뉴턴의 전향차분 보간법

[한창호]

뉴턴의 전향차분 보간법은 계산 시간을 줄이기 위해 먼저 전향차분표를 구한다. 구한 차분표를 이용해서 보간 다항식을 구할 수 있다. 이 뉴턴의 보간법은 등간격과 비등간격으로 구분한다.

미분

세점 x1,x2,x3 이 있을 때 x=x1에서 f(x)의 미분은 다음과 같다.

x2-x1의 크기가 유한할 경우 다음과 같은 전향차분식으로 나타낼 수 있다.

마찬가지로 함수의 2차 미분과 전향차분은 다음과 같다.

이것을 테이블로 만들면 다음과 같은 전향 차분표 (Forward Differential Table) 가 된다.

전향차분표를 이용하여 다항식을 만들어 보자.

세 점 에 대한 2차 다항식은 다음과 같이 정의할 수 있다.

각 x가 다음과 같을 때 a값을 구해보자.

따라서 최종 보간식은 다음과 같다.

(n+1)개의 다항식으로 일반화 하면 다음과 같다.

위 식을 전향차분표를 이용하여 풀면 보간을 할 수 있다.

등간격일 뉴튼 전향 보간 다항식

점 이 등간격으로 배치 되어 있을 경우 간격을 h라 한다.

차분식을 다시 쓰면

 

다음과 같이 뉴튼의 등간격 전향차분 다항식을 구할 수 있다.

오차계산

여기서 오차는 한 점(n+1)을 더 추가할 때 최대 오차를 구할 수 있다.

등간격의 전향차분 보간법 소스

참고:

5장 보간과 곡선근사.pdf

예제2.4 소스

ex24a.c

ex24b.c

ex24c.c