광물학 광물수집 11: 광물 결정학 11.4: 3차원의 단위 셀과 격자

[백산]

광물학 11: 광물 결정학 11.4: 3차원의 단위 셀과 격자

출처 덱스터 퍼킨스 노스다코타 대학교     소스: EK 이페어케이 플러스

11.4: 3차원의 단위 셀과 격자

그림 11.32: 공간에서 무한히 반복되는 원자

2차원에서 패턴은 단위 셀로 만들어지며 격자는 단위 셀과 모티프가 반복되는 방식을 설명합니다. 이러한 관계는 3차원에서 동일합니다. 

예를 들어, 그림 11.32는 하나의 원자가 무한정 반복되어 멀리 사라지는 것을 보여준다.

 4개의 최근접 이웃 원자를 선택하고 연결하여 전체 원자 배열의 기초가 되는 3D 단위 셀을 얻을 수 있습니다.

그림 11.33: 정사각형 그물과 입방 단위 셀

2차원에서 두 벡터는 격자 점과 관련된 평행 이동을 설명합니다. 2차원(평면)에서 3차원(공간)으로 이동하려면 세 번째 벡터를 정의하기만 하면 됩니다. t3, 평면 격자가 반복되는 일정 거리를 번역합니다. 

공간 격자를 얻기 위해 이 과정을 여러 번 반복합니다. 그림 11.33은 예를 보여줍니다.

2차원 평면 격자 중 하나로 시작할 수 있습니다. 세 번째 번역은 처음 두 번역 중 하나 또는 둘 다와 직교할 수 있지만 반드시 그럴 필요는 없습니다. 

그 크기는 처음 두 번역 중 하나 또는 둘 다와 같을 수도 있고 같지 않을 수도 있습니다. 

우리는 공간 격자를 3차원 공간에서 무한히 반복되는 동일한 점으로 상상할 수 있습니다.

(편의상 이 그림과 후속 그림에서는 모서리에 격자 점이 있는 단위 셀을 선택하고 있습니다. 그러나 격자 점이 중심이나 세포의 다른 곳에 있는 단위 셀을 선택할 수 있는데, 

격자 점은 단순히 단위 셀이 반복되는 방식을 보여주는 패턴이기 때문입니다. 격자 점이 모퉁이, 중심 또는 모티프의 다른 점에 해당하는지 여부는 차이가 없습니다.

그림 11.33에서, 정사각형 격자로 시작하여, 세 번째 평행 이동 벡터(t3) 크기가 같고 처음 두 개에 수직입니다. 결과는 전체 입방체 격자입니다. 

8개의 가장 가까운 이웃 격자 점을 연결하면 입방 단위 셀이 됩니다. 평면 격자는 대칭 4mm를 가졌습니다. 입방 단위 셀에는 대칭이 있습니다 4/m32/m (이전 장에서 설명).

그림 11.33에서와 같이 다른 정사각형 그물 바로 위에 사각형 그물을 쌓으면 4겹 회전축과 거울 평면이 정렬되고 모든 대칭이 유지됩니다. 

그러나 세 번째 평행 이동이 처음 두 평행 이동에 수직이 아니고 각 정사각형 네트가 그 위와 아래의 네트와 약간 오프셋되어 있다고 가정합니다. 

그렇다면 다른 네트의 회전축과 미러가 정렬되지 않습니다. 결과 공간 격자에는 4겹 축과 미러가 포함되지 않을 수 있습니다.

그림 11.34: Orthonets 및 단사정 단위 셀

그림 11.34는 네트가 오프셋으로 쌓였을 때 대칭을 잃는 예를 보여줍니다. 이 그림에서는 orthonet으로 시작했습니다. 

세 번째 번역(t3)는 다른 두 개의 수직이 아니며 다른 두 개의 크기와 같지도 않습니다. 

각 평면 격자는 그 아래에 있는 격자에 비해 약간 오른쪽으로 간격띄우기됩니다. 결과는 4면에 직사각형 면이 있고 2면에 평행사변형이 있는 단위 셀입니다. 

단사정 단위 셀이라고 합니다(각 모서리의 한 각도가 90이 아니기 때문에o. 개별 orthonet에는 거울 평면과 네트에 수직인 2겹 축이 포함되어 있습니다. 

그러나 이 예에서 세 번째 변환은 처음 두 변환에 수직이 아니기 때문에 이러한 미러와 회전 축은 공간 격자나 단위 셀에 지속되지 않습니다. orthonet에는 대칭 2mm가 있습니다. 

단위 셀에는 대칭이 있습니다. 2/m. 이 2/m 축은 정면 평행사변형 면에 수직입니다.

평면 격자와 세 번째 평행 이동의 가능한 모든 조합을 고려하면 7 개의 기본 단위 셀 모양이 나옵니다 (그림 11.35). 두 개의 단위 셀인 육각형 프리즘과 능면체는 둘 다 육각형을 쌓아 올리는 것에서 파생되기 때문에 일반적으로 그룹화됩니다. 

육각형을 서로 겹쳐 쌓으면 6겹 회전축을 보존하고 육각형 프리즘을 얻습니다. 네트가 오프셋되면 대신 3배 회전축을 보존하고 능면체를 얻을 수 있습니다.

이러한 3D 모양은 벽돌 사이에 공백 없이 서로 맞을 경우 벽돌이 가질 수 있는 모양으로 생각할 수 있습니다. 이 챕터의 앞부분에서 2D 대칭을 살펴볼 때 타일과 비슷한 비유를 했습니다. 타일 모양과 마찬가지로 더 복잡한 벽돌 모양도 가능합니다. 

그러나 그것들은 모두 아래의 일곱 가지 중 하나에 해당한다는 것을 알 수 있습니다.

그림 11.35: 7개의 기본 단위 셀 모양

이 7개의 단위 셀 모양은 고유한 대칭을 가지고 있습니다. 4/m32/m (큐브), 4/m2/m2/m (정방프리즘), 2/m2/m2/m (사방정계 프리즘), 6/m2/m2/m (육각형 프리즘), 2/m (단사정 프리즘), 1 (삼중정 프리즘), 32/m (능면체). 각 단위 셀은 이전 장에서 소개한 7개의 결정계(입방체, 정방형, 사방정계, 육각형, 단사정계, 삼사정계, 능면체) 중 하나에 해당합니다. 

여기에 표시된 각 단위 셀의 대칭은 각 시스템에서 일반 형태의 대칭과 동일합니다. 결정학의 세 번째 법칙은 다음과 같습니다.

공백 ■단위 셀의 대칭은 각 결정계에서 가장 큰 대칭의 점 그룹과 같습니다.

입방계에 속하는 모든 광물은 대칭을 이루는 입방 단위 세포를 가지고 있습니다 

4/m32/m. 그러나 그들의 결정은 대칭이 적을 수 있습니다. 마찬가지로, 정방형계에 속하는 모든 광물은 정방형 단위 세포를 가지고 있습니다. 

정방형 결정은 가질 수 있습니다. 4/m2/m2/m 대칭이지만 더 적을 수 있습니다. 이와 같은 생각은 다른 5개 시스템의 결정에도 적용됩니다.

a, b, c, 단위 셀 가장자리의 길이, α, β, γ, 셀 가장자리 사이의 각도를 포함하는 단위 셀 매개변수를 사용하여 단위 셀의 모양을 설명합니다. 

규칙에 따라 a와 b 가장자리 사이의 각도는 γ(그리스 알파벳의 c)이고, a와 c 사이의 각도는 β(그리스 알파벳의 b)이며, b와 c 사이의 각도는 α(그리스 알파벳의 a)입니다. 

그림 11.35에서 볼 수 있듯이 입방 단위 셀에서 a, b, c는 동일하고 모든 각도는 90입니다o. 정방형 단위 셀에서 a와 b는 같고 모든 각도는 90입니다o. 

사방정계 단위 셀에서 세 개의 셀 가장자리는 길이가 다르지만 모든 각도는 90입니다o. 육각형 단위 셀에서 a와 b의 길이는 같고 a와 b(γ) 사이의 각도는 120입니다o. 

단사정 단위 세포에서 a, b 및 c는 모두 다릅니다. α와 γ는 90입니다.o하지만 β 어떤 값이든 가질 수 있습니다. (이것은 일반적인 규칙이지만 때로는 90이 아닌o 각도는 β 대신 다른 각도 중 하나로 선택됩니다. 

삼정 단위 셀에서 모든 셀 가장자리는 길이가 다르고 모든 각도가 다르며 90이 아닙니다

o. 그리고 능면체 단위 셀에서 셀 가장자리의 길이는 모두 같고 모서리의 각도는 모든 면에 대해 동일하지만 90은 아닙니다o.

위의 그림 11.35에 표시된 7개의 별개의 단위 셀 모양이 가능한 전부입니다. 7개는 원시적이며 총 하나의 격자 점을 포함합니다. 그러나 평면 격자를 적층하면 우리가 본 7가지 모양 중 하나를 가진 다른 비원시적인 단위 세포가 생성될 수 있습니다. 

그림 11.36은 세 가지 예를 보여줍니다.

Figure 11.36: 여분의 격자 점을 포함하는 중심화된 3차원 격자

그림 11.36a에서, 사각형 그물은 다른 모든 그물이 오프셋되도록 쌓여 있습니다. 

세 개의 레이어 각각에서 하나의 사각형이 표시됩니다. 오프셋 레이어는 정방형 프리즘의 중심에 추가 격자 점(파란색)을 배치합니다. 이것은 문자 I로 상징되는 신체 중심의 단위 셀의 예입니다.

그림 11.36b에서, 우리는 헥사넷을 다른 헥사넷 바로 위에 놓습니다. 그 결과 육각형 프리즘이 생성되며, 위쪽과 아래쪽의 중앙에 추가 격자 점(파란색)이 있습니다. 

이것은 문자 A, B 또는 C로 기호화된 끝 중심 단위 셀의 예로, 추가 격자 점이 포함된 면 쌍에 따라 달라집니다.

그림 11.36c에서, 다이아몬드 네트는 중간 레이어 오프셋과 함께 쌓여 있습니다. 

이것은 모든 면의 중심에 여분의 격자 점을 포함하는 사방 정계 프리즘을 생성했습니다. 

이것은 문자 F로 기호화된 얼굴 중심의 단위 셀의 예입니다.