함수의 개념이 현대적으로 정착되기까지는 많은 시행착오를 겪었습니다. 개념 자체가 쉽지 않았고 수학이 발달하고 새로운 수학적 사실이 정의되고 발견될 때 마다 함수의 정의도 그에 따라 수정되었죠..
애초에 함수는 어떤 두 양 사이의 관계로 정의 내려졌었습니다. 즉 독립변수 x가 변할 때 종속변수 y값의 변화로써 정의내리고 그것을 설명하는 것이 보통이었지요...
그런데 집합론이 발달하고 위의 정의의 불완전성 때문에 현대 수학에서는 보통 두 집합의 대응 관계로 함수를 정의내립니다.
즉 집합 X와 집합 Y 에 대응관계가 존재하고 X의 모든 원소에 대해 Y의 원소가 오직 하나씩만 대응 할 때 그것을 특별히 함수라고 부르는 것이지요... 물론 대응이면서 함수가 아닌 것도 있습니다.
이 때 X를 정의역, Y를 공역 함수가 f 일 때 f의 상 f(X)를 치역이라 부르지요...
여러분이 고등학교까지 배우는 함수는 총 6가지 정도가 있습니다.
1.다항함수
2.유리함수
3.무리함수
4.지수함수
5.로그함수
6.삼각함수
4,5,6 을 우리는 초월함수라고 부르기도 합니다.
이 6가지 경우의 그래프를 모두 정확하게 그릴 수 있다면 고등학교 수학의 기본은 된 것이라고 생각해도 됩니다.
중학교에서 다루는 내용은 다항함수 중에서도 2차함수까지, 유리함수의 가장 기본적인 형태인 y =a/x 흔히 반비례라 부르죠...
그리고 3학년 말에 삼각비를 배웁니다..(물론 함수로서 접근하는 것이 아니라 계산술로서 삼각비를 다룹니다.)
함수를 공부하는 가장 좋은 방법을 소개한다면
1. 함수의 정의를 정확하게 이해한다
- 집합사이의 대응으로 문제를 낼 때와 그래프로 문제를 낼때 함수인것과 함수가 아닌 것을 정확하게 구분할 수 있다.
2. 함수의 종류를 어느 정도 알고 있다.
- 일대일 대응, 상수함수, 항등함수 등의 정의와 그래프 성질을 정확히 이해한다.
3. 일차함수에 대해 이해한다.
- y=ax+b 인 일차함수에서 a의 의미(후에 기울기라 부르는)와 b의 의미 (y 절편) 을 이해하고 a값의 변화에 따른 그래프의 모양을 알 수 있으며 함수값을 주어줬을 때 함수 식을 구할 수 있어야 한다.
4. 분수함수 y=a/x 의 그래프를 그릴 수 있고 성질을 이해한다.
- x값에 대한 y값 또는 한 점이 주어질 때 a값을 구하는 문제가 많이 출제된다.
이 정도면 중1 함수부분은 어느 정도 대비가 됩니다. 열심히 공부해서 좋은 성과 올리기를..
도움이 되었나요?
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어떤 값이 얼마일 때 또 다른 어떤 값은 얼마다라고 할때, 그 어떤 값 둘의 관련성이 함수다. x,y 로 어떤 값 둘을 표기하지. 함수 공부는 x값이 이만큼 증가하면 y는 얼마나 증가하는지(기울기)를 알아가는 것이고, 주어진 x 값이 있으면, 어떤 x 일때 y 가 가장큰지,또는 가장작은지를 알아가는 것이다(최대,최소문제)
가장 다루기 쉬은 함수 y=x . 즉 y값과 x 값이 비례하는 그런 함수의 기울기를 다루어 보고 ,여기서 조금 더 일반적으로 변형된 y=ax+b 라는 함수를 다루어 본다.이 함수의 y=0 일 때 x 값을 조사해보고,x=0 일 때 y 값도 조사해보는 것이다. b가 y 의 절대값인 것을 알 수 있지.
다음은 y=ax²+bx+c 와 같은 함수를 다루게 되지. 이 함수의 특성은 볼록하게 한번 휜다는 것이다. 최대최소 다루기에 아주 적합한 함수지. 꼭지점이란 것을 정의하고,그 꼭지점을 찾는 방법을 공부한다. 꼭지점을 찾는 이유는 꼭지점을 찾으면 함수의 그래프 위치를 파악할 수 있거든.그리고 꼭지점이 최대값 아니면 최소값을 계산할 수 있게 해주지.
다음은 y=ax³+bx²+cx+d 와 같은 삼차함수를 공부하고, 고차함수를 공부하게 된다. 이런함수는 대체로 다루기 쉬운함수들이다.
y=sin(x) 같은 삼각함수의 극대,극소,기울기, 주기성도 공부하게 되며,
y=ln(x) 같은 로그 함수의 특성도 공부하게 된다. 함수마다 저마다의 독특한 특성을 공부해 나가게 되며, 함수에 능통할 즘엔 미적분학을 배운다. 미적분학은 아주 비약적으로 말해서 어떤함수의 기울기만 알아도 그 함수를 찾아낼 수 있도록 해주는 학문 분야이다. 어떤 동적 현상의 변화량(기울기),또는 기울기의 변화량 등의 조합에 대한 수식을 세워 놓고 함수를 찾아내는 것을 미분방정식을 푼다고 하며, 대표적인 미분방정식은 뉴턴의 제 2법칙 F=ma 이다. a는 가속도로 속도의 변화량이며,속도는 거리의 시간에 대한 변화율이므로 a는 거리의 시간변화율의 시간에 대한 변화율이다. 힘을 알면 x 의 시간의존성을 고스란히 알아낼 수 있고 현상 예측의 길잡이를 마련하는 것이다. 행성의 운동을 예측하는 것도 다 뉴턴의 제 2법칙을 풀어서 하게 되는 것이다. 함수는 엄청 중요하다. 수학 물리는 다 함수 공부다. 컥! 내가 중딩한테 뭔 소릴하는지 원.