<P>사차방정식의 근의 조건으로 접근은 하는데 잘 안풀려서 고수님들의 도움 부탁드립니다.</P>
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<P>x에 대한 사차방정식 x^4-(13a+26)x^2+25a^2=0이 서로 다른 네 실근 p,q,r,s(단, p<q<r<s)을 갖고 네 실근 사이에 s=3r-2q의 관계가 성립할 때, 상수 a의 값의 합을 구하시오.</P>
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복이차식이고 서로 다른 네 실근이라면 x^2=t로 치환한 후 t의 값이 서로 다른 두 양수가 나와야 합니다. 이 두 값이 c^2, d^2(c^2<d^2) 라 하면 x는 작은 것부터 차례로 -d, -c, c, d 가 됩니다. 따라서 네근 p,q,r,s는 -s, -r, r, s 이고 주어진 조건 s=3r-2q 에서 s=5r 이므로 네 근은 -5r, -r, r, 5r. 이제 근과 계수의 관계를 활용해 2차계수로부터 -26r^2=-13(a+2)이므로 2r^2=a+2 상수항으로부터 25r^4=25a^2이므로 r^4=a^2. 4r^2=4a^2=(a+2)^2 에서 3a^2-4a-4=0. 따라서 a값의 합=4/3
첫댓글 복이차식을 치환해서 두 근을 A, B라 하고 인수분해꼴로 표현하면 네 근은 -루트A, -루트B, 루트B, 루트A 의 꼴로나오게 됩니다.(0<B<A)
s=3r-2q 에 넣어보면 A=25B 라고 나오게됩니다.
근과계수 사용하시면 a값이 나올겁니다.
감사합니다!!
복이차식이고 서로 다른 네 실근이라면 x^2=t로 치환한 후 t의 값이 서로 다른 두 양수가 나와야 합니다.
이 두 값이 c^2, d^2(c^2<d^2) 라 하면 x는 작은 것부터 차례로 -d, -c, c, d 가 됩니다.
따라서 네근 p,q,r,s는 -s, -r, r, s 이고 주어진 조건 s=3r-2q 에서 s=5r 이므로 네 근은 -5r, -r, r, 5r.
이제 근과 계수의 관계를 활용해 2차계수로부터 -26r^2=-13(a+2)이므로 2r^2=a+2
상수항으로부터 25r^4=25a^2이므로 r^4=a^2.
4r^2=4a^2=(a+2)^2 에서 3a^2-4a-4=0.
따라서 a값의 합=4/3
감사합니다!!
이 문제가 올림포스 평가문제지 고난도 문제일꺼에요.