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그림 1.2 : 비탈면에 놓여 있는 속이 꽉찬 육각면체 프리즘
모서리가 비탈면과 닿은 직후의 각속도
w f 와 w i 의 관계가 아래와 같이 됨을 보이시오.(1.3)
또, 그 계수
s의 값을 답안지의 네모 속에 쓰시오.b) (1
점) 프리즘의 모서리가 비탈면에 닿기 직전과 닿은 직후의 프리즘의 운동 에너지를 각각 Ki 와 Kf 라 할 때, 이들의 관계가 아래와 같음을 보이고 그 계수 r 의 값을 답안지의 네모 속에 쓰시오.(1.4)
c) (1.5
점) 프리즘이 계속 구르기 위해서는 Ki 가 반드시 다음과 같은 값을 갖는 최소값 Ki,min 이상이 되어야 한다.(1.5)
여기에서
g = 9.81 m/s2 는 중력가속도이다. 계수 d 를 경사각 q 와 계수 r 의 함수로 나타내시오. 답안지의 네모 속에 d 의 값을 쓰되 수치로 쓰지 말고 계수 r 를 포함하는 식으로 쓰시오. d) (2점) 만일 (c) 의 조건이 만족된다면 프리즘은 비탈면을 계속 굴러 내리고 결국 운동에너지 Ki 는 일정한 값 Ki,0 에 수렴한다. 이 극한값이 존재한다면, Ki,0 가 다음과 같이 나타낼 수 있음을 증명하시오.또, 계수
k 를 해답란에 q 와 r 의 함수로 나타내시오.e) (2점) 불규칙 구름 운동이 일단 시작하면 영원히 계속될 수 있는 비탈면의 최소 경사각 q 0 를 0.1° 의 오차 범위 내에서 계산하여 해답 란에 값을 쓰시오.문제 2. 얼음층 아이스캡 밑의 물
아이스캡(ice cap)은 두께가 수 km 까지도 되는 두꺼운 얼음의 층이 땅 위에 얹혀 있는 것으로서 수평 방향의 크기가 수십 또는 수백 km 가 된다. 섭씨 영도의 아이스캡을 템퍼레이트 아이스캡이라 하는데, 이 문제에서는 그러한 템퍼레이트 아이스캡이 녹는 행동과 그 밑에 녹아서 생기는 물의 행동을 생각한다. 이 상황에서는 얼음의 압력은 점성 유체처럼 수직 방향으로만 압력이 변하고, 얼음이 변형될 때도 수직으로만 움직인다고 가정한다. 아래 표의 숫자를 사용한다.
물의 밀도 |
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얼음의 밀도 |
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얼음의 비열 |
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얼음의 액화열(잠열) |
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바위 마그마의 밀도 |
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바위 마그마의 비열 |
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바위 마그마의 액화열(잠열) |
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지구 표면을 통하여 밖으로 흘러나오는 열흐름의 평균값 |
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얼음의 녹는 점 : |
T=0 섭씨 0도 (일정) |
a) (0.5 점) 지구 내부로부터의 열흐름이 주어진 평균값을 갖는 지점의 두꺼운 아이스캡을 생각하자. 위 값을 써서 매년 녹아 없어지는 얼음 층의 두께 d 를 계산하고 그 값을 해답지 해당란에 써라.
(
그림 2.1 : 기울어진 땅 위에 있는 아이스캡의 단면. S = 표면, G = 땅, I: 아이스캡)
b) (3.5 점) 다음 아이스캡의 윗면을 생각하자. 아이스캡 밑의 땅은 기울기가
a 이고, 윗면은 기울기가 b 이다. 그림 2.1 참조. x = 0 에서의 얼음 층의 수직 두께는 h0 이어서 아이스캡의 아래 면과 윗면은 각각로 나타낸다. 아이스캡 밑 부분의 압력 p 를 수평 좌표 x 의 함수로 구하고 해답란에 써라.
아이스캡과 땅 사이에 생기는 얇은 물의 층이 어느 방향으로도 흐르지 않기 위한 조건을 각도
b 와 a 사이의 관계식으로 유도하라. 이 조건은 tan b = s tan a 의 형태로 주어짐을 보여라. 이 계수 s 를 구하고 그 결과를 식의 형태로 해답란에 써라.그림 2.2 에서는
y 1 = 0.8 x 인 얼음 밑의 땅을 보여준다. x = 0 에서의 아이스캡 수직 두께 h0 는 2 km 이다. 아이스캡 밑의 물은 평형 상태에 있다. 그래프 답지에 y1 을 그리고 그 위에 y2 를 그려라. 어느 선이 y1 이고 y2 인지 구별하라.
c) (1 점) 처음에 두께 D = 2.0 km 인 넓은 아이스캡이 수평한 땅 위에 있다. 어느 순간에 갑자기 높이 H = 1.0 km, 반지름 r = 1.0 km 인 원뿔 모양의 영역이 물로 변해서 그림 2.3 처럼 원뿔형 물 덩어리가 생겼다 하자. 이 물은 얼음이 녹아서 생겼고 얼음은 수직 방향으로만 움직여 빈 공간을 채운다고 가정한다. 이 원뿔형 물 덩어리가 생긴 후 압력이 평형 상태가 되었을 때 아이스캡 윗면의 모양을 구하라. 빈 답지에 수식을 쓰고 그래프 답지에 그림을 그려라.
d) (5
점) 과학자들이 남극 대륙의 템퍼레이트 아이스캡을 조사 중 평평했던 얼음 평원에 깊이 h = 100 m, 반지름 r = 500 m 의 거꾸로 선 원뿔 모양의 꺼진 부분을 발견했다 (그림 2.4 참조). 이 지역의 얼음의 두께는 2000 m 이다. 과학자들은 이것이 아이스캡 밑에 작은 규모의 화산 활동이 있어 생긴 것으로 추정한다. 즉, 적은 양의 마그마(녹은 암석)가 아이스캡 아래에서 갑자기 밀고 올라 온 후 얼음을 녹이며 식어 고체가 되었기 때문이라는 것이다. 마그마가 밀고 올라온 체적과 얼음이 녹은 물의 행방을 다음과 같이 추정할 수 있다. 얼음은 수직 방향으로 만 움직인다고 가정한다. 또, 마그마는 처음에는 모두 녹아서 1200 0C이다. 마그마가 밀고 올라온 부분은 꺼진 부분 바로 아래에 역시 원뿔 모양이라고 가정한다. 마그마가 올라오는데 걸린 시간은 열 교환이 일어나는데 필요한 시간보다 아주 짧다. 열 흐름은 수직으로만 일어나서 올라온 마그마가 만든 원뿔면에서 수직한 부분만 녹는다. 이러한 가정 하에 밀려 올라간 얼음의 녹음은 다음과 같은 두 단계로 진행된다. 처음에는 마그마 표면 위의 물이 압력 평형에 있지 않아서 흘러 나간다. 흘러 나가는 물은 섭씨 0도라 가정할 수 있다. 다음에 압력 평형이 이루어지면 물은 더 이상 흘러 나가지 않고 마그마 위에 쌓인다.
또, 그래프 답지에 스케일을 맞추어 마그마가 밀고 올라온 부분, 남아 있는 물 덩어리의 모양을 그려라. 이때 그림 2.4 의 부호와 좌표를 사용하라.
이 문제에서는 1994 년에 관측된 우리 은하에 있는 복합 광원에서 나오는 전파를 분석하고 해석한다. 수신기는 수 cm 짜리 파장의 전파들에 동조되었다.
그림 3.1 에는 다른 시간들에 기록된 일련의 상이 그려져 있다. 지도의 등고선이 같은 높이를 가리키듯이 여러 곡선들은 같은 밝기의 위치를 가리키고 있다. 그림 중의
x표는 별들의 중심을 나타내고 있고, 좌우의 최고 밝은 점은 서로 멀어져 가고 있는 두 개의 물체를 가리키고 있다.(x 표의 중심은 우주에 고정되어 있고 다른 파장의 전파를 내고 있다.) 그림 중 다른 날들의 측정들은 모두 동일한 시간에 이루어졌다.
그림 3.1 : 우리 은하에 있는 광원에서 나오는 전파. (1²
는 각 단위 1 초임.)
그림의 맨 밑에는 각도 단위의 1 초(as) 에 해당되는 직선이 그려져 있다. (이 경우의 1 초는 1 도의 1/3600 이다.) 지구에서 x 로 표시된 천체의 중심까지의 거리 R 은 12.5 kpc 로 추정되며, 1 kpc 는 3.09 × 1019 m이고, 빛의 속도 c = 3.00 × 108 m/s 이다. 이 문제에서 오차계산은 필요 없다.
a) (2 점) 그림에서 지구상에서 볼 때 왼쪽과 오른쪽 별의 위치를 중심에 대한 각도로 나타내어 각기 θ1(t) 및 θ2(t) 라고 하자. t 는 관측 시각이다. 이들을 지구에서 본 각속도를 ω1 및 ω2 라고 하자. 이에 해당하는 관측자가 자기 앞면에 보게 되는 별의 수직 성분의 속도는 각기 v '1,⊥ 및 v '2,⊥ 라고 한다. 그림 3.1 을 이용하여 ω1 및 ω2 를 하루 당 각도 천 분의 일 초의 단위 (mas/d) 로 구하기 위한 그래프로 그리시오. 또, ω1 과 ω2 의 숫자 값을 답란에 쓰시오. 또, v '1,⊥ 및 v '2,⊥ 값을 숫자로 구한 뒤 답란에다 모두 쓰시오. (이 결과가 이상할 수도 있음.)b) (3 점) 앞 (a) 번에서의 이상한 값을 설명하기 위하여 그림 3.2 와 같이 관측자와
f 를 이루는 각도로 속도 v 로 이동하는 별을 생각하여 보라. 속력은 v = b c 으로 쓰라. c 는 광속이다. 관측자에서부터 광원까지의 거리는 R 이다. 관측자에게 보인 광원의 각속도는 w 이며 관측자가 자기 앞면에 보게 되는 별의 수직 성분의 속도는 v '⊥ 이다. w 와 v '⊥ 을 b , R,f 의 함수로 구하여 답란에 쓰시오.
그림 3.2 : 관측자는 0 에 있고 광원의 최초 위치는 A 이며 벡터 속도는 v 이다.
c) (1 점) 서론 및 앞서 (a) 번에서 언급된 두 개의 튀어나온 물체가 서로 v = b c 의 같은 속력으로 반대 방향으로 움직이고 있다고 하자. 이제 앞의 (b) 번의 결과를 이용하면 b , f 를 각속도 w 1 및 w 2 및 거리 R 의 함수로 나타낼 수 있다. 여기에서 각 f 는 앞서 (b) 번에서 정의된 왼쪽으로 가는 물체(앞 (a) 번에서 첨자 1 번으로 된 물체)의 각도 f 를 뜻한다. 답란에 b 와 f 를 알려진 양들로 나타낸 공식으로 구하여 쓰고 앞서 (a) 번의 데이터로 그 숫자 값들을 구하시오. 해당 답란에 숫자 답을 쓰시오.
d) (2 점) 앞서 (b) 번과 같은 물체 하나만을 대상으로 하여 관측자가 앞면에 보게 되는 별의 수직 성분의 속력 v '⊥ 가 광속 c 보다 크게 되는 조건을 구하시오. 이 때 조건을 b > f(f ) 형태로 쓰고 함수 f 에 대한 함수식을 답란에 쓰시오. 그래프 용지에 (b ,f ) - 평면을 표시하고 v '⊥ 인 지역을 빗금으로 나타내시오.
e) (1 점) 앞서 (b) 번과 같은 물체 하나의 경우에 주어진 b 에 대하여 관측자가 자기 앞면에 보게 되는 별의 수직 성분 속도 v '⊥ 가 갖는 최대값 (v '⊥)max 을 구하고 해당 답란에 그 값을 쓰시오. 이 때 속력은 b ?? 1 이면 무한대로 증가하게 된다.
f) (1 점) R 에 대하여 서론에서 준 값은 별로 믿을 만하지 않다. 따라서 과학자들은 이 값을 결정하기 위한 보다 직접적인 방법을 제시하고자 한다. 우리는 서로 멀어져 가는 두 천체에서 나오는 도플러 편이된 두 파장
l 1, l 2 의 파장 값을 측정할 수 있다고 가정하자. (이들 두 파장은 천체가 정지 시에는 l 0 임.) 상대적인 도플러 편이 공식 l = l0 (1 - b cosf )(1 - b 2)-1/2 에서 출발하여 두 천체가 같은 속력을 가졌다고 할 때 미지의 양 b = v/c 는 l 0, l 1,l 2 의 함수로 식 3.1 과 같이 나타낼 수 있다.
이
식 안의 계수 a 의 숫자 값을 답란에 맞게 넣으시오.29th International Physics Olympiad
Reykjavik, Iceland실험
문제 Monday, July 6th, 1998주어진 시간 5 시간
이 문제지는 총 6 페이지 임. (번역 판 만 보아도 지장 없음)
멀티미터 :
멀티미터는 이 실험에서 교류 전압, 교류 전류, 주파수 및 저항을 잴 때 쓰이며, 2 개의 단자를 갖고 있다. 여러분이 할 모든 측정에서 한 단자는
COM 이라 쓰여진 단자를 이용하고, 전압, 주파수, 저항을 잴 때는 V-W 라 표시된 빨간 단자를, 전류를 잴 때는 mA 라 표시된 노란 단자를 쓴다. 중앙의 다이알을 돌려서 측정 대상을 선택하며(교류 전압은 V~, 교류 전류는 A~, 주파수는 Hz, 저항은 W) 측정값의 범위도 바꾼다. 교류 측정에서 측정 오차는 ± (표시 값의 4 % + 마지막 숫자의 10 배) 이다. 4 % 의 오차 외에도 마지막 유효 숫자의 10 배를 오차로 감안하여야 한다는 뜻이다. 정확한 전류의 측정을 위해서는 측정치가 측정 범위의 10 % 보다 작을 때에는 측정 범위를 바꾸어야 한다. 50 분간 손을 대지 않으면 미터는 자동으로 꺼진다.파형
발생기 :파형 발생기(신호 발생기)를 키려면
PWR 이라 표시된 빨간 단추를 누른다. 10k 라고 써진 단추를 눌러서 10 kHz 의 영역을 선택하고, 파형 모양이 그려진 단추 중 오른쪽에서 두 번째를 눌러 싸인(sine) 파형을 선택한다. 다른 단추는 누르지 말 것>. 작은 다이알 세 개중 오른 쪽 진폭(amplitude) 다이알은 진폭을 조정하는 데 시계 방향으로 최대로 돌려도 안전하다. 왼쪽의 큰 다이알은 주파수를 조정한다. 이 다이알이 표시하는 값과 주파수 영역 값을 곱하면 출력 주파수가 되는데 이것은 멀티미터로 수시로 점검할 수 있다. 출력은 MAIN 이라고 쓴 단자를 이용할 것. 이 출력은 50W 의 내부 저항이 있다.훼라이트
심(Ferrite core) :훼라이트 심은 깨지기 쉬우니 아주 조심해서 다룰 것!!. 훼라이트는 세라믹 자성 물질로서 전기 전도도가 낮다. 따라서 심(core)에서 생기는 에디 전류(와류, eddy current) 손실은 작다.
연결 단자:
코일에서 빠져 나온 전선을 연결 단자에 연결하려면 색깔이 있는 플라스틱 넛트를 풀어서 전선의 납이 묻은 부분을 금속 넛트와 플라스틱 넛트 사이에 놓고 조인다.
그림 1 : 제 1 부 실험을 위한 도구 배치.
제 1 부 : 에디 전류(와류, eddy current)에 의한 자기 차폐 (8 점)
시간에 따라 변하는 자기장은 도체에 에디 전류를 유도한다. 에디 전류는 다시 원래의 자기장 내에 감소하는 방향의 유도된 자기장을 만들어 낸다. 보통 금속은 일정한 전기전도도를 갖기 때문에 이 에디 전류는 자기장을 완전 차폐하지는 못한다.
알미늄 포일이 자기장을 차폐하여 감소시키는 효과를 현상적으로 설명하는 모형식은
(1)
실험
코일이
감긴 페라이트 심을 다리를 밑으로 하여, 나무 실험판 중앙의 튀어나온 부분에 놓아서 코일 A 가 나무에 심은 픽업 코일 (하얀색 원형판 만 보임) 바로 위에 오도록 한다. (그림 1 참조) 고무줄을 페라이트 심과 튀어나온 부분 밑을 지나게 하여 심을 고정한다. 실험에서 포일 두께 및 주파수 측정치의 오차는 없는 것으로 한다.닫혀진 훼라이트심에 감겨있는 두 코일에 파형 발생기로부터 나오는 사인(sin)파 교류 전압 Vg 가 가해질 때의 반응을 조사하자. 이 실험에서는 훼라이트 물질의 자기 투자율 m 는 상수라 가정하자.
이론
다음에
있는 기초 이론과 테이터 처리 시 두 개의 코일들이 갖는 내부 저항과 심 안에서의 자기 이력 손실은 측정된 전류 및 전압에 무시할 정도의 영향을 미친다고 가정한다. 이렇게 단순화 하였기에 측정치와 계산치는 약간 서로 다르게 나올 것이다.단일 코일
먼저
심 한쪽에만 코일이 있고 전류 I 가 흐르는 경우를 보자. 전류가 코일 안쪽의 훼라이트심 내부에 만드는 자기력 선속 F 는 전류 I 및 감긴 횟수 N 에 비례한다. 이 선속은 또한 심의 크기 및 모양에 관련된 기하학적인 인수 g 및 심의 자기 성질을 나타내는 자기 투자율 m = m r m0 에 의존한다. mr 은 상대적 투자율이고 m0 는 진공의 투자율이다. 따라서 자기선속 F 는로
주어지며, 여기서 c = m g 이다. 유도 전압은 파라데이의 유도 법칙에 따라이다
. 코일의 전류 및 전압 사이의 관계는 전통적으로 보통 코일의 자기 유도 계수( self inductance) L 을 써서로
나타낸다. 사인파 발생기를 코일에 연결하면와
같은 전류가 흐르는데, 여기서 w 는 각진동수, I0 는 전류 진폭이다. 식 (3)을 쓰면, 이 전류는 코일에 다음과 같은 유도 전압을 발생시킨다.이
유도 전압이 신호 발생기의 전압 Vg 가 되도록 전류가 흐르게 된다. 전압과 전류는 위상 차이가 90도이다. 교류 전압의 진폭 e 0 와 전류의 진폭 I0 사이에는, 위상차를 고려하지 않으면,의
관계가 있다. 이하에서는 아래 첨자 0 은 쓰지 않기로 한다.
그림 2. 닫혀진 자기 회로를 갖는 변압기
두 코일 문제
이제
심(core) 하나에 코일 두 개가 있다고 하자. 훼라이트 심은 코일들 사이에 자기력 선속을 이어주는 역할을 한다. 이상적인 심에서는 자기력 선속이 심의 모든 단면적에서 같을 것이다. 실제 심에서는 선속이 도중에 흘러나가서 반대쪽의 두번째 코일에서의 선속 값은 선속이 발생되는 쪽의 값보다 작게 된다. 2차 코일 B 에서의 선속 FB 는 1차 코일 A에서의 선속 FA 와의
관계가 있다. 마찬가지로 코일 B의 전류가 만드는 선속 FB 는 코일 A 에 선속 FA = k FB 를 만든다. 연결 계수(coupling factor)라 불리는 계수 k 는 1 보다 작다.실험하고자
하는 훼라이트 심에는 위 그림과 같이 변압기 형태로 코일 A와 B가 감겨 있다. 코일 A가 1차라고 하여 파형 발생기에 연결되어 있다고 하자. 코일 B에 전류가 흐르지 않는다면(IB=0), IA 에 의한 유도 전압 e A 는 Vg. 와 크기가 같고 방향이 반대이다. 제2차 코일 속에 IA 가 만든 선속은 식(8) 로 정해지고, 코일 B 에 유도된 전압은이다
.코일
B 에 전류 IB 가 흐르면 코일 A 에 전압이 유도되는데, (9)번 식과 비슷하게 기술된다. 따라서 코일 A 의 양단에 발생하는 전압은이다
.따라서 2차 코일에 흐르는 전류는 1차 코일에 반대 방향의 전압을 유도하여 전류 IA 의 값을 증가시킨다. e B 에 대해서도 유사한 식으로 쓰여진다. 측정을 하여 확인이 가능하지만 이제 k 값은 어느 코일이 1차 코일이 되나 똑같은 값이 된다.실험
그림
2와 같이 U자형 심 2개를 고무밴드로 묶는다. 파형발생기를 사인파형의 10 kHz 에 맞춘다. 항상 측정 시 가장 예민한 측정 범위에 놓는다. 코일 A, B의 감은 횟수는 NA = 150(± 1), NB = 100 (± 1)이다.
증명한 결과는 답란 1.a 에 써라. 답란 1.b 에는 이 양들이 어떻게 측정될 수 있는지를 보이는 회로도를 그려라. LA, LB, k 의 수치 값을 계산하고, 그 값들을 답란 1.c 에 써라.
2. (2 점) 2차 코일의 양쪽 선을 합선시켜 놓으면 1차 코일에 흐르는 전류 Ip는 증가하게 된다. 위 식들을 이용하여 Ip 를 1차 전압, 1차 코일의 자기 유도 계수 및 연결 계수로 나타내는 공식을 구하여 답란 2.a 에 쓰시오. Ip를 측정한 뒤 이 값을 답란 2.b 에 쓰시오.
3. (2.5 점) A 번과 B 번 코일은 직렬로 연결할 때 이들 두 자기력 선속이 상대방의 선속을 증가하거나 감소하도록 두 가지로 연결이 가능하다.
3.1 두 코일을 흐르는 전류 I 에 의하여 발생된 자기력 선속이 서로 합쳐져 강화되는 경우를 측정하여, 직렬로 연결된 코일의 자기 유도 계수 LA+B 값을 구하고 그 값을 답란 (3.1)에 쓰시오.
3.2 두 코일의 자기력 선속 값들이 서로 반대될 때의 VA 및 VB 전압을 측정하시오. 이 값들을 답란 3.2a 에 쓰고, 그 비를 답란 3.2b에 쓰시오. 답란 3.2c 에는 같은 값(두 코일에 걸리는 전압의 비)를 감긴 횟수 및 연결 계수들을 가지고 나타내는 공식을 유도하여 쓰시오.
4. (1 점) 이렇게 얻은 결과를 이용하여 어떤 경우에도 코일의 자기 유도 계수가 감긴 횟수의 제곱에 비례함을 확인하고 그 결과를 답란 4 에 쓰시오.
5. (1 점) 1차 코일의 저항을 무시한 것이 옳았다는 것을 실험적으로 확인하고, 그 이유를 수식으로 표현하여 답란 5 에 쓰시오.
6.(2 점) 두 개의 금속 심 사이에 종이를 끼워 넣어 약간 간격을 벌리면 (그림3 참조) 코일의 자기유도계수가 크게 줄어든다. 이렇게 자기유도계수가 감소하는 것을 이용하여 훼라이트 물질의 상대적 투자율 mr 를 결정하라. 이 때 암페어의 법칙과 훼라이트ㅡ종이 경계 면에서 자기력 선속 밀도 값 B 가 연속이라는 것을 이용하라.
종이의
자기 투자율 m = m0 = 4p ´ 10-7 Ns2/C2 이며, 그 두께는 43mm이다. 기하학적인 인수는 암페어의 법칙을
써서 결정할 수 있는데, 여기에서 Itotal 는 위 선적분 경로를 가장자리로 하는 표면을 지나가는 총 전류이다. m r 에 대한 수식 결과를 답란 6.a 에 쓰고 수치 값을 답란 6.b 에 써라.