(5+√26)^600의 일의자리수에서 Pell's equation까지

[한번만말하겠다!]

(5+√26)^600의 일의자리수?

a+b가 정수이고 0<b<1이면

[a+1]=a+b . . . (1) 이 성립한다.

따라서, a+1와 a+b의 일의 자리수는 같다.

(a+1과 a+b의 정수부분이 모두 같으므로 n번째 자리수가 서로 같죠.)

(1)의 증명 : a+b=m이라하면 a+1=m-b+1 [a+1]=[m-b+1]=m=a+b ( ∵ m은 정수, 0 < -b+1 < 1 ) 증명끝

직접 풀어보겠습니다.

a = (5+√26)^600

b = (5-√26)^600

라고 하면

a+b= (5+√26)^600 + (5-√26)^600 는 정수입니다.

이유 : a와 b의 이항전개에서 √26을 홀수번 제곱한 항은 무리수가 되지만, a는 √26이고 b는-√26이므로 모든 무리수 항이 상쇄된다.

그러므로, a의 이항전개에서 √26을 짝수번 제곱한 항을 모두 구한 후 2배 해준것이 a+b가 됩니다.

a+b=2∑5^(600-2k)*(√26)^2k (k=0~300)

      =2∑5^(600-2k)*26^k

k가 300일 때를 제외한 항은 5와 2가 곱해지므로 (26=2*13) 항상 일의 자리수가 0입니다.

k=300인 항은 5가 없고 따라서, 그 항의 일의자리수가 a+b의 일의 자리수입니다.

k=300일 때 2*26^300 

26^300의 일의자리수는 6이므로 2*26^300의 일의자리수는 2입니다.

따라서, a+b의 일의자리수는 2입니다

결국, a+1의 일의자리수는 2이고 따라서 a의 일의자리수는 1입니다.

잘보면 600제곱이든 1000제곱이든 관계없이 짝수제곱해주면 항상 일이자리수가 1이고

홀수제곱이라면 항상 일의자리수가 9입니다.

계산기로하면, , , 이런거 알아내기가 좀 힘들겠죠 ㅋ 모든 자연수에대해 해볼수는 없으니깐요 ㅎ

그리고, 만약 5+√26이 아니고 25+√26 와 같이 바뀌면 10의 자리수까리 구할 수 있을 것 같군요.

그리고 같은 방법을 이용해서 (5+√26)^10 의 정수부분을 구할 수 있겠군요 (5+√26)^600의 정수부분은 수가 너무 커서 힘들고. . 26^300을 계산해야하니깐 ㅠ. . . 하지만 (5+√26)^10도 26^5를 구해야하는 압박이 >.<

(2+√3)^10의 정수부분을 구하라...는 문제는 본적이 있음. . .

재밌는 사실은 (5+√26)^600 * (5-√26)^600 = 1 이 된다는 것..  서로 역수의 관계였음...

(2+√3)^10 * (2-√3)^10 이것도 마찬가지로 1입니다. 2,3,4,5가 아니고 1이라는 사실+ .+이 중요

(5+√26)^600 를 a+b√26 꼴로 나타내라고 하면,, 좀 힘들겠지만

(2+√3)^10 같은 경우는 (2+√3)^10 + (2-√3)^10 을 비교적 쉽게 구할 수 있으니까... 구해준 후에 곱이 1이 되므로 이차방정식을 풀면 a+b√3 꼴로 나타낼 수 있겠군요.

아뭏든,,

(2+√3)^10 = a+b√3 라고 하면

(2-√3)^10 = a-b√3 이고

곱은 1이므로 a^2 -  3 b^2 = 1 이 군요

따라서, a, b는 x^2 - 3 y^2 = 1 의 해가 됩니다.

이렇게 표현해보죠

(2+√3)^n = a_n + b_n * √3

(2-√3)^n = a_n - b_n * √3

이 때도 위아래 곱하면 1이 나와요 +.+ (∵1^n = 1)

따라서,, (a_n)^2 - 3(b^n)^2 = 1 입니다.

그러므로, (a_n, b_n)는 x^2 - 3y^2 = 1 의 해가 됩니다.

n은 무수히 많으므로 (a_n, b_n)도 무수히 많고

결국, x^2 - 3y^2 = 1의 해가 무수히 많다는 걸 증명해버렸네요 ㅋ

x,y가 자연수라는 조건이 있을 때, 이런 형태의 부정방정식을 펠씨의 방정식(Pell's equation)이라고 하죠.. 쌍곡선위에 있는 격자점을 찾는 문제라고 할 수도 있죠..

참고로 (a_n+1,b_n+1)와 (a_n,b_n)의 관계식을 구해보겠습니다.

a_n+1 + b_n+1 √3

= (2+√3)^(n+1)

= (2+√3)^n * (2+√3)

= (a_n + b_n √3)(2+√3)

= 2a_n + 3b_n + (a_n +2b_n)√3

따라서,

a_n+1 = 2a_n +3b_n

b_n+1 = a_n + 2b_n

이 관계식을 행렬로 표현할 수도 있죠

(a_n+1)     (2  3 )  (a_n)

|        | =  |      |  |     |

(b_n+1)     (1  2 )  (b_n)

이것을 이용하면, a_1 = 2 ,  b_1 = 1 에서 시작해 다음 값을 편하게 계산할 수 있습니다.

마지막으로 문제하나 내겠습니다.

자연수 범위에서

(a_n, b_n) 가 펠방정식 x^2 - 3y^2 = 1의 모든 해일까요?

(a_n, b_n) 말고 다른 값도 x^2 - 3y^2 = 1 의 해가 될 수 있을까요?

쌍곡선 x^2 - 3y^2 = 1 위의 격자점은 (a_n, b_n) 말고 또 있을까요?

[ㅇHㄱiㅈi뽀]

흠.. 합동식 쓰면 안될까요..?

[CuBe]

pell방정식은 그 자체가 유일해라고 규명하지는 않았습니다. 그래서 다른 해도 충분히 해가 될 수 있겠죠... 그 해는 아직은 잘 모르겠고... 누가 해 주겠지요....^^

[한번만말하겠다!]

-정수관련문제이니 합동식이 사용될 수도 있겠죠. 직접 보여주세요

[한번만말하겠다!]

-펠방정식의 해가 무수히 많다는걸 보인것인데요... 그리고, 자연수쌍 중에 (a_n,b_n) n=1,2,3,4,... 외에도 해가 있는가? 하는 문제를 낸 것이고요.

[CuBe]

아직 저의 실력으로는 무리군요.. 나중에 pell 방정식에 대해서 공부하고 나서 저의 견해를 올리도록 하겠습니다-_-;;

[F킬러]

옷 저 a_n b_n 말고 이상한 해 하나 찾았음 +_+(±1,0) 더 있는가본데요? (이게바로 뒷북.ㅡㅡv)

[한번만말하겠다!]

자연수라는 조건이 있는데요..... 정수 범위에서는 (±a_n, ±b_n)가 해가되죠..(±1,0)도 해가되고요

[한번만말하겠다!]

윽, 지금 본 옥의 티... 'a+1와 a+b의 일의 자리수는 같다.'는 a+1≥0 일 때만 성립합니다.