[질문] a와 b 의 최대 공약수가 d 일대 정수군Z 의 두부분군 aZ,bZ 에 대하여 aZ+bZ= dZ 임을 보이시오.
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aZ∩bZ=LZ 임을 보이는건 대략 알것는데
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aZ + bZ ⊆ dZ, aZ+ bZ ⊇ dZ 임을 보여서 증명하는건데..잘..안되네요..
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[답변] (a,b) = d 라고 가정합니다.
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① aZ + bZ ⊆ dZ 임을 보이겠습니다.
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an+bm ∈ aZ + bZ 라고 가정합니다.
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이때, (a,b) = d 이므로 d | an 이고 d | bm 입니다.
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그러면 d | (an+bm) 입니다.
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그러면 an+bm ∈ dZ 입니다.
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그러면 aZ + bZ ⊆ dZ 임이 성립합니다.
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② aZ+ bZ ⊇ dZ 임을 보이겠습니다.
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(a,b) = d 이므로 적당한 정수 n,m 이 존재하여 d = an + bm 이 됩니다.
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그러면 d = an + bm ∈ aZ + bZ 입니다.
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그러면 aZ+ bZ ⊇ dZ 임이 성립합니다.
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첫댓글 감사합니다.
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