24 기출관련

[szyun]

Q1. Zn이 체인경우에는 사진의 (1)과 (2)가 대수이론교재 정리 2.79에 의해 성립하는게 쉽게 보이는데, 체가 아닌 경우에도 성립하나요?

  (Zn이 체가 아닌경우 필수예제 87(3)문제와 같은 반례나 다른 반례로 인해 잉여환의 원소가 a+bx 꼴이 전부인지 더 줄거나 늘순 없는건지 잘 모르겠습니다)

Q2. f(x)가 모닉다항식이여서 성립하는건가요? 

f(x)가 모닉이므로 Zn[x]에서 f(x)가 단원이 되는 (필수예제 87(3)) 같은 경우가 발생하지 않기 때문에 Zn이 체든 아니든 Zn[x]/<f(x)> 의 위수는 n^2인건가요? 

[수정과]

①, ② x²+ax+1-a가 모닉다항식이므로 f(x)∈ℤₙ[x]에 대해 f(x)=(x²+ax+1-a)q(x)+r(x), r(x)=0 또는 0≤degr(x)<2인 q(x), r(x)∈ℤₙ[x]가 존재합니다. 그러므로 ℤₙ[x]/I={f(x)+I | f(x)∈ℤₙ[x]}={ax+b+I | a, b∈ℤₙ}이고 ax+b+I=cx+d+I ⇒ a=c, b=d이므로 |ℤₙ[x]/I|=n²이 됩니다.

[szyun]

답변 감사합니다!