가우스-보네 정리, 유제 5-15(24년도 기출) 관련해서 질문이 있습니다

[초록단풍잎]

(+ 수정 https://cafe.daum.net/math-hm/qw18/504 부분을 확인했는데 제가 이해한 부분이 맞는지 확인하고자 질문을 올립니다.)

1. 국소적, 일반화된 가우스 보네 정리 문제를 풀 때, 다음 (1),(2)를 확인하고 적용하면 되는지 궁금합니다.

2. 따라서 직관적으로 회전면에서 한 점에서 모이는 경우, 한 테두리를 이루는 경우가 주어졌을 때에는, 일반화된 가우스-보네 정리를 적용하면 되는지, 만약 그렇다면 2차원 단편이 일대일이 아니기 때문에 가능한건지 궁금합니다.

3. 24년도 기출과 관련해서 질문이 있습니다.

(1) 주어진 상황에서는 위에 의해 국소적 가우스 보네 정리를 사용하면 되는지 궁금합니다.

(2) (1)에서 외각의 크기를 구할 때, 파란색 벡터는 직관적으로 수직임을 확인할 수 있는데,

녹색 벡터는 직접 곡선을 구해서 외각을 구하는 방법밖에 없는지, 직관적으로는 확인할 수 없는지 궁금합니다.

[수정과]

①, ② 네 맞습니다.
③ (1) 둘 다 사용 가능합니다. 다만 정리 5.19 p.121가 이름 그대로 일반적인 경우에 사용가능한 정리이므로 문제가 주어졌을 때 정리 5.12 p.117 보다는 정리 5.19로 접근하는 것이 좋습니다.
(2) 직관적으로 확인할 수 있습니다. 곡면 위에 표시하신 영역의 경계는 경선과 위선의 일부가 만나 생기는 것입니다. 그렇다면 각 점에 대해 외각을 구할 때는 각 점에서 경선과 위선의 접선벡터를 고려하면 됩니다. 그런데 경선과 위선은 주곡선이고 주방향은 서로 직교하므로 녹색 벡터들 또한 서로 직교함을 알 수 있습니다.