유수 구하기 관련 질문

[어떤 한 open set]

https://m.cafe.daum.net/math-hm/qw17/565?

3회 A-9 관련 질문입니다

이전에 올린 글에서 추가적으로 궁금한 사항이 생겨 댓글로 질문을 달았습니다..!
혹시 오래되어 보지 못하시는 것 같아서 질문글로 다시 올립니다.
감사합니다

[김성희]

f(z)와 g(z) 모두 |z-z_0|<R에서 해석적이고 g(z)≠0일 때 f(z)/g(z) 역시 |z-z_0|<R에서 해석적이므로 (테일러)급수 전개가 가능해서 나눗셈처럼 전개한 것인데요. 문제에서의 함수 z^4-6z^2+1은 전해석함수이지만 (최대) |z|<|z_1| (z_1은 풀이에 나오는 이 함수의 한 근입니다)에서 g(z)≠0입니다. 따라서 |z|<1에서의 급수 전개가 어렵습니다. 그래서 위와 같이 나눗셈처럼 다루지 못합니다.

[어떤 한 open set]

두 상황의 차이점이 잘 이해가 되지 않습니다.
지금 문제상황인 z^2(sinz)에서도 z=0에서 근을 가지니까 나눗셈 방식이 안되는거 아닌가요?

[어떤 한 open set]

혹시 보시게 된다면 답변 부탁드립니다.. 이 파트가 제일 약점인데 잘 이해가 안되네요
뭐가 문젤까요..

[김성희]

sinz 급수 전개에서 z를 따로 빼서 z^2과 묶고 나머지를 테일러 급수 전개하면 됩니다.

[어떤 한 open set]

z^4-6z^2+1은 |z|<1에서 근을 가지니까 이걸로 나눈 식의 유수를 구할때 나눗셈으로 다루지 못했던건데 z^2sin(z)도 |z|<1에서 근을 가지니까.. 대체 이 둘이 무슨 차이점이 있는건지 여쭤본거였습니다
제가 해석한 바로는 z를 빼서 z^3(1-z^2/6+...)으로 만들면
(1-z^2/6+...)는 근을 안가지니까 나눗셈이 가능하다는 것 같은데요 맞나요?

[김성희]

네, 맞습니다. 근을 갖지 않도록 식 변형이 가능하니 그 이후에 테일러 급수 전개 가능한 형태로 바꿔서 적용한다는 뜻입니다.