[수학문제 푸는 동네] 갈로아 이론과 5차 방정식의 근의 공식

[폭풍속으로]

대수학이 방정식의 풀이를 기원으로 하고 있기는 하지만, 현대 추상 대수학은 이미 방정식을 푸는 것에서 멀리 떨어져 있습니다.

갈루아 이론에 따라 해를 구하는 것이 불가능한 것은 아니지만, 그 과정이라는 것은 3,4차 방정식의 해를 구하는 것에 비해 훨씬 복잡하며, 전혀 효율적인 방법도 아닙니다.

아시다시피, 갈루아 이론이란, 계수를 포함하는 base field(보통 유리수죠)와 방정식의 해가 첨가된 extension field 사이의 관계를 Galois group 이라는 좀 더 쉬운 구조로 바꿔서 들여다 보는 이론입니다.

방정식이 대수적으로 풀어지는지 그렇지 않은지는, 이 Galois group 의 계층 구조가 어떻게 생겼는지에 달려 있습니다. 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 어떤 5차 방정식의 Galois group 이 복잡하게 생겼기 때문입니다. (이건 아시죠?)

따라서, 어떤 5차 방정식이 대수적으로 풀린다면, 그 해는 Galois group의 구조를 통해 구할 수 있습니다. "다항 방정식이 대수적으로 풀린다는 것은 Galois group 이 solvable 이라는 것과 동치이다"라는 정리의 증명 과정을 가져다 쓰면 되는 거죠.

그러나 실제로 이 과정을 따라 방정식을 푼다는 것은 매우 어려운 일입니다. 최종 해를 찾는 과정도 복잡하지만, 무엇보다 Galois group 을 구하는 과정이 쉽지 않습니다.

이런 것을 잘 정리해서 특수한 경우의 근의 공식을 만들 수도 있긴 하겠지만, 별로 효율적이도 않고 게다가 현대 대수학의 관심 사항도 아닙니다.

[예비수학자]

요점만 깔끔하게 잘 정리했네요. 이해하는데 도움이 됐습니다.