종이에 각 문제에 필요한 특정한 데이터가 적혀있고, 그 외에 여러 가지의 일반적인 데이터와 물리상수를 적은 한 장의 종이가 준비되어 있으니 문제를 풀 때 이용할 수 있습니다.
각
문제의 답은 별도의 답지에 작성하여야 합니다.
자유롭게
사용할 수 있는 연습장 외에 매 문제마다 구한 결과를 요약해서 써야 되는 답지가 있습니다. 숫자는 유효숫자가 적절하게 표시되어야 하고, 단위를 함께 쓰는 것을 빼먹지 마세요.
연습장에는
문제의 풀이를 위해 중요하다고 생각하는 모든 것을 적어 채점에 가산이 되도록 할 수 있음. 그러나 주로 방정식, 숫자, 기호, 그림 등을 사용하고 문장은 가능한 한 줄이도록 함.
사용할
각 종이의 윗 부분에 이름(NAME), 나라(TEAM), 수험번호(CODE 난에 수험표에 적혀있는 것을 쓴다)를 적는 것이 매우 중요하므로 빠트리지 말 것. 그리고 추가로 연습장에는 문제번호(Problem), 각 문제의 사용한 종이의 순번(Page n 난에 1 에서 연습장의 총매수 N까지의 숫자), 그리고 각 문제의 사용한 연습장의 총매수(Page total 난에 숫자 N)을 적으시오. 각 문항을 시작할 때 문항번호를 적고 답하시오. 연습장에 쓴 것을 보여주기 싫은 경우는 종이 전체에 큰 가위표를 긋고, 페이지 번호를 매기지 마시오.
다
끝나면 모든 종이를 적절한 순서(각 문제마다 답지를 앞에 놓고, 다음에 사용한 연습장을 순서대로 놓으시오. 사용하지 않은 종이와 문제지는 맨 마지막에 놓으면 됨)로 하여, 이 모든 것을 다시 봉투에 넣고 책상에 남겨두면 됨. 어느 것도 방 밖으로 가져갈 수 없음.
이
문제지는 이 안내와 답지를 포함하여 장으로 되어 있음.
물리상수와 일반 데이터
각 문제에서 주어진 수치와 별도로 일반적인 데이터와 물리상수가 필요할 수 있으며 다음표에서 찾아 사용할 수 있다. 이들은 현재 알려진 가장 정확한 데이터 들이며 따라서 많은 수의 유효숫자들을 가지고 있다. 그러나 각 문제에서 답을 쓸 때는 적절한 유효숫자 수를 가지도록 쓰기 바란다.
광속
: c = 299792458 m× s-1
진공의
투자율: μ0 = 4p × 10-7 H× m-1
진공의
유전율: ε0 = 8.8541878 x 10-12 F× m-1
만유인력상수
: G = 6.67259 x 10-11 m3/(kg× s²)
기체상수
: R = 8.314510 J/(mol× K)
볼츠만
상수: k = 1.380658 x 10-23 J× K-1
스테판
상수: σ = 56.703 x 10-9 W/(m²× K4)
양성자
전하: e = 1.60217733 x 10-19 C
전자
질량: me = 9.1093897 x 10-31 kg
플랑크
상수: h = 6.6260755 x 10-34 J× s
섭씨영도의
절대온도: TK = 273.15 K
태양의
질량: MS = 1.991 x 1030 kg
지구의
질량: ME = 5.979 x 1024 kg
지구의
평균 반지름: rE = 6.373 x 106 m
지구의
공전궤도의 긴 반지름: RE = 1.4957 x 1011 m
지구의
하루의 길이: dS = 86.16406 x 103 s
지구의
일년의 길이: y = 31.558150 x 106 s
지구표면에서의
표준 중력가속도: g = 9.80665 m× s-2
해수면에서의
표준 대기압: p0 = 101325 Pa
표준압력
, 15oC 에서의 공기의 굴절률: nair = 1.000277
태양상수
: S = 1355 W× m-2
목성의
질량: M = 1.901 x 1027 kg
목성의
적도 반지름: RB = 69.8 x 106 m
목성
공전궤도의 평균 반지름: R = 7.783 x 1011 m
목성의
하루의 길이: dJ = 35.6 x 103 s
목성의
일년의 길이: yJ = 374.32 x 106 s
원주율
: 3.14159265
Problem 1
가스에
의한 빛의 흡수
중심
축이 수직으로 서있는 실린더 안에 어떤 분자들로 이루어진 가스가 열역학적 평형상태로 담겨있다. 유리판으로 만들어진 뚜껑은 실린더 안에서 자유롭게 위 아래로 움직일 수 있으며, 이때 가스가 누출되지 않는다고 가정한다. 유리판은 실린더 내벽과 마찰이 있으므로 뚜껑의 진동이 충분히 감쇄된다. 이때 전체 에너지에 대하여 유리판의 마찰에 따른 에너지 손실은 무시하기로 한다. 초기에 가스의 온도는 실온과 같았다. 그리고 주변의 기압은 표준 대기압이다. 가스는 이상기체로 간주 한다. 실린더 벽(바닥을 포함해서)에 의한 열 전달 및 열용량은 충분히 작다. 따라서 가스와 주변환경과의 열 교환은 매우 느리므로 이 문제에서는 무시하기로 한다.
유리판
뚜껑을 통하여 일정한 출력의 레이저 빛을 입사 시켰다. 레이저 빛은 공기와 유리뚜껑을 에너지 손실 없이 통과한 다음, 실린더 속의 가스에 의해 완전하게 흡수된다. 빛을 흡수한 분자들은 높은 에너지 상태가 된 후 즉시 적외선을 방출하여 기저상태로 내려간다. 이러한 적외선은 실린더 안에 갇혀 가스에 다시 흡수된다. 따라서 레이저 빛으로부터 흡수된 에너지는 모두 짧은 시간 내에 분자의 운동 에너지가 되어 오랜 기간 동안 가스에 포함되어 있다.
이때
우리는 유리뚜껑이 위쪽으로 밀려 올라가는 것을 관찰한다; 즉 일정시간 동안 빛을 쪼이고 난 후 레이저를 끄고, 위로 밀려난 거리를 측정하였다.
다음
페이지에 주어진 데이터와, 필요 시 앞 페이지에 주어진 물리상수를 사용하여, 빛을 쪼이고 난 후의 가스의 온도와 압력을 계산하라. [2점]
빛을
쪼인 결과로서 발생하는 가스의 팽창에 의한 역학적 일의 량을 계산하라. [1점]
빛이
쪼여짐으로 흡수된 에너지의 양을 계산하라. [2점]
흡수된
레이저 빛의 일률을 계산하라. 그리고 이에 해당하는 단위 시간당의 광량자의 개수를 구하라. (즉, 단위시간당 흡수되는 광량자의 수) [1.5점]
빛의
에너지 중의 일부가 유리판 뚜껑의 위치에너지로 전환되는 에너지 변환의 효율을 계산하라. [1점]
이런
상태에서 실린더를 천천히90도 옆으로 기울여서, 실린더의 중심 축이 수평이 되게 하였다. 이때 가스와 실린더 벽 사이의 열 교환은 역시 무시한다.
이렇게
실린더를 기울임으로써 발생하는 가스의 압력과 온도의 변화 여부를 적어라. 그리고 변화한다면 변화된 새로운 값들을 적어라. [2.5 points]
데이터
대기압
: p0 = 101.3 kPa
실온
: T0 = 20.0° C
실린더의
내경: 2r = 100 mm
유리판의
질량: m = 800 g
용기
안의 기체의 양: n = 0.100 mol
기체의
몰당 정적비열 : cV = 20.8 J/(mol× K)
레이저의
빛 파장: l = 514 nm
빛을
비쳐준 시간: D t = 10.0 s
빛을
쪼여준 때문에 유리판이 움직여간 거리: D s = 30.0 mm
답안지
이
문제에서는 답안에 결과를 수식, 수치 값 그리고 단위를 모두 써야 한다(예. A=bc=1.23m2).
빛이
쪼여진 뒤의 가스의 온도 ………………………
빛이 쪼여진 뒤의 가스의 압력 ………………………
해낸
역학적 일의 양……………………………
빛이
쪼여짐으로서 흡수된 빛 에너지 양……………………………
흡수되는
레이저 빛의 일률 …………………………………………
단위
시간당 흡수되는 광량자의 개수 …………………………
빛
에너지가 유리판의 역학적 위치 에너지로 바뀌는 효율…………………
실린더를 기울여서 생기는 압력의 변화가 있는가? YES □ NO □
있는 경우 새 값은 얼마인가? ……………………………………………………
실린더를 기울여서 생기는 온도의 변화가 있는가? YES □ NO □
있는 경우 새 값은 얼마인가? ……………………………………………………
Problem 2
V
자 모양의 도선에 흐르는 전류에 의한 자기장
Ampere
가 만든 자기현상의 성공적인 해석 중에는 전류가 흐르는 선들 주위에 만들어지는 자기장 B 의 계산 방법이 있으며, 이는 Biot 와 Savart 가 원래 만들었던 가정과는 다르다.
특별히
흥미있는 경우는 일정한 전류 i 가 흐르고 있는 매우 긴 도선을 V 자 모양으로 꺾은 경우이다. (그림을 참조하고 사이각의 절반을 α 라고 한다.) Ampere의 계산에 따르면 V 자형 도선의 밖에 있는 중심축 위의 거리 d 만큼 떨어진 곳 P 점에서의 자기장의 크기 B가 tan(α/2) 에 비례한다. Ampere의 계산은 후에 Maxwell의 전자기이론에 의해 확인되었으며, 일반적으로 받아들여졌다.
현재의
일반적인 전자기 지식을 활용하여,
P
점에서의 자기장 B 의 방향을 구하라. [1 point]
이
자기장이
에 비례한다는 것을 안다고 할 때
의 비례상수 k 를 찾아내어라. [1.5 points]
V
자형 도선의 꼭지점에 대한 P 점의 대칭점 즉, 중심축상에 꼭지점으로부터 같은 거리 d 만큼 떨어진 그러나 V 자의 안에 있는 P* 점에서의 자기장 B 를 구하라. (아래 그림 참조 ). [2 points]
P 점에서의 자기장을 측정하기 위해 자침의 관성모멘트가 I 이고 자기쌍극자 모멘트가 m 인 나침반을 갖다 놓고, 자기장 B 의 방향을 포함하는 평면상에서 작은 진동각으로 진동시켰다. 이 나침반 자침의 진동주기를 자기장의 크기 B 의 함수로 계산하라.
한편 같은 조건하에서 Biot 와 Savart 는 이 대신에 P 점에서의 자기장의 세기가
것이라고 가정하였다. 여기서 m 0 는 진공 중에서의 투자율이다. 실제 V 사이각의 함수로 자침의 진동주기를 측정하여 이들 두가지 해석(Ampere 와 Biot-Savart) 중에서 옳은 것을 찾아내려고 하였다. 그러나 일부 a 값에 대하여는 둘 사이의 차이가 매우 작아서 측정에 의하여 쉽게 분간 할 수가 없었다.
P
점에서의 자침의 진동주기 T 에 대한 두 가정 사이에 옳은 것을 실험으로 구별하려면 적어도 10% 보다 큰 차이가 필요하다고 하자. (예를 들면 T1>1.10 T2 이어야 한다. 여기서 T1 은 Ampere 의 가정에 따른 것이고, T2 는 Biot-Savart 의 가정에 의한 것이다.) 이들 두 가정 사이에 어느 것이 옳은가 결정하려면 V 의 사이각의 절반인 a 가 근사적으로 어떤 범위내에 있어야 하겠는가?
힌트
문제풀이의
방식에 따라서 다르겠지만, 아래 주어진 삼각함수 공식을 유용하게 사용할 수 있음:
답안지
이 문제에서는 답안에 결과를 수식으로 적고, 특별히 요구되지 않는 한 수치로 적지 마시오.
아래
그림에 자기장 B 의 방향을 그리시오. (vector 의 크기는 중요하지 않음) 그림은 입체적입니다.
비례계수 k ……………………
문제에 표시된 P* 점에서의 자기장의 크기는?…………………………
앞
그림에 자기장 B 의 방향을 제 위치에 그리시오.
자침의 미소진동의 주기 ………………………………
Ampere 및 Biot 와 Savart가 가정한 두 진동 주기의 비가 1.10보다 크게 되는 a 값의 범위는?
(여기서는 범위 값을 숫자로 적으시오.) ………………………………………………
Problem 3
목성
탐사선
이
문항에서는 탐사선을 원하는 방향으로 가속키는 데 자주 사용되는 한 방법을 다루기로 한다. 이 탐사선이 행성의 근처를 지나가면서 행성의 궤도 운동 에너지를 빼앗아 그 속력이 상당히 증가하며 방향도 바꿀 수 있다. 우리는 이 문제에서 목성의 주위를 지나가는 탐사선의 이러한 효과를 분석한다.
목성은
태양의 주위를 타원궤도를 따라서 공전하는데, 이 궤도는 평균 반지름이 R 인 원형으로 근사할 수 있다; 분석을 진행하기 위하여 먼저,
1. 태양 주위를 도는 목성의 공전 속력 V 를 구하라. [ 1.5 points]
2. 탐사선이 태양과 목성을 잇는 선상에서 둘 사이에 있을 때 태양과 목성의 중력이 평형을 이루는 지점의 목성으로부터의 거리를 구하라. [1 point]
여기서는
목성의 인력이 다른 중력들보다 매우 큰 영역에서 일어나는 일만 살펴 본다.
태양의 질량중심 기준계에서 탐사선의 초기 속력이 v0=1.00x104 m/s (방향은 +y 방향)이고, 목성의 속도는 ?x 방향이다. (그림1 참조); 여기서 초기속력은 목성으로부터 멀고 그러나 여전히 태양의 인력이 목성에 비해 무시되는 영역에서의 탐사선의 속력을 말한다. 탐사선에 주어지는 이 효과는 충분히 짧은 시간에 일어나서 태양 주위를 공전하는 목성의 방향은 이 시간동안 바뀌지 않는다고 가정한다. 우리는 또 탐사선이 목성의 뒤를 지나가는 경우를 생각하자. 즉, 목성의 y 좌표 값과 탐사선의 y 좌표 값이 일치하는 순간에, 탐사선의 x 좌표 값이 목성의 x 좌표 값보다 크다.
그림
1. 태양의 질량중심 기준계에서 본 모습. O는 목성의 궤도, s는 탐사선이다.
3. 목성 중심의 기준 좌표계에서 탐사선의 운동방향(즉, 운동방향과 x 축이 이루는 각도 j 의 값으로 표현)과 속력 v’ 을 구하시오. 단, 탐사선은 아직도 목성에서 충분히 멀리 있다고 한다. [2 points]
4. 보통 하듯이 매우 멀리 떨어진 곳 즉, 모든 중력이 작아서 거의 등속도로 운동하는 충분히 먼 곳에서 탐사선의 중력 퍼텐셜 에너지를 0 으로 놓고, 목성의 기준계에서 탐사선의 역학적 에너지 E 를 계산하시오. [1 point]
목성의 기준계에서 탐사선의 궤도는 쌍곡선이며, 이 기준계에서 다음과 같이 극좌표로 표현된다.
(1)
이때
b 는 점근선과 목성사이의 거리이다.(흔히 충돌인수라고 불린다.) E 는 탐사선의 역학적에너지, G 는 만유인력 상수이고, M 은 목성의 질량, r 및 q 는 극좌표(즉, 중심으로부터의 거리와 방향각)이다.
그림
2에는 식(1)로 나타낸 두 쌍곡선이 그려져 있고, 점근선과 극좌표가 표시되어 있다. 이때 식(1)은 쌍곡선의 초점에 원점을 두고 있다. 탐사선의 궤도는 (진한 선으로 강조된) 인력에 의한 궤도이다.
그림 2
5. 탐사선의
궤도를 나타내는 식 (1)을 이용하여 목성 기준계에서의 꺾인 각 D q(그림2참조) 을 구하고, 초기 속도 v’ 과충돌 인수 b 의 함수로 표현하라. . [2 points]
6. 탐사선이 목성 중심으로부터 목성 반지름의 3배보다 가까이 통과할 수 없다고 가정하고 가능한 최소 충돌 인수와 최대 꺽인 각을 계산하라. [1 point]
7. 태양 기준계에서 탐사선의 최종 속력 v” 을 목성의 속력 V, 탐사선의 초기 속도 v0 , 꺽인
각 D q 만의 함수로 적어라. [1 point]8. 위 결과를 이용하여 꺽인 각이 최대일 때, 태양 기준계서의 최종 속력 v” 을 수치로 계산하라. [0.5 points]
힌트
문제를
푸는 방법에 따라서 다음과 같은 삼각함수 공식이 유용할 수도 있다.
답안지
특별히 명기된 경우가 아니라면 결과를 수학적 공식을 통하여 먼저 답하고 대응하는 계산 수치와 단위를 함께 답하시오. (예: A=bc=1.23 m2)
목성의
공전 속도 ……………………………
양쪽 중력 이 균형을 이루는 점의 목성으로부터의 거리 ……………………………………
목성 기준계에서 탐사선의 초기속도 v’ ………………………………
그리고 그림 1 에서 정의된 바와 같이 x 축과 이루는 각 j ……………………………
목성 기준계에서 탐사선의 총 에너지 E …………………………………
목성 기준계에서 탐사선의 각 변위 D q 를 충돌인수 b , 초기 속도 v’, 그리고 다른 알려진 양이나 계산된 양으로 표현하라.
목성 중심으로부터 거리가 목성 반지름의 세배보다 작을 수 없다면
최소 충돌 인수 b = …………………………………… 와
최대 각변위: D q = …………………………………………
태양
기준계에서의 탐사선의 최종속력 v” 을 V, v0 , 그리고 D q 의 함수로 나타내어라.
6번 문항에서 구한 꺽인각이 최대일 때 태양 기준계에서의 탐사선의 최종 속도………………………
30th International Physics Olympiad
Padua, Italy
Experimental competition
Tuesday, July 20th, 1999
실험 기구를 조립하려고 하기 전에 문제지를 완전히 읽으시오 !
주어진 시간은 5 시간입니다
.
준비된 펜만을 사용하세요
.
나눠준 종이의 앞면만을 쓸것.
자유롭게 사용할 수 있는 연습장 외에 구한 결과를 요약해서 써야 되는 답지가 있습니다. 숫자는 유효숫자가 적절하게 표시되어야 하고, 단위를 쓰는 것을 빼먹지 마세요. 가능한 경우 실험오차를 산출하도록 할 것.
모든 측정 결과와 그 외에 문제 풀이에 중요하고 채점 시 점수에 고려되어야 할 모든 것을 연습장에 쓰시오. 그러나 답안에 글은 가능한 한 적게 쓰고, 그 대신에 식 숫자, 기호, 그래프, 그림 등을 주로 써야 합니다.
모든 종이의 윗 부분에 이름(NAME), 나라(TEAM), 수험번호(CODE 난에 수험표에 적혀 있는 것을 쓴다.)를 적는 것이 매우 중요하므로 빠트리지 말 것. 그리고 추가로 연습장에는 종이의 순번 (Page n 난에 1 에서 연습장의 총 매수 N 까지의 숫자), 그리고 사용한 연습장의 총 매수(Page total 난에 숫자 N)을 적으시오. 그러나 Problem 난은 비워둔다. 문항번호를 적고 답하시오. 종이에 쓴 것을 보여주기 싫은 경우는 종이 전체에 큰 가위표를 긋고 페이지 번호를 매기지 마시오.
다 끝나면 모든 종이를 적절한 순서(답지를 앞에 놓고, 다음에 사용한 연습장을 순서대로 놓으시오. 사용하지 않은 종이와 문제지는 맨 마지막에 놓으면 됨)로 하여, 이 모든 것을 다시 봉투에 넣고 책상에 남겨 두면 됨. 어느 것도 실험실 밖으로 가져갈 수 없음.
이 문제지는 이 안내와 답지를 포함하여 17 장으로 되어 있음.
비틀림
진자
이 실험에서는 비교적 복잡한 역학계(비틀림 진자)를 공부하고 그것의 주된 인수들을 알아내려고 한다. 비틀림 진자의 회전축이 수평일 때 진자는 간단한 쌍갈래짐 현상을 보인다.
준비된 장치
그림
1 에 보인 것과 같이 비틀림 진자(길이 방향으로 균일하지 않은 바깥 부분 몸체와 그 안으로 들어가는 나사봉으로 구성)와 지지대
잡아당기는 고리가 달린 철사 줄 하나
진자의 나사봉 끝에 돌려 끼울 수 있는 긴 육각 넛트 하나(맨 마지막 실험에서만 사용됨)
자 하나
스톱워치 하나
육각렌치 연장들
밀리미터 눈금이 매겨진 용지들
조정이 가능한 클램프
접착 테이프
T- 자 모양의 막대 하나
실험 장치는 그림 1 에 나타나 있다. 장치는 수평 회전축이나 수직 회전축을 중심으로 진동할 수 있는 비틀림 진자이다. 회전축은 잡아당겨진 부분의 철사가 만드는 축이다. 이 비틀림 진자의 안쪽 부분은 나사봉으로 이 막대를 돌려 넣거나 빼낼 수 있도록 되어 있고, 작은 육각 암나사로 바깥 부분 쪽에 꼭 조여서 제자리에 고정시킬 수 있게 되어 있다. 이 나사봉은 진자의 바깥 부분의 몸체로부터 떼어 낼 수는 없다.
5 번 문제를 위해서 장치를 조립할 때는 철사가 놋쇠 조각과 조각 사이와 진자의 구멍을 통해야 하며, 팽팽하게 잡아당기면서 고정시켜야 한다. 이를 위해 한쪽을 먼저 고정시키고, 잡아당기는 고리로 철사를 팽팽하게 잡아당기며 다른 끝을 고정시킨다.
주의
: 이 철사는 진자가 안정될 정도로 잡아당기면 된다. 약 30 N 이상으로 무리하게 잡아당길 필요는 없다. 특히 철사 고리를 잡고 잡아당길 때, 진자의 지지대에서 꺾이면 부러질 수 있으므로 철사가 꺾이지 않도록 주의한다.
그림 1: 회전축이 수평일 때의 실험 장치의 모양(그림의 위로부터 나사봉, 바깥 부분 몸체, 철사 줄, 잡아당기는 고리)
진자의 진동을 기술하는데 필요한 변수들은 다음과 같다.
그림 1 은 지지대의 면이 수평을 이룬 경우를 보인 것으로서 수평면에 대한 수직선과 진자의 방향이 이루는 각도 θ
진자의 끝점을 이루는 나사봉의 끝과 진자의 회전축인 철사 줄과의 거리 x
진자의 진동주기
T
진자 장치의 공식에 나타나는 주요 인수들은 다음과 같다.
철사 줄의 비틀림 탄성계수 κ(따라서 torque = κ· angle)
진자를 구성하는 두 부분의 각각의 질량
M1 과 M2 (1 : 바깥부분 <주석: 이 질량은 작은 육각 조임나사의 질량을 포함함>, 2 : 나사봉)
진자를 구성하는 두 부분 각각의 질량중심이 회전축으로부터 떨어진 거리
R1 과 R2 (1 : 바깥 부분, 2 : 나사봉) 여기서 안으로 드나드는 부분(나사봉)은 밀도가 균일한 것으로 가정하여 R2 는 나사봉의 질량, 길이 λ 및 거리 x 로 구할 수 있어서 다른 변수들의 간단한 함수가 된다.
진자를 구성하는 두 부분에 대한 각각의 관성 모멘트
I1 과 I2 (1 : 바깥 부분, 2 : 나사봉). 이 경우에도 역시 나사봉의 밀도 분포가 충분히 균일한 것으로 가정하여, I2 는 나사봉의 길이 λ, 거리 x 및 나사봉의 질량에 대한 간단한 함수의 형태로 결정된다.
철사 줄로부터 진자에 가해지는 비틀림 토크가
0인 각도 θ0 .(이 각도는 평형 위치에서의 진자의 방향과 수평 지지대에 대한 수직선이 이루는 각도로 정의됨.) 진자의 나사봉과 반대편에 있는 육각 잠금나사를 조여서, 진자를 철사 줄에 고정함으로서 진자의 평형 방향이 정해진다. 따라서 θ0값은 조립할 때마다 변한다.
결론적으로 말하면 이 장치는 7 개의 인수, 즉 κ, M1, M2, R1, I1, λ, θ0로 기술된다. 단 θ0 는 조립할 때마다 달라질 수 있다. 결국 6 개의 인수만 진정한 상수이다. 6 개의 상수 κ, M1, M2, R1, I1, λ 을 실험적으로 결정하는 것이 이 실험의 목적이다. 나사봉은 바깥 부분의 몸체로부터 분리시킬 수 없다. 따라서 바깥 부분의 질량과 나사봉의 질량을 더한 총 질량 M1+ M2 만을 알 수 있다. (총 질량 값은 진자에 쓰여 있음)
이 실험에서는 몇 가지의 양들이 어떤 하나의 변수에 대하여 일차 함수로 주어진다. 따라서 당신은 이러한 일차함수의 두 계수를 구해야만 한다. 측정치를 일차함수에 맞춤하여 얻을 수 있으며, 다른 방법을 시도 할 수도 있긴 하다. 맞춤하여 결정된 각 인수에 대한 불확실도는 맞춤 절차와 실험오차의 전달공식 등으로 결정한다.
데이터 분석을 위해서는 아래 식과 같은 나사봉의 관성모멘트에 대한 공식을 사용한다. (여기서 우리는 나사봉이 매우 가는 막대로 간주한다. 그림 2 참조)
(1)
여기서
은 단위 길이 당의 밀도이다. 따라서
(2)
이다
.
그림
2: 나사봉의 두께가 길이에 비해 매우 작다고 가정할 때 얻어진 나사봉의 관성모멘트 식(2)를 실험 데이터의 분석에 사용하라. 여기서 관성 모멘트는 회전축 s=0 를 중심축으로 하여 계산된 식이다.
다음 단계를 따라 6 개의 인수
M1, M2, κ, R1, λ, I1을 구하라.
1.
진자의 총 질량 M1+M2 는 주어져 있으며(총 질량은 진자에 쓰여져 있음), 진자 전체의 무게중심과 회전축과의 거리 R(x) 를 측정하고, 그로부터 M1 과 M2 를 알아낼 수 있다. 이를 위해서 먼저 질량중심의 위치 R(x) 를 변수 x 와 인수 M1, M2, R1, λ 을 사용하여 표현하라. (0.5 점)
2. R(x)
를 (최소한 3 개 이상의) 여러 x 값에 대하여 측정하시오. <주석: 나사봉을 움직일 때마다 작은 육각 조임나사가 제 위치에 죄어져야 한다. M1은 이 육각 넛트의 질량도 포함한다. 이러한 조임은 나사봉을 움직일 때마다 반복되어야 한다.> 여기서의 측정은 당연히 진자 몸체가 철사 줄에 끼워지지 않은 상태에서 해야 할 것이다. 이 측정의 결과와 앞의 결과를 이용하여 질량 M1과 M2 를 구하시오. (3 점)
그림 3. 변수
θ와 x, 그리고 인수 θ o 와 l 이 여기에 표시되어 있음.
3.
인수 M2, I1 그리고 λ 을 이용하여 진자의 전체 관성 모멘트 I 를 x 의 함수로 쓰시오. (0.5 점)
4. 회전축이 수평인 경우에 θ 의 함수로(그림 3 참조) 진자의 운동 방정식을 총 관성 모멘트 I 와 x,
κ, θ0, M1, M2, 그리고 질량중심의 거리 R(x) 를 이용하여 쓰시오. (1 점)
5.
κ 를 결정하기 위하여 회전축을 수평으로 하여 진자 세트를 구성한다. 처음에는 나사봉을 가능한 한 바깥 부분 몸통 속으로 깊숙이 넣고 시작한다. 철사 줄의 중간 지점에서 진자의 평형 위치가 (중력과 탄성 토크의 작용 결과로) 수직 위치에서 충분히 벗어나도록 진자와 철사 줄을 작은 육각 조임나사를 돌려서 고정한다. (그림 4 참조). 평형각 θe 를 (최소 5 번 이상의) 여러 x 값에 대하여 측정하시오. (4 점)
그림 4. 이 측정에서 진자의 평형위치를 수직 축에서 충분히 벗어나도록 위치시킨다
.
6. 앞 문항의 측정 결과를 이용하여 κ 를 구하시오. (4.5 점)
7. 이제 회전축이 수직이 되도록 진자를 위치시키고
<주석 : 이 위치로 진자 세트를 안정시키기 위해 실험 장치의 지지대 및 지지대에 붙은 쇠붙이를 움직여야 한다. > , 진동주기를 (최소 5 번 이상) 여러 회에 걸쳐 측정하시오. 그리고 이 측정을 통하여 I1 과 λ 을 구하시오. (4 점)
위 과정을 거쳐 시스템의 특성 인수들을 구했으므로, 이제는 실험 기구를 다음과 같이 설치하자.
진자 축이 수평이 되도록 놓는다.
나사봉을 가능한 한 바깥 몸통의 안쪽으로 위치시킨다.
진자가 가능한 한 수직에 가까운 상태에서 평형이 되도록 위치시킨다.
마지막으로 긴 육각 넛트를 나사봉의 끝에 몇 바퀴를 돌려 (그 이상은 사실상 불가능함) 고정시킨다
.
이렇게 하면 이 진자는 두개의 평형각을 가질 수도 있으며, 각도 θ 의 함수로서 퍼텐셜에너지를 그린 한 예인 그림 5 에서와 같이 나사봉의 들어간 위치에 따라 평형각의 개수가 달라짐을 알 수 있다. 그림 5 에서와 같이 퍼텐셜에너지의 극소 값의 수가 하나에서 두개로 되는 것은 수학적으로 쌍갈래짐(bifurcation)이라 부르는 현상에 속한다. 이러한 경우는 소립자물리학이나 통계물리학의 대칭성 파괴 현상에서 쉽게 볼 수 있다.
그림 5. 함수
(이 문제의 퍼텐셜에너지에 비례하는 양이다.)의 θ0 ¹ 0 인 경우의 그래프. 여러 곡선들은 그림에 표시한 것과 같은 다른 α 값에 해당되며, α 가 1보다 작으면 쌍갈래짐 현상이 나타남을 보여주고 있다. 이때 α 값들은 나사봉의 위치 x 와 관련이 있다.
이제 평형위치 주위의 작은 진동의 주기를 측정하면 이 쌍갈래짐 현상에 대해 연구할 수 있다.
8. 주기
T 를 x 의 함수로 그려라. <주석: 두개의 평형점을 관찰할 수도 있을 것이다. 그러나 그 중의 하나가 다른 것보다 더 안정하다.(그림 5 참조) 안정한 평형점 주위의 진동에 대한 주기를 쓰고 그래프를 그려라.> 어떤 종류의 함수인가? 이 값들은 증가, 감소, 또는 더 복잡한 함수인가?
답안지
1. 질량중심의 위치
R(x) 를 구하는 공식을 쓰시오. ......................................
2.R(x)
측정값들을 다음 표에 쓰시오.
x
R(x)
이곳에
R(x) 와 x 의 관계를 그래프로 그리시오.
R(x)
vs. x
x
R(x) = ax+b
라고 하고, 측정 결과로부터 a 와 b 를 계산하라: 이곳에 계산 결과(단위와 실험 오차를 포함하여)를 적어라.
a
= ........................... b = ...........................