[생활 속의 수학] 안팎 헷갈리는 '뫼비우스의 띠'

[김현대]

연작 소설 '난장이가 쏘아올린 작은 공' 중 첫번째 것이 '뫼비우스의 띠'다.

'뫼비우스의 띠가 뭔가'하는 사람들이 많겠지만, 사실 대개는 어린 시절 한번쯤 뫼비우스의 띠를 만드는 놀이를 해 봤을 것이다. 물론 당시에 그것이 뫼비우스의 띠라는 것을 몰랐던 경우가 대부분이겠지만 말이다.

뫼비우스의 띠는 긴 직사각형 모양의 종이 띠를 1백80도 꼬아 양끝을 연결해 고리 모양이 되도록 이은 것(그림 참조)이다.



이렇게 만든 뫼비우스의 띠는 보통의 고리와 달리 안팎의 구분이 없다. 띠 안의 한점에서 시작해 고리를 따라 원을 그린다는 생각으로 선을 그어보라. 처음 출발한 자리까지 선이 돌아온 뒤에 보면, 안과 바깥 모두에 금이 그어진 것을 알게 된다. 반면 보통 고리는 안쪽에서 선을 긋기 시작했으면 안에만 머물고, 밖에서 하면 밖에만 머문다.

이번엔 안팎 양쪽의 금을 따라 한번 가위로 오려보라. 두 조각이 나리라 기대하겠지만 하나의 얇고 커다란 보통 고리를 얻게 된다.

이렇게 신기한 뫼비우스의 띠를 처음 생각해 낸 것은 독일의 수학자 뫼비우스다. 파리의 과학협회가 1858년 수학 논문 공모를 했는데, 여기에 뫼비우스의 띠에 대한 논문을 냈다.

뫼비우스의 띠는 위상수학이라는 분야의 연구를 촉발시킨, 순수하게 수학적인 개념이지만 실생활에도 쓰인다. 공장의 컨베이어 벨트 중에 뫼비우스의 띠로 만들어진 게 있다. 이것은 뫼비우스의 띠에 선을 그리면 안팎이 다 그려지듯, 한바퀴 돌 때마다 기계에 닿는 면이 바뀌어 고르게 닳는다.

안팎 구분이 없는 뫼비우스의 띠는 현실과 이상처럼 두 가지 상이한 것이 혼재된 것에 대한 은유로 많이 쓰인다. 그래서 소설이나 연극의 제목으로 쓰이고, 최근에는 그룹 젝스키스의 노래 제목으로 등장하기도 했다. 또 에셔라는 네덜란드 미술가는 뫼비우스의 띠를 바탕으로 많은 작품을 남기기도 했다.

박경미 홍익대 교수.수학교육과