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1. 반드시 주어진 펜을 사용하여라.
2. 반드시 답안지의 앞면만 사용하여라.
3. 가능한 한 간결한 문장으로 답하여라 ; 주로 식, 숫자, 그림으로 답하여라. 주 어진 답안지에는 결과를 요약하여라.
4. 답안지의 총 매수를 첫 번째 답안지에 기록하여라.
5. 시험이 끝나면 먼저 답안지를 순서대로 정리하고 뒤이어 그래프용지를 순서대로 정리해서 놓아라.
이 문제지는 모두 쪽으로 구성되어 있습니다.
이론문제 1번 - 축척성질 (a) 작은 물체가 질량을 무시할 수 있는 이상적인 용수철의 한 끝에 매달려 고유 진동수 f 로 진동하고 있다. 이 용수철을 반으로 잘라 다시 같은 물체를 매 달아 진동시킬 때 새 진동수 f ' 를 구하라. (1.5점) (b) 수소 원자의 바닥 상태에서의 반지름은 ao = 0.0529 nm이다(보어의 반지 름). 수소 원자의 전자를 뮤온으로 바꾸어 "뮤온 수소"를 만든다면 "뮤온 수소" 의 반지름 a' 는 얼마인가? 뮤온의 질량은 전자 질량의 207 배이며 뮤온의 전 하량은 전자의 전하량과 같다. 단, 양성자의 질량은 뮤온이나 전자의 질량보다 훨씬 무겁다고 가정한다. (2점) (c) 지구의 복사 평형 온도는 T = 287K 이다. 지구와 태양 사이의 거리가 1 % 줄어들면 이 때의 새 평형 온도 T' 는 얼마인가? (2점) (d) 건조한 어느 날 공기의 밀도는 ρ = 1.2500 kg/m3 였다. 다음 날 습도가 높아져 공기가 전체 질량의 2 % 에 해당하는 수증기를 포함하게 되었다. 이날의 압력과 온도가 전날과 같다면 이날 공기의 밀도 ρ' 는 얼마인가? 단, 건조한 공기의 평균 분자량은 28.8 g/mol, 수증기의 분자량은 18 g/mol, 이상기체로 가정할 것. (2점) (e) 어떤 헬리콥터가 정지한 상태로 떠 있으려면 공기를 일정한 속력으로 밀어내는 엔진의 역학적 일률이 P 이어야 한다. 만일 이 헬리콥터와 똑같은 모양이 면서 모든 길이가 1/2 로 축소된 헬리콥터가 정지한 상태로 떠 있으려면 이때 역학적 일률 P' 는 얼마가 되어야 하는가? (2.5점) 이론문제 2번 - 원자핵의 질량과 안정성 이 문제에서 모든 에너지는 MeV(메가 전자볼트)로 표시되었다. 1 MeV = 1.6 ×10-13 J 이다. 양성자 수가 Z, 중성자 수가 N 인 원자핵(질량수 A = N + Z) 의 질량 M 은 핵자(양성자와 중성자를 핵자라 함)들의 질량의 합에서 결합 에너지 B 를 c2 으로 나눈 값을 뺀 것과 같다. Mc2 = Zmpc2 + Nmnc2 - B 아래 그래프는 주어진 질량수 A 에 대한 B/A 의 최대 값과 질량수 A 와의 관계를 나타낸 것이다. 일반적으로 핵자 당 결합 에너지(B/A)가 클수록 안정된 원자핵이 된다.
핵자 당 결합에너지
(a) 어떤 질량수 Aα이상에서는 결합 에너지가 충분히 작아서 언제나 알파 입자 (A = 4)를 방출한다. 핵자 당 결합 에너지 그래프에서 A = 100 이상인 부분을 일차 함수로 생각하여 Aα를 구하라. (3점)
여기서는 다음과 같이 가정한다.
* 알파 입자 방출 전후의 원자핵들은 핵자 당 결합 에너지가 모두 이 곡선 상에 있다.
* 헬륨 원자핵인 알파 입자의 결합 에너지는 B4 = 25.0 MeV 이다. (그래프에서 나와 있지 않음!)
(b) 양성자 수 Z, 중성자 수 N 인 원자핵(질량수 A = N + Z)의 결합 에너지는 다음과 같은 실험식에 의해 주어진다.
B = avA - asA2/3 - acZ2A-1/3 - aa (N-Z)2 /A - δ
δ의 값은 다음과 같이 주어진다 :
N 과 Z 가 홀수인 원자핵의 경우 +apA-3/4
N 은 짝수이고 Z 는 홀수인 경우나, N 은 홀수이고 Z 는 짝수인 원자핵의 경우 0
N 과 Z 가 짝수인 원자핵의 경우 -apA-3/4
상수의 값은 다음과 같다 :
av = 15.8 MeV, as = 16.8 MeV, ac = 0.72 MeV, aa = 23.5 MeV, ap = 33.5 MeV.
(ⅰ) 어떤 원자핵의 질량수가 A 로 주어졌을 때 결합 에너지가 가장 큰 원자핵의 원자번호 Zmax 의 식을 구하라. 이 경우만 δ항을 무시하고 구한다. (2점)
(ⅱ) A = 200 인 원자핵 중에서 B/A 의 값이 가장 큰 Z 값을 구하라. 이 경우에는 δ항을 포함시켜 구한다. (2점)
(ⅲ) 주어진 답안지의 표에 나열된 A = 128 인 세 개의 원자핵들을 생각해 보자. 각각의 원자핵들이 표에 주어진 붕괴 과정을 일으킬 수 있는지 없는지를 에 너지 관점에서 결정해 보라. (ⅰ) 에서 정의한 Zmax 를 구하고 이를 이용하여 답안지의 표를 채워라. 표를 채울 때 다음과 같이 하라. (3 점) :
* 에너지 관점에서 일어날 수 있는 과정은 ∨ 로 표시
* 에너지 관점에서 일어날 수 없는 과정은 0 로 표시
* 세 원자핵 사이의 변환 관계만을 고려한다.
붕괴과정은 :
(1) - - 붕괴 : 원자핵에서 전자 하나가 방출되는 과정
(2) + - 붕괴 : 원자핵에서 양전자 하나가 방출되는 과정
(3) -- - 붕괴 : 원자핵에서 전자 2 개가 동시에 방출되는 과정
(4) 전자 포획 : 원자핵이 원자 내의 전자를 포획하는 과정
전자(또는 양전자)의 정지 질량 에너지는 mec2 = 0.51 MeV, 양성자의 정지 질량 에너지는 mpc2 = 938.27 MeV, 중성자의 정지 질량 에너지는 mnc2 = 939.57 MeV 이다.
이론 문제 3번 - 태양 에너지로 날아가는 비행기
태양 에너지만으로 동력을 얻어 날아가는 비행기를 설계하려고 한다. 가장 효과 적인 설계 양식은 비행기 날개의 윗면을 완전히 태양전지로 덮는 것이다. 태양 전지는 비행기의 프로펠러를 움직일 수 있도록 동력을 제공한다.
그림과 같이 가로 l, 세로 c 인 직사각형 모양의 평평한 날개를 생각해 보자; 날 개의 면적은 S = cl 이고 날개의 가로 세로 비는 A = l/c 이다. 날개의 측면에 서 볼 때 그림과 같이 높이 x, 길이 l 인 공기 덩어리가 날개에 부딪친 후 매우 작은 속력 변화를 일으키며 작은 각도 ε으로 아래 방향으로 휘어지면서 날개에 미치는 영향을 고려해 보자. 날개를 조정하면 비행할 때 적절한 각도 ε의 값을 결정할 수 있다. 만일 x = πl/4 로 가정하면 이러한 간단한 모델은 실제 상황과 매우 흡사한 결과를 주므로 여기에서도 그렇게 가정하기로 한다. 비행기의 전체 질량은 M 이고, 주위 공기에 대한 비행기의 상대 속도는 v 이다. 다음 질문에 답할 때 날개 주위의 공기의 흐름만을 고려한다.
비행기를 위에서 아래로 내려다 본 그림(비행기의 좌표계임)
입사하는 공기
날개의 측면도(비행기의 좌표계임)
입사하는 공기 날개 부분 비행기의 날개를 지나는 공기 수직(위 방향)
프로펠러에 의한 공기 흐름의 교란은 무시한다.
(a) 그림과 같이 날개를 지나는 동안 공기의 속력은 변하지 않더라도 공기의 속도가 변하므로 공기의 운동량의 변화를 고려하여 보자. 이때 날개가 받는 수직 양력 L 과 수평 저항력 D1 을 날개의 가로, 세로와 v, ε, 그리고 공기 밀도 ρ로 표시하라. 공기의 흐름은 그림과 같다. (3점)
(b) 날개 표면과의 공기 마찰 때문에 또 하나의 수평 저항력 D2 가 추가로 작용한다. 이 효과로 공기의 속력이 약간 감소하며 속력의 감소량 Δv(≪ 0.01 v) 는
각도가 작을 때 다음의 근사가 유용하게 쓰일 것이다.
1 - cosε = sin2ε/2
(c) 주어진 답안지에 일률 P 를 비행 속력 v 의 함수로 그려라. 이 일률은 두 저항력 각각에 기인하는 일률들의 합인데, 이들도 함께 그려라. 또 최소 일률 Pmin 을 M, f, A, S, ρ, g 로 표시하라. (2점) (d) 태양 전지가 1 m2 당 I = 10 Watts 의 일률을 생산해 낸다고 하자. 이 일률로 에너지를 공급할 때 날개가 단위 면적 당 떠받칠 수 있는 최대 무게 Mg/S (N/m2) 와 그 때의 비행 속력 vo (m/s) 를 구하라. ρ = 1.25 kg/m3, f = 0.004, A = 10 으로 하여라. (2점)
28회 국제 물리올림피아드 실험 문제
1997년 7월 15일 화요일
시험 시간 : 5시간
유의 사항
1. 반드시 주어진 펜을 사용하여라.
2. 반드시 답안지의 앞면만 사용하여라.
3. 실험 기구를 만지기 전에 반드시 6 쪽을 읽을 것
4. 가능한 한 간결한 문장으로 답하여라. 주로 식, 숫자, 그림으로 답하여라.
5. 답안지의 매수를 첫 번째 답안지에 기록하여라.
6. 시험이 끝나면 먼저 답안지를 순서대로 정리하고 뒤이어 그래프용지를 순서대로 정리해서 놓아라.
이 문제지는 모두 22쪽으로 구성되어 있습니다.
바이몰프(bimorph)의 특성 조사
경고 : 레이저에서 나오는 광선이나 거울에서 반사한 레이저 광선을 눈으로 직접 들여다보지 말 것 - 여러분의 시력에 손상을 줄 수 있음.
바이몰프는 그림과 같이 압전 물질을 두 겹으로 붙여 놓은 것이다. 바이몰프에 전기장을 걸어 주기 위해 양 표면에 금속 물질을 입혀 전극을 만들어 놓았다(그림1을 보라). 바이몰프를 구성하는 두 층은 아래와 같이 작동하도록 만들어졌다. 즉 전기장을 표면에 수직으로 걸 때, 이들 중 한 겹은 L의 방향을 따라 팽창하고, 다른 한 겹은 L의 방향을 따라 수축한다. 전기장의 방향이 바뀌면 위와는 반대 현상이 일어난다. 즉 앞에서 수축했던 층은 팽창하고 팽창했던 층은 수축한다. 단, 바이몰프에 전기장이 가해지면 바이몰프는 원호의 모양으로 휘어진다고 가정한다.
주의 : 압전 물질에 전기장이 가해지면 크기가 달라지며, 역학적인 변형이 가해지면 전기 퍼텐셜이 발생한다. 전기장 내에서 압전 물질의 상대적 크기 변화는 주어진 전기장의 크기에 비례하지만 전기장을 가했다가 다시 0으로 해도 압전 물질의 크기가 원래 상태로 되돌아오지 않는 히스테리시스(hysteresis) 현상이 일어난다. 그 크기를 원래의 크기로 만들려면 적당히 작은 전기장을 반대 방향으로 가해야만 한다. 압전 물질을 팽창시키거나 수축시키는 힘은 전기장의 세기에 비례한다.
다음 지시 사항을 잘 읽고 질문지에 있는 문제를 푸시오.
1. 바이몰프에 가해지는 전압을 +36 V 에서 -36 V 로 줄인 다음, 다시 +36 V 로 증가시킴에 따라 가해진 전압과 바이몰프의 자유로이 움직일 수 있는 부분(bimorph's free end)이 옆으로 이동한 거리(변위, displacement) 사이의 관계를 결정하여라. 이런 측정을 하는 동안 주어진 방향으로만 전압을 변화시켜라. 예를 들어 -36 V 에서 +36 V 사이의 영역에서 측정하려면 전압을 언제나 증가시키고 전압을 감소시키지 말라. 만일 한 전압을 빠뜨리면 그것을 건너뛰어라. 변위의 전압 의존성을 그래프로 그려라.
가해진 전압을 +36 V 에서 -36 V 로 변화시키고 다시 +36 V 로 증가시키는 한 사이클 동안에는 바이몰프에서 특정한 양의 에너지가 소모된다. 이 에너지에 비례하는 양이 어떤 양인지 밝히고 그 크기를 계산하라.
2. 주어진 바이몰프에서 히스테리시스 현상을 무시하면 바이몰프의 자유롭게 움직일 수 있는 부분의 변위는 d = AVmℓn 으로 주어진다. 여기서 V는 전압, ℓ은 바이몰프의 자유롭게 움직일 수 있는 부분의 길이(빨래 집게에 물린 부분으로부터 흔들리는 끝 부분까지의 길이)이고, m, n, A 는 상수이다. 필요한 측정과 계산을 통해 m, n, A 를 구하라.
3. 바이몰프의 전기용량을 측정하라.
경고 : 레이저에서 나오는 광선이나 거울에서 반사한 레이저 광선을 눈으로 직접 들여다보지 말 것 - 여러분의 시력에 손상을 줄 수 있음.
장치
답 안 지
1.1 바이몰프의 자유롭게 움직일 수 있는 부분(bimorph's free end)의 변위와 가해진 전압 사이의 관계를 결정하기 위해 구성한 회로도를 그려라. (1 점)
1.2 바이몰프의 자유롭게 움직일 수 있는 부분의 변위를 측정할 수 있는 실험 장치의 개요도를 간단히 그리고, 변위 계산에 필요한 양을 모두 개요도에 기호로 표시하라. (1 점)
1.3 앞에서 측정한 양들로부터 바이몰프의 자유롭게 움직일 수 있는 바이몰프 부분의 변위를 계산할 수 있다. 이때 변위를 측정한 양들로 나타내라. 그림 1 에 표시한 기호(변수)를 써서 관계식을 구하라. 이 관계식을 유도하는 과정을 다른 페이지에 반드시 밝히고 그 쪽수를 제시하라. (2 점)
1.4 주어진 그래프 종이에 바이몰프의 자유롭게 움직일 수 있는 부분의 변위와 전압 사이의 관계를 나타내는 그래프를 그려라. 전압을 증가시키면서 얻은 데이터 포인트와 전압을 감소시키면서 얻은 데이터 포인트를 구별하여 나타내라. 각 좌표축의 눈금과 단위를 나타내시오. 그래프가 그려진 쪽수를 적으시오. (2 점)
1.5 앞에서 얻은 그래프를 보고 바이몰프에서 소모되는 에너지에 비례하는 양을 찾아내라. (1 점)
1.6 위 문제에서 구한 바이몰프에서 소모되는 에너지량과 비례하는 양의 값을 그래프에서 구하고 그 오차와 단위를 함께 밝혀라. (1.5 점)
2번 문제
2.1 m 의 값을 여기에 써라. 이 값을 얻기 위해 사용한 데이터 표들, 그래프들, 그 계산 과정을 다른 페이지에 밝히고 그 쪽수를 써라. (1 점)
2.2 n 의 값을 여기에 쓰고 그 오차도 밝혀라. 이 값을 얻기 위해 사용한 데이터 표들, 그래프들, 그 계산 과정을 다른 페이지에 밝히고 그 쪽수를 써라. (1.5 점)
2.3 상수 A 의 값을 쓰고 그 오차와 단위도 밝혀라. (3 점)
3번 문제
3.1 바이몰프의 전기용량을 측정하기 위해 사용한 회로도를 그려라. (1 점)
3.2 바이몰프의 전기용량을 구하기 위해 여러분이 측정한 양과 사용한 공식을 써라. 그림, 그래프들, 데이터 표들이 들어 있는 쪽수를 밝혀라. (3 점)
3.3 전기용량의 값을 여기에 쓰고 그 오차와 단위도 밝혀라. (2 점)