논술 이과 논술 - 삼각 함수와 측량

[김동석]

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1. 삼각법과 삼각함수

삼각법은 인류의 기술 문명의 발달과 함께 해왔다. 특히, 천문학, 건축과 토목기술, 항해술의 발전은 삼각법의 뒷받침 없이는 불가능했을 것이다. 삼각법도 처음에는 단순한 측량기술과 계산기술의 한 분야였지만, 학문적 체계를 갖추면서 빠른 속도로 발전하였고, 17세기에 이르러서는 삼각함수로 발전하였다.

삼각비는 이집트의 나일강이 범람한 후 토지를 관리할 때나, 먼 바다를 항해하는 항해사가 별을 관측하여 항로를 알아내는 데 많이 사용하였다. 그때에는 함수의 개념이 없었으므로 주로 직각삼각형에 대한 삼각비를 이용하였다.

19세기 말에는 호도법의 도입으로 삼각함수는 모든 실수에 대하여 정의되는 함수로 일반화되면서 과학기술 분야뿐만 아니라 수학에서도 매우 중요한 위치를 차지하게 되었다.

현대에는 삼각함수의 개념이 컴퓨터 공학, 전자 공학, 물리학, 우주공학, 의학, 환경, 음악등 여러 가지 분야에 많이 응용되고 있다.

2. 삼각법과 측량.

측량술이 발달하면서 지형을 조사하고 거리와 높이를 측량하여 지도를 만들었다. 또한 천체를 관측하여 달력을 만들고, 행성을 관찰하여 행성간의 거리를 구하였다. 고대 천문학자들은 행성들이 원 궤도를 따라 움직인다고 생각했기 때문에 원의 현에 대해 많은 연구를 했고, 이것이 삼각법의 시초라고 할 수 있다.

문제1. 지구의 크기는 BC235년 이집트의 수학자 에라스토스테네스에 의해 최초로 측정되었다. 그가 측정한 방법은 아래와 같다.

… 태양 빛은 하지인 6월 22일 정오에, 현재 아스완댐이 건설된 시에네의 깊은 우물을 따라 들어와 곧바로 위로 반사된다. 이와 같은 시각에, 시에네에서 800km 떨어진 알렉산드리아에서 수직으로 세운 막대기와 그 그림자의 길이의 비가 8:1이었다. …

에라스토스테네스는 위와 같은 방법으로 지구 반지름의 측정값으로 6400km를 얻었다. 그의 측정방법을 설명하고 평가하여라.

문제2. 포항을 출발하여 울릉도로 가는 배 위에서 독도가 바라보인다. 배는 울릉도를 향하여 일정한 속도로 향해하고 있다. 한민이는 울릉도와 독도 사이의 거리를 추정해 보기 위하여 필요한 정보들을 알아내기로 하였다. 한민이가 알아낼 수 있는 정보는 어느 순간 두 섬과 배가 이루는 각과 배의 속도이다. 한민이가 두 섬 사이의 거리를 추정해 낼 수 있는 효율적인 방법에 대하여 논술하라.

문제3. 해변에서 멀지 않은 곳에 무인도가 있고 그 섬 가운데에는 높은 산이 있다. 이 무인도에 가는 방법이 없어서 해변에서만의 측정으로 해변으로부터 이 섬이 떨어진 거리와 산의 높이를 근사적으로 알고자 할 때, 가능하면 측정횟수를 줄이고 작업량이 적도록 효율적인 방법을 찾으려고 한다.(단, 측정도구로 줄자와 각도기만 사용할 수 있음을 가정한다). (2006학년도 서강대 2학기 수시)

(1) 해변에 있는 두 나무의 위치를 이용해서 이 두 나무에서 섬까지의 거리를 각각 알아낼 수 있는 여러 방법 중 두 가지를 택하여 각각의 방법이 갖는 장단점을 비교하여 설명하여라.

(2) 해변의 어느 두 지점을 정하여 산의 높이를 알아낼 수 있는 여러 가지 방법 중 하나를 택하여 설명하고, 이러한 방법의 효율성에 대하여 논하여라.

예시답안

문제1

B

P

A

S

위 그림에서 O를 지구의 중심, S를 시에네의 우물, A를 알렉산드리아, AP를 막대의 길이, AB를 그림자의 길이라 하면, 에라토스테네스의 측정에서 AP:AB=8:1이다. 그리고 시에네의 우물과 알렉산드리아에 세운 막대기와의 거리 호 AS는 800km이다. 에라토스테네스가 위와 같은 방법으로 지구의 반지름의 측정값으로 6400km를 얻은 것은 지구 반지름과 호 AS의 비가 막대기의 길이와 그림자의 비 8:1과 같다고 본 걱으로 판단된다. 즉, OS:800=8:1에서 지구 반지름 OS=6400으로 구한 것이다. 에라토스테네스의 측정방법은 당시로서는 무난한 방법으로 생각되지만 그림의 두 도형 APB와 AOS가 닮음이 아닌데 닮음비를 적용했다는 것은 기하학적으로 문제가 있다. 그러나 지구의 둘레에 비해 호 AS의 길이가 상당히 작은 값이므로 오차가 크지 않을 것으로 짐작된다.

문제2.

측량문제는 삼각함수의 응용부분에 속한다. 사인법칙, 코사인법칙 등 교과서에서 배우는 내용을 실생활에 응용할 수 있도록 해야 한다. 거리를 측량하다 보면 측량이 가능한 부분과 그렇지 않은 부분이 있다. 측량 가능한 부분만의 값으로 원하는 값이 나올 수 있는 구조를 효율적으로 설계해야 한다.

U

B

D

A

위 그림과 같이 포항에서 울릉도로 가는 도중 적당한 두 지점 A와 B에서 두 섬과 배가 이루는 각 와 를 측정하고 측정시각을 확인한다. 그리고 배의 속도를 알아보고 배가 울릉도(U)에 도착할 때의 시각을 확인한다. 배는 일정한 속도로 항해 하므로 세 지점 A, B, U에서의 시각을 알면 AB와 BU사이의 거리를 알 수 있다.

그림에서 ADB=이므로 삼각형 ADB에서 사인법칙을 쓰면

, 즉 이다.

다시 삼각형 BDU에서 제2코사인 법칙을 쓰면

BU와 BD 그리고 각 를 모두 알고 있으므로 울릉도와 독도 사이의 거리 DU를 구할 수 있다.

문제3.

(1)

방법1. 해변에 있는 두 나무와 섬의 한 지점을 삼각형의 세 꼭지점으로 생각하여, 해변에 있는 두 나무 사이의 거리와 각 나무에서 섬에 있는 지점과 이루는 두 각을 측정하면, 사인법칙이나 제1코사인법칙으로부터 삼각형의 나머지 두 변의 길이를 알 수 있으므로 각 나무에서 섬까지의 거리를 알 수 있다.

방법2. 해변에 있는 두 나무와 섬의 한 지점을 삼각형의 세 꼭지점으로 생각하여,해변에 있는 두 나무 사이의 거리와 각 나무에서 섬에 있는 지점과 이루는 각을 측정하고, 이를 적당한 비로 축소한 삼각형을 종이에 그린다. 종이에 그린 삼각형의 각 변의 길이를 측정하여 닮음비를 적용시키면 실제 각 나무에서 섬까지의 거리를 근사적으로 구할 수 있다.

장단점 비교.

(방법1)이 (방법2)보다 측정횟수와 작업횟수가 모두 작아서 효율적이긴 하지만 측정한 각이 특수각이 아닐 때에는 삼각표를 이용해야 한다는 문제가 있다. 만일 문

제에서처럼 측정도구로 줄자와 각도기만 사용할 수 있다면 (방법2)를 택할 수 밖에 없다.

(2)

위의 왼쪽 그림처럼 해변의 어느 한 지점에서 산봉우리를 올려다 본 각도를 잰 후, 그 지점과 무인도를 연결한 직선 위의 다른 한 지점에서 산봉우리를 올려다 본 각도를 잰다. 그러면 사인법칙을 이용하여 산의 높이를 구할 수 있다.

다른 방법으로는 위의 오른쪽 그림처럼 해변에서 어느 두 지점을 정하고 이 두 지점과 산봉우리가 이루는 삼각형을 만들면 이 삼각형의 세변의 길이를 구할 수 있다. 이제 해변의 두 지점 중 어느 한 지점에서 산봉우리를 올려다 본 각도를 구하면, 그 지점에서 산봉우리까지의 거리에다 측정한 각의 사인값을 곱하여 산의 높

이를 구할 수 있다. 어느 방법을 택하더라도 삼각함수 표가 필요할 것이고, 그렇지 않으면 실제와 적당한 비로 축소된 도형을 그린 다음 도형의 닮음을 이용하여 구해야 한다.

형성평가. 커다란 산 주위에 네 마을 A, B, C, D가 있다. 그리고 인접한 두 마을을 연결하는 직선도로가 있다. 모든 마을은 동일한 고도에 위치해 있으며, 각 직선도로의 길이와 두 직선도로가 이루는 각을 정확하게 측량할 수 있다. 그러나 산을 관통하는 두 지점 사이의 거리와 각도를 측량할 수는 없다. 마을 A와 D를 연결하는 직선도로를 건설하려고 한다. 도로를 건설하는데 필요한 예산을 추정하기 위하여 새로 건설될 도로의 정확한 길이를 알아야 한다. 어떻게 해야 하는가?.

두 가지 방법을 찾아내고 두 방법 중에서 어느 쪽이 오차가 작은 방법인지 설명하라.

B

C

A

D

형성평가 예시답안

첫 번째 방법.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알므로, 제이코사인법칙을 이용하여 AC의 길이를 계산한다. 사인법칙을 이용하여 각 ACB의 크기를 계산한다.

각 BCD의 크기에서 각 ACD의 크기를 빼 각 ACD의 크기를 계산한다. 삼각형 ACD에서 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알므로, 제이코사인 법칙을 이용하여 AD의 길이를 계산할 수 있다.

두 번째 방법.

측량하여 얻은 값들을 이용하여, 모든 변의 길이가 일정한 비율로 축소된 사각형 ABCD를 그린다. 축소된 사각형 ABCD에서 선분 AD길이를 측정한다. 선분 AD의 길이을 축척으로 나누어 도로 AD의 길이를 구한다.

두 번째 방법에서 선분 AD의 길이를 측정할 때 약간의 오차가 생길 것이고, 이 약간의 오차가 축척으로 나누어지는 과정에서 무시하지 못할 정도로 커지게 될 것이다. 두 번째 방법의 오차가 크다는 것을 알 수가 있다.

(방법1)이 (방법2)보다 측정횟수와 작업횟수가 모두 작아서 효율적이긴 하지만 측정한 각이 특수각이 아닐 때에는 삼각표를 이용해야 한다는 문제가 있다. 만일 문

제에서처럼 측정도구로 줄자와 각도기만 사용할 수 있다면 (방법2)를 택할 수밖에 없다.

[바람의 파이터]

자료 고맙습니다