사실 이미 감은 잡혔겠지만, 누가 뭐래도 0으로 나누는 것은 불가능하다는 것을 ‘증명’할 수 있다. 이를 위해서는 나눗셈이 ‘곱셈의 역연산’임을 돌이켜 생각해 보기만 하면 된다. a÷b를 계산하여 c가 나온다는 것은 c×b = a가 성립한다는 뜻이다. 예를 들어, 3÷2가 1.5인 것은 1.5×2 = 3이 성립하기 때문이다. 이제 예를 들어 3을 0으로 나눌 수 있다고, 즉, 3÷0 = c 를 만족하는 c를 구할 수 있다고 해 보자. 정의에 따라 c×0 = 3이 성립한다는 말과 마찬가지다. 그런데, ‘음수 곱하기 음수는 양수’를 설명할 때 증명한 적도 있지만, 왼쪽 변은 항상 0이다! 따라서 0=3이 성립하게 되어, 모순이 발생한다. 모순이 생겼다는 것은 중간 단계 어디선가 잘못했다는 뜻인데, 어디가 잘못인지 알기 위해서는 거꾸로 올라가는 것이 도움이 된다. 즉, 0이 3과 다르다는 것에서 거꾸로 올라가면, 애초 c×0 = 3 이 성립하는 c가 있다고 가정했던 것이 잘못이라는 뜻, 즉, 3÷0=c인 c를 구할 수 없다는 뜻이 된다! 따라서 0으로 나누는 것은 불가능하다.
그런데 이런 설명으로는 0÷0을 구할 수 없다는 얘기를 하기에는 불충분하고, 조금 보충 설명이 필요하다. 이제 0÷0이 계산 가능하다고 하자. 이때는 1×0 = 0 , 2×0 = 0인 것을 알기 때문에 나눗셈의 정의로부터 0÷0 = 1 및 0÷0 = 2가 성립할 것이다. 따라서 1 = 2가 되어야 한다. 이것 역시 모순이다. (왜 모순일까? 예를 들어 페아노 공리계의 용어를 쓰면 1=1’인데, 이는 1이 어떤 수의 다음수도 아니라는 데 모순이다!) 이런 모순은 0÷0이 계산 가능하다는 가정을 한 데서 생기는 모순이다. 따라서 0÷0 역시 불가능하다. |