최대공약수 헷갈려서 질문드립니다.

[김회원]

f(x)와 g(x)의 최대공약수를 구하는 과정에서 3x+3이 최대차수 공약수인것까지 구하고, 최대공약수는 모닉이기때문에 계수를 1로 바꿔준것까지는 이해했습니다.

그러면 결국 x+1이 f(x)와 g(x)의 공약수라는것인데,

풀이 과정에서 3x+3이 공약수가 되었으나, 계수를 1로 바꿔주기위해 2를 곱해준 x+1이 다시 f(x)와 g(x)의 약수가 되는 이유를 잘 모르겠습니다.

(저 문제에 한해서 말고, 일반적으로 모닉으로 바꿔준 다항식이 공약수가 되는 이유가 무엇인가요?)

질문이 좀 길어서 죄송하네요.. 항상 감사합니다.

[수정과]

직접 증명해보신 후 아래 내용을 참고해주세요.

0이 아닌 d(x)∈F[x]에 대하여 적당한 단원 u∈F가 존재하여 ud(x)가 모닉다항식이라 하자.
d(x) | f(x), d(x) | g(x)
⇒ f(x)=d(x)h₁(x), g(x)=d(x)h₂(x)인 h₁(x), h₂(x)∈F[x] 존재
⇒ f(x)=ud(x)u^(-1)h₁(x), g(x)=ud(x)u^(-1)h₂(x)
⇒ ud(x) | f(x), ud(x) | g(x)