8.6 비율의 구간추정

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Ch 8.6 비율의 구간추정

비율에 관한 구간추정도 모평균에 관한 구간추정과 비슷하며 다음과 같은 근사식이 성립한다. p는 모비율을 나타낸다. 다만 이 식은 표본크기가 클 때에만 잘 맞는다.

이 공식에서 문제점은 표본오차에 우리가 추정하고자 하는 모르는 값 p가 들어있다는 것이다. 이 문제는 사실 모평균을 추정할 때도 나타났었다. 모평균의 경우 표본 오차에 나타나는 모분산을 추정량인 합동분산으로 대체하였다. 물론 이러한 과정은 새로운 오류를 발생시키지만 별다른 도리가 없으며 표본크기가 커지면 문제가 해결된다. 모비율의 구간추정에서는 표본오차에서 나타나는 모비율 대신 표본비율을 사용한다. 그러나 모평균의 경우와 같이 를 사용하지 않고 =1.96을 그대로 사용한다. 이유는 모평균의 경우 t-분포를 사용하는 이론적인 됫받침이 있으나 모비율인 경우는 이 이론이 그대로 성립하지 않는다.


[예제] 어떤 집단에서 X정당의 지지도를 조사하기 위해 20명을 뽑은 결과 16명이 지지하는 것으로 나타났다. 이 결과로부터 이 집단이 X정당을 지지하는 비율에 대해 구간추정을 해보자. 표본비율은 16/20=0.8이다. 앞의 공식에서 표본오차의 p에 0.8을 대입하면 다음과 같은 결과가 나타난다.



따라서 이 집단이 X정당을 지지하는 95% 신뢰구간은 (0.62, 0.98)이다. 사실 위의 식은 정규근사식을 이용한 것으로서 근사값이다. 모비율에 관한 정확한 신뢰구간을 수비게 구하는 방법은 [그림 5.11]과 같은 그래프를 이용하는 것이다. 지지율에 관한 예를 이 그래프에 적용시켜보자. 횡축의 표본비율 값에서 0.8에 해당되는 점을 찾고 여기서 수직으로 읽어가다가 표본크기 n이 20이 되는 타원상의 두 점을 택한다. 이 두 점을 수평으로 연결시켜 모비율 p와 만나는 점을 찾으면 이것이 95%신뢰구간의 상한과 하한이다. 이를 찾아본 결과 모비율의 추정값은 다음과 같다.

(0.55, 0.95)

여기서 구한 모비율의 구간추정은 표본비율을 중심으로 하여 대칭이 아니다. 즉, 구간추정의 표본오차는 위로 0.95-0.8=0.15이고 아래로는 0.80-0.55=0.25이다. 특히 표본비율이 1.00띤 경우 표본오차는 아래에만 존재한다. 두 집단의 평균 비교에 관한 문제와 마찬가지로 두 집단의 비율의 비교에 관한 문제를 생각할 수 있다. 이를 위한 공식은 다음과 같다. 여기서 첨자는 각 집단을 나타낸다.