스크랩 가우스의 법칙

[변강쇠]

아무것도 없는 텅 빈 공간에 양의 전하량을 가진 점전하(Point Particle)가 놓여 있다고 하자. 이제 단위 전하량(1C)을 갖는 다른 전하(이를 시험 전하라고 하자)를 먼저 놓여 있는 전하의 근처에 가져가 보자. 쿨롱의 법칙에 의하여 두 전하는 서로 밀쳐서 멀어지는 방향으로 운동할 것이다. 만일 처음 전하의 위치를 고정한다면, 시험 전하만 밀려 나가면서 일정한 운동 경로를 그릴 것이다. 이 경로를 전기력선이라고 한다.

전기력선을 그려보자

고정된 전하 주변의 여러 위치에 시험 전하를 놓고 전기력선을 그려보면, 전기력선들은 양의 전하에서 모든 방향으로 뻗어 나오는 직선들이 된다. 그림에서 보는 바와 같이' 정해진 면적을 지나가는 전기력선 개수'(즉, 전기력선의 밀도)는 전하 근처에서는 많고, 전하 멀어질수록 적어진다는 것을 알 수 있다. 그러나 전기력선의 개수 자체는 변하지 않는다.

전하가 그리는 일정한 운동경로, 전기력선.

그렇다면, 각 지점에서 '시험 전하가 받는 전기력'(= 전기장)의 크기는 어떻게 표현해야 할까? 그것은 시험 전하가 큰 힘을 받는 곳, 즉 전기장이 센 곳은 전기력선을 촘촘하게 그리고, 전기장이 약한 곳은 성기게 그리는 것이다. 즉, 전기장을 단위 면적당 전기력선의 개수, 전기력선의 밀도로 표현하자.

A 지점이 B 지점에 비해서 전기력선의 밀도가 높다. 즉 더 큰 힘을 받는 곳이다.

가우스 곡면이란?

이제 양의 전하를 중심으로 하는 구를 그려보면, 구면 안에서 밖으로 나오는 전기력선의 수는 일정하다. 하지만 구면의 면적은 구의 반지름에 비례하기 때문에, 단위 면적당 전기력선의 개수(즉 전기력선의 밀도=전기장의 세기)는 그 구의 반지름의 제곱에 반비례한다. 이것은 쿨롱의 법칙과 같다. 그런데 그림과 같이 구를 찌그러뜨리고 변형해도 그 변형된 곡면 안에서 밖으로 나오는 전기력선의 총 개수는 바뀌지 않음을 알 수 있다.

닫힌 곡면 안에 들어 있는 양의 전하량이 많아지면 그에 비례하여 전기장이 세질 것이므로 전기력선은 더욱 촘촘해진다. 그래서 어떤 닫힌 곡면 안에서 밖으로 나오는 전기력선의 수는 그 곡면 안의 양의 전하량에만 비례하고 닫힌 곡면의 모양에는 상관이 없다. 한편, 닫힌 곡면 안에 든 음의 전하에 대한 전기력선은 양의 전하와는 방향이 반대이기 때문에 밖으로부터 닫힌 곡면을 향해 들어와서 음전하에서 끝이 난다. 어떤 닫힌 곡면의 안에서 밖으로 나오는 전기력선의 개수와 닫힌 곡면의 밖에서 안으로 들어오는 전기력선 개수의 차이를 그 닫힌 곡면에 대한 플럭스(flux)라고 하자. 이제 닫힌 곡면 안에 들어있는 전하가 없는 경우, 그 닫힌 곡면으로 들어오는 전기력선의 수는 나가는 전기력선의 수와 같아져서 플럭스 값은 0인 것을 알 수 있다. 닫힌 곡면 안에 여러 개의 전하가 들어 있다면, 각각의 전하가 내는 플럭스를 단순히 더하면 총 플럭스를 얻을 수 있다.

양의 전하를 둘러싼 가우스 곡면을 어떻게 그리던 전기력선의 총 개수는 같다.

이렇게 가상의 닫힌 곡면 안에 든 전하의 총량과 그 닫힌 곡면에 대한 플럭스 사이에는 정비례관계가 성립하는데, 이를 가우스 법칙이라고 한다. 또 이 닫힌 곡면을 가우스 곡면이라고 부른다. 전하의 총량과 플럭스 사이의 비례상수는 진공의 유전율(ε₀)이 되어, 식으로 표현하면 아래와 같다.  

A와 D의 가우스 곡면의 총플럭스는 0이며, B와 C는 각각 +와 –의 값을 가진다.

가우스 법칙의 응용

전기장의 대칭성을 잘 따져서 가우스 곡면을 선택하면 복잡한 계산 없이도 전기장의 세기를 쉽게 구할 수 있다. 예를 하나 들어보자. 무한하게 넓은 평면에 단위 면적당 σ라는 양의 전하밀도로 전하가 균일하게 분포되어 있다. 전하들이 정지하고 있다면, 평면에 수평인 방향으로 전기력선은 없고, 전기력선은 평면에 수직이면서 곡면 밖으로 나가는 방향으로 그려진다. 그림처럼 가우스 곡면을 높이 h, 단면적 S인 원통으로 선택하고, 이것에 대한 플럭스를 구해보자. 단위면적당 전기력선의 개수가 전기장의 세기를 나타내므로, 이 가우스 곡면에 대한 플럭스는 전기장에 각각의 면적을 곱해서 더한다. 그러면 아래와 같이 전기장을 편리하게 구할 수 있다.

원통의 옆면은 전기력선이 표면에 수직인 방향으로만 지나가기 때문에 플럭스에 영향을 주지 않는다.

중력에서의 가우스 법칙

중력의 법칙 또한 역제곱의 법칙이다. 위의 논의를 그대로 따라보면, 중력장에 대해서도 중력선(gravitational field line)을 정할 수 있고, 중력에 대한 가우스 법칙은 아래와 같음을 알 수 있다.

여기서 G는 중력상수이고 M은 닫힌 곡면 안에 든 질량이다. 중력은 인력 밖에 없기 때문에 플럭스는 항상 음이다.

전하 혹은 질량의 분포가 구형 대칭성을 가지는 경우에 가우스 법칙은 특히 쓸모가 많다. 다른 예를 들어보자. 속이 비어 있는 완벽한 구체의 껍데기에 균일하게 질량이 분포되어 있다. 내부의 한 점에서 중력의 크기는 얼마일까? 우선 구의 중심에서 중력은 0인 것을 쉽게 알 수 있다. 구체 껍대기의 균일한 질량 분포 때문에 모든 방향으로 같은 크기의 인력이 작용하기 때문이다. 그렇다면, 중심에서 벗어난 위치에서 중력장은 어떻게 될까?

가우스 법칙을 이용하면 속이 빈 구체 모양 내부의 중력장이 0이 됨을 쉽게 알 수 있다.

구체의 중심을 O라 하고, 중력장을 알고 싶은 구체 내부의 어떤  지점을 A라 하자. 그림은 구체를 구체의 중심 O와 점 A를 포함하는 평면으로 자른 단면이다. 점 A와 O를 잇는 선을 그리면 그 선을 기준으로 양쪽이 대칭이다. 따라서 양 쪽의 질량분포 때문에 작용하는 중력장은 서로 상쇄되고 점 A에서 중력장의 방향은 A와 O를 잇는 선에 평행해야 한다.구형 대칭성에 의해서 구체의 중심에서 같은 거리만큼 떨어진 점들에서는 중력장의 크기는 모두 같고,방향은 항상 그 점과 O를 잇는 선에 평행함을 알 수 있다. 이제 선분 OA를 반지름으로 하는 가우스 곡면을 선택하면 가우스 곡면 내부에 질량이 없으므로 순 플럭스는 0이 됨을 알 수 있다. 그런데 가우스 곡면 위의  중력장의 방향은 모두 가우스 곡면에 대해 같은 쪽을 향하므로, 순 플럭스가 0이 되려면 중력장 자체가 0이 되어야 한다.

미적분 형태로 표현한 가우스 법칙

가우스 법칙의 엄밀한 표현은 조금 어렵다. 이 글은 역선(field line)의 개수 개념으로 플럭스를 설명했다. 그러나 가우스 법칙의 조금 더 엄밀한 수학적 이해를 위해서는 미적분학 지식이 필요하다. 가우스 곡면에 대한 플럭스는 전기장의 그 곡면에 대한 면적분으로 주어진다. 닫힌 곡면 S안의 총 전하량을 q, 닫힌 곡면 위의 각 지점에서의 전기장 값을 라 할 때, 가우스 법칙은 다음과 같이 표현된다.

이것은 전자기 현상을 설명하는 네 개의 맥스웰 방정식 중의 하나다