x^x는 무리수일까요? x =/= interger

[형준]

증명을 부탁합니다...

[F킬러]

2^2 은...;

[ㅇ하하]

x≠integer 래잖아요 -_-; 그런데 y=x^x가 x>0에서 연속함수니까 정수 아닌곳에서 무리수란 보장은 없을듯..

[한번만말하겠다!]

그렇군요. . x^x가 정수이면서 x≠정수인 경우가 무수히 많이 존재하네요. x≠유리수인 경우는 어떻게 될까요

[F킬러]

앍.ㅜㅜ 문제를 제대로 읽거야..ㅜㅜ

[형준]

x^x가 정수이면서 x=/=정수인 경우가 어떤경우가 있죠? 연속함수성질은 정수에 대해 말해주지 못할것 같은데요..

[ㅇ하하]

-_-;; 예를들어 x^x=2 인 정수 x는 무엇일까요?

[ㅇ하하]

한편 x가 유리수라면, (n/m)^(n/m)=N ((n,m)=1)이고, (n/m)^n = N^m, n^n = N^m * m^n. 따라서 m l n^n이어야하는데 (m,n)=1에 모순! 따라서 x^x가 정수이면 x는 무리수 또는 정수입니다.

[형준]

네..얘기를 따라오다보니 뭘 밝히는지 헷갈립니다..그러면 x가 정수가 아닌경우 x^x는 어떻게 되는거죠..

[ㅇ하하]

x가 정수일경우 x^x는 정수. x가 유리수일경우 x^x는 무리수. x가 무리수일경우 x^x는 실수. 가 아닐런지

[ㅇ하하]

아 물론 위에서 말한 유리수는 모두 정수가 아닌 유리수를 말합니다

[형준]

x가 무리수일경우 x^x가 유리수일수도 있다는 것이군요..

[ㅇ하하]

그렇죠... x^x가 유리수일경우는 분명 존재하고, 그때의 x가 정수여도 모순, 정수아닌 유리수여도 모순이니 무리수밖에 될 수 없겠죠