한 번 해 봄. 틀라면 정정해 주시길.

[xaos]

우선 증명하기 전에, 아는 것들을 쭉 늘어 놓으면, (Einstein summation표기를 씀)

1. xi = rij yj ; yi = rij xj
(x1, x2, x3 이 원래 좌표계, y1, y2, y3 가 변환 좌표계(단위벡터표시 생략))
2. vec A = axi xi = ayj yj (axi, ayi는 숫자인 컴포넌트)
3. vec B = bxi xi = byj yj (vxi, vyi는 1의 관계식으로 연결되어 있음.)
4. vec C = eijk axi bxj xk = cxk xk (x좌표계에서 vec C = vec A x vec B 를 만족한다는 것을 permutation symbol로 표기함, 편의를 위해서 cxk = eijk axi bxj 로 정의하자.)
5. vec C = cxi xi = cyj yj (둘은 1의 관계식으로 연결되어 있음.)



이것까지가 알려진 사실. 위 사실들을 이용해서 증명해야 할 것은.
y좌표계에서 vec C = vec A x vec B 를 만족하느냐? 즉,

cyk yk = eijk ayi byj yk

란 수식이 성립하느냐?

이걸 어떻게 증명할 지를 말로 우선 써 보면, (cyk) yk =5= ([cxi] rik) yk =4= [eilm {axl} bxm] rik yk =2= eilm {ayo rol} (bxm) rik yk =3= eilm ayo rol (byp rpm) rik yk = ayo byp {eilm rol rpm rik} yk =(*)

...흠 맞다고 믿고, 조금만 더 생각하자.

{eilm rol rpm rik}를 살펴보면, R의 행렬식과 관계가 있음을 알 수 있음. D(R) = eilm r1i r2l r3m = 1 (세 직교하는 벡터 r1, r2, r3가 만드는 패럴로그램의 부피)

o, p, k in {1,2,3} 가 모두 다를 때에만, 영이 아니다. (o, p, k) 가 (1, 2, 3)과 같은 방향일 때
{eilm rol rmp rik} = eilm r1l r2m r3i = eilm r1i r2l r3m = 1

반대방향일 때
{eilm rol rmp rik} = eilm r3l r2m r1i = eilm r3i r2l r1m = - 1

즉 { } = eopk

이로서 (*) = eopk ayo byp yk = eijk ayi byj yk 임이 증명됨.

(난 왜 깔끔하게 증명하지 못할까. 구렁이 넘어가듯 넘어간 부분도 참 많음.)