씨를 골라서 ∫|f(x)|²dx ≥ 0</P>
<P> </P>
<P> 이제 다음의 크기를 생각합니다.</P>
<P> </P>
<P> ∫∫|(f'(x)g(y)-f(y)g'(x))|²dxdy = ∫∫[{(f(x)g'(y)-f'(y)g(x)}{f'(x)g(y)-f(y)g'(x)}]dxdy</P>
<P> </P>
<P> 앍.. 헷갈리는 관계로; f'(x)f(x) 같이 짝이 지어진 경우는 그냥 ff 로 표시하겠습니다. </P>
<P> </P>
<P> ∫∫[ff(x)gg(y) - f(x)f(y)g'(y)g'(x) - f'(x)f'(y)g(y)g(x) +ff(y)gg(x)]dxdy</P>
<P> </P>
<P> 따로따로 파밧! 하고 계산을 쭉 하면 </P>
<P> </P>
<P>∫f²dx∫g²dy + ∫f²dy∫g²dx - ∫fg'dx∫f'gdy - ∫fg'dy∫f'gdx </P>
<P> 더미 변수를 통일하여 정리해서 깔끔하게 정리하면</P>
<P> </P>
<P> 2(∫f²dx)(∫g²dx)-2(∫f'gdx)'(∫f'gdx) = 2(∫f²dx)(∫g²dx)-2|∫f'gdx|²</P>
<P> 그리고 맨 처음 도입에 따르면 이 식은 0 이상이므로</P>
<P> </P>
<P> 2(∫f²dx)(∫g²dx)-2|∫f'gdx|² ≥ 0 </P>
<P> ∴ (∫f²dx)(∫g²dx)≥|∫f'gdx|²</P>
<P> 디랙의 표기법으로 바꾸면 </P>
<P> <f|f><g|g>≥|<f|g>|²</P>
<P> 혹은 <f|f><g|g>≥<f|g><g|f></P>
<P> </P>
<P> 여기까지 일단 했고.. 나머지는 이제 그리피스 아저씨가 쓴 책을 참고해서 적어볼게여 </P>
<P> </P>
<P> 관측 가능한 물리량 A에 대하여 (A는 허미선ㅋㅋ) σA 는 </P>
<P> σA² = <(A-<A>)Ψ|(A-<A>)Ψ> 여기서 새로운 함수 f(x) 를 정의하여 </P>
<P> f(x)≡(A-<A>)Ψ(x) 라고 하고 </P>
<P> 마찬가지로 B에 대해서도</P>
<P> σB² = <(B-<B>)Ψ|(B-<B>)Ψ></P>
<P> g(x)≡(B-<B>)Ψ(x) 로 하고 </P>
<P> </P>
<P> 그러면 σA²σB² 는 <f|f><g|g> 가 되고 코시슈바르츠 부등식에 의하여</P>
<P> <f|f><g|g>≥|<f|g>|²</P>
<P> </P>
<P> 여기서 별난 트릭을 쓰는데 </P>
<P> 임의의 복소수 z에 대하여 </P>
<P> |z|²= Re|z|² + Im|z|²≥Im|z|² = [(z-z')/2i]² 이므로</P>
<P> |<f|g>|² ≥ [(<f|g>-<f|g>')/2i]²= [(<f|g>-<g|f>)/2i]²</P>
<P> </P>
<P> 가 성립합니다.</P>
<P> </P>
<P> 여기서 <f|g> 를 구하면 </P>
<P> </P>
<P> <(A-<A>)Ψ|(B-<B>)Ψ> = <Ψ|(A-<A>)(B-<B>)Ψ> (왜냐하면 헤르미션이므로)</P>
<P> = <Ψ|(AB-<A>B-A<B>+<A><B>)Ψ></P>
<P> = <Ψ|ABΨ>-<A><Ψ|BΨ>-<B><Ψ|AΨ>+<A><B><Ψ|Ψ></P>
<P> = <AB>-<A><B></P>
<P> </P>
<P> 같은 계산과정을 거쳐서 <g|f>를 구하면 (연산자 순서만 바뀌므로 그걸 생각하면 빠르게 구할 수 있네요.. 0_ 0)</P>
<P> <BA>-<A><B></P>
<P> </P>
<P> 따라서! <f|g>-<g|f> 를 계산하면 <AB>-<A><B>- ( <BA>-<A><B>) = <AB>-<BA> 가 되고 이는 교환자(commutator)로 표시하면 [A,B] 로 극악무도하게 간단해지므로 따라서!</P>
<P> </P>
<P> σA²σB²≥[([A,B])/2i]²</P>
<P> </P>
<P> 가 성립합니다. 그런데 위치와 운동량에 대하여 교환자의 값이</P>
<P> [x,p]=ih바 임이 알려져 있으므로 </P>
<P>(간단히 계산해보면 <Ψ|{x(h바/i)d/dx}Ψ> - <Ψ|{(h바/i)d/dx}xΨ></P>
<P> = <Ψ|{x(h바/i)d/dx}Ψ>- [<Ψ|(h바/i)Ψ> + <Ψ|x{(h바/i)d/dx}Ψ>] </P>
<P> = - <Ψ|(h바/i)Ψ> = h바i<Ψ|Ψ> ) </P>
<P> </P>
<P> σx²σp²≥[h바/2]²</P>
<P> </P>
<P> 가 되어 증명이 완료되는군요 0_ 0 </P>
<P> </P>
<P>음.. 뭔가 멋진듯? 근데 생각해보니 p를 안쓰시고 k로 쓰시는 경우군요 OTL.......</P>
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카페 게시글
양자 /열. 통계역학
자다보니까 코시슈바르츠 부등식이 해결(?)되서..
F킬러
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조회 160
10.04.07 05:10
댓글 3
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첫댓글 적분의 부등식이 멋지게 결과를 도출하네요. -_-ㅋ
F킬러님 감사합니다 ^^ 핰 그런데 그 1/2이 이렇게 어렵게 나오는 거였군요 ㅜㅜ
제가 일단 공부를 좀 하고 다른 거 여쭤볼께요~~
우엉~ 같이 공부해 나가보죠!