Re:Re:음..... 에너지에 대한 확률밀도 함수를 구한다는 게.....

[jys34]

생각해보니 말이 안되는 게 아닐까 하는......;;;

만약에 무한퍼텐셜우물속에 있는 전자를 생각해보면,

(전자 : 전하량 e, 질량 m
퍼텐셜 : 0<x<L => 0
         0>x , x>L => ∞)

1.고유함수, 에너지고유값

일단 에너지고유값 방정식

Hlψn(x)> = Enlψn(x)>

를 써서 고유함수 lψn(x)> 과 고유값 En을 구하게 되고....

2.위치(확률밀도, 기대값)

그 다음에 고유함수 lψn(x)> 를 가지고 확률밀도와 기대값을 구하게 되면

확률밀도 P(x) = <ψn(x)lψn(x)> = (x1에서 x2까지) ∫ lψn(x)l² dx

기대값  < x > = <ψn(x)lxㅣψn(x)> = ∫ x lψn(x)l² dx

3.운동량(확률밀도, 기대값)

확률밀도는 함수의 파라메터를 푸리에변환으로 바꿔서 구하고,
기대값은 연산자나 아니면 역시 푸리에변환으로 구하는 방법 두개가 있으니

확률밀도 P(p) = <φn(p)lφn(p)> = (p1에서 p2까지) ∫lφn(p)l² dp

기대값 < p > = <φn(p)lplφn(p)> = ∫p lφn(p)l² dp
    or < p > = <ψn(x)lp(op)ㅣψn(x)> = ∫*ψn(x) p(op) ψn(x) dx

(음.. 그런데 위치의 기대값에서도 p를 파라메터로 x(op)를 써서 기대값구하는 게 가능?..;;)

4.임의의 상태(측정전)

임의의 상태는 고유상태의 선형결합으로 이루어지므로...

          ∞
lψ(x)> = ∑(cn)lψn(x)>  
         n=1

----------------------------------------------------------------------------
질문1. 에너지는 이 예에서 고유값밖에 가지지 않지 않나요?
       만약 그렇다면 에너지에 대한 확률밀도함수나 기대값이란 게
       의미가 없을(?) 듯 한데.........
      
(그럼 이 예나 수소원자 내와 다르게 퍼텐셜이 없는 (예를 들어 수소원자 밖과 같은 임의의 공간) 에서는 그 계(전자 1개로 이루어졌다고 생각하고..) 에너지의 확률밀도 함수를 정의할 수 있다는 것인가요?)

아니면......

일단 위치나 운동량의 예에서도 기대값, 확률밀도란 건 측정 전에 입자의 행동(즉, 측정값과 관계된 양인 확률밀도나 기대값)을 예측하는(dynamics가 아닌 kinematic적으로) 것이므로......

측정 전에 예상했던 임의의 상태인

            ∞
lψ(x)> = ∑(cn)lψn(x)>  
           n=1

에서 볼 수 있듯이, 각각의 고유상태에 있을 확률을 cn라고 하고

에너지고유값을 En이라고 하면
           ∞
< E > = ∑(cn)(En)  
         n=1

이렇게 구할 수 있는 걸까요?

(음... 그럼 확률밀도함수도 이산적인 함수로 표현이 가능한 건가요...?  예를 들자면...

          n
P(E) = ∑ (ci)             <---- 에너지가 고유값1,2,3,...,n 사이에 있을 확률?
        i=1

)

조금 더 나아간다면, 퍼텐셜에 구속되어 있는 계의 에너지값은 고유값으로 일정하고,
자유입자와 같은 상태일 경우에는 연속적 값을 가져서 에너지연산자

E(op) = (-i/hbar)(∂/∂t) 를

이용해서 기대값등을 구하는 건가요?

(그렇다면 자유입자와 같은 에너지가 연속적 값을 가질 때는 ψ(x) 나, φ(p) 와 같은
Ψ(E) 와 같은 함수도 구할 수 있을 것 같은데...)

질문2. 시간에 대한 확률밀도함수란 건.... ㅡㅡ;
       계속 생각해보니, 상당히 터무니 없게 느껴지는....;;;;
       어쨋든...
      
       시간은 파라메터 이외에는 다른 역할을 하지 않을 것 같은데요...;;
       그런데 정상상태가 아니란 건
       Ψ(x,t) ≠ψ(x) * e^(-Et/hbar) 가 아니란 건가요?
      
       (즉, lΨ(x,t)l²≠lψ(x)l²)

질문3. 일단 정상상태라고 하면 파라메터가 원칙적으로 2개이지만, 그 중에 하나는(시간t)는 무의미하기 때문에
      
       보통, x하나를 가지고 연산자를 이용해서 p와 E에 대한 것들을 구하게 되는데
      
       여기서 E는 측정값으로 고유값만 가지니..
      
       실제로 위의 예에서 연산자를 이용해 기대값을 요구하는 것은 p뿐이겠군요?
      
       물론 각운동량과 스핀등을 고려하지 않을 때의 얘기...

질문4. 물론 순전히 수학적인 모양 때문에 생긴 궁금증인데요.....
      
       (위의 질문1에서 생각한 게 맞을 때만 유효-_-;;;; 한 질문일지도;;)

       에너지연산자가 시간에 대한 편미분을 포함한다는 건,
      
       파라메터인 t에 따라서 에너지의 기대값이 달라진다는 건가요?(-_-;;;;;)

       (아니면 무한퍼텐셜에선 kinematics만 필요하지만, 이 경우는 dynamics도 생각해야 하기 때문에 약간 이야기가 달라지나요?;;)

----------------------------------------------------------------------------

p.s.

A가 거리의 루트분의 1이 되어야 한다는 것은,
확률밀도 P(x)를 구하는 식에서 적분의 결과가 무차원의 상수가 되어야 하기 때문인가요?

p.s.2

음.... 그런데 .... ( (d/dt)<p> = <∇V(x)> )
슈뢰딩거방정식을 근사화하면 대응원리(h->0)로 뉴턴의제2법칙이
나온다고 하는 게 이걸 말하는 거죠?

p.s.3

근데 에너지 기대값에 대한 게.... 그냥 단순히 생각해보면
< E > = < H > = <p²>/2m + <V(x)>

가 아닐까요? -_-;;;;

[jys34]

생각해보니...... 뉴턴의제2법칙이 양자역학적으로 기대값을 썼을 경우의 근사식이라면.... 고전역학에서의 거의 모든 물리량이나 관계들이 기대값을 쓴 결과라고 생각해도 될까요....? 심지어... 고전역학에서의 에너지보존법칙도 기대값에 대한 것만 말할 수 있는 것이 아닐까요...? (고전역학에서도 일-운동에너지 정

[jys34]

리를 뉴턴제2법칙과 일에 대한 정의(적분식)을 통해 이끌어 냈으니..)

[speia]

한가지씩 질문하시길....위치의 기대값에서도 p를 파라메터로 x(op)를 써서 기대값구하는 게 가능? 당연하죠!!! <x>=<φ_n(p)|x(operator in p-space)|φ_n(p)>...

[speia]

4. 에서 질문1. 에너지는 이 예에서 고유값밖에 가지지 않지 않나요? 답변은.... lψ(x)> = ∑(cn)lψn(x)>라면 당연히... 에너지는 < E > = ∑(cn)*(cn)(En) 로.. 구할 수 있고, 대체적으로 잘 이해한 듯 합니다. 의미가 없을까 하는 생각에 대해서는 c_n을 구하는 데 의미가 있다고 생각합니다.

[speia]

포텐셜 없을때, 연속적인 값을 가져서 E(op) = (-i/hbar)(∂/∂t) 로 구할 수 있는 건 아닙니다. 언제나 동일 합니다. 에너지 오퍼레이터는 H, 해밀토니안이라 부르며, 위에 적은 수식은 틀렸습니다. 시간에 대한 미분은 들어가지 않고, V=0일때, H=p^2/2m 입니다. time evolution에 의해 energy의 expectation value가..

[speia]

변하지 않습니다. 다음질문...[정상상태가 아니란 건 Ψ(x,t) ≠ψ(x) * e^(-Et/hbar) 가 아니란 건가요? ] 당연합니다. stationary state란건, energy eigen state이까요... 위와 같은 형태가 되어야 합니다. H와 commute 하는 어떤 operator에 대해 time-evolution에 따라 expectation value가 변하지 않는다는 것이..

[speia]

질문3의 답변입니다. 질문4는 굉장히 잘못된 이해에서 비롯되었답니다. p.s 첫번째는 nomalization이니 당연히 그렇죠. 상수는 fourier transform만 맞출 수 있음, 아무거나 가능하죠. p.s.2는 ehrenfest's 원리인데, 양자역학의 방정식을 이용해 측정한 값의 기대값이, 고전역학과 연결된다는....

[speia]

p.s.3은 왜 단순히 생각해 보지 않아야 하는지 생각해 보길 바람니다. 임의의 operator에 대한 time-evolution을 공부해 보세요. 질문은 최대한 간결하게~~~ 너무 복잡해 보여서 그동안 읽어볼 엄두가 안 났거든요... -.-;;

[jys34]

음.... time-evolution... dynamics쪽이 어렵던데... (물론 다른 곳도 다 똑같이 어렵지만-_-;;;;) 그래도 답변 감사합니다....

[jys34]

p.s. (그게 사실은... 써놓고 보니 너무 대충 쓴 거 같아서... 자꾸 자세하게 질문 맥락에서... 글 내용을 추가하다보니 그렇게 된 것 같아요;;; -ㅅ-;;;)