두 벡터가 직교하면,즉, orthogonality 를 갖으면,
<br>
두 벡터가 선형 독립으로 알고 있습니다.
<br>
이런 성질을 이용해 좌표축을 만들수도 있다고 하고,
<br>
함수의 직교성을 이용하는 것들이 많다고 하는데요..
<br>
이러한 것은 무엇이 있으며,
<br>
실제로 사용되는 것은 어떤것입니까?
<br>
그리고, 그런 것들의 물리학적의미는 뭐죠?
<br>
<!-- -->
첫댓글함수의 직교성을 이용하는 건, 푸리에 급수를 배우면서 아마 나오죠. 임의의 주기함수를 사인함수와 코사인 함수({exp(ikTx)|k∈N})의 선형결합으로 표현할 수 있죠. 이는 서로 다른 사인함수와 코사인함수끼리 내적이 0이라는 성질을 이용한거죠. 대충 설명하면 이렇네요.
xenocult 님이 말씀하시는 좌표축은..기하학적인 축이될수도 있고..그냥 대상(object) 하나하나가 만드는 basis 가될수도 있고.. 하여튼 내적을 어떻게 주느냐에 따라서 공간을 잘~ 혹은 쉽게 분석할수 있으니까.. 이런것이 물리적으로 의미가 있다고 하는거겠죠..
백터에서 정의되는 내적은 알고 있는데요^^ 그런데 xaos님의 글을 보니 사인함수와 코사인함수의 내적이라 했는데 사인함수와 코사인함수는 백터가 아니라 함수인데, 이런경우에 내적이라고 하는것을 뭘 말하는 건가요? 그리고 백터의 직교성, 즉 orthogonality는 어떻게 증명하나요?
그리고 이렇게 잡은 일반화좌표계의 각 좌표계가 독립적이라면 다루기가 쉽고,이러한 경우를 홀로노믹(holonomic) 구속조건이라 하더라구요. 또한 좌표계끼리 독립이 아니라 서로 연관된 관계가 형성된다면 보통 그러한 구속조건을 난홀로노믹(non-holonomic)이라 하더라구요.
삼차원 벡터를 함수로 파악할 수 있습니다. 즉, v:{1,2,3} -> R, 즉, v = (v_1,v_2,v_3)이란 벡터를 v(1) = v_1, v(2) = v_2, v(3) = v_3 인 함수로 파악할 수 있다는 거죠. 2차원 벡터였다면, v:{1,2} -> R 인 함수였을 것이고, 2차원 공간은 이런 함수들 전체의 집합이 되는거고요.
그럼 정의역을 바꾸어 보면, v:[0,T) -> R 인 함수 전체의 집합을 벡터로 볼 수도 있습니다. 차원은 정의원의 갯수가 무한이니까 무한차원이 되는거겠구요. 내적은 띄엄띄엄한 경우에 v.w = ∑ v_i w_i 였으니까, 연속적인 경우엔 f.g = ∫f(x)g(x)dx 로 정의하고요. ∫cos x sin x dx = 0 이거든요. (범위 잘선택해야)
그래서 코사인과 사인 함수가 직교한다고 말할 수 있는 거고요. 보통 벡터 a를 orthonormal한 basis로 표현하면, a = ∑(a.e_i) e_i 가 되잖아요. 함수들도 그렇게 분해해서 선형결합으로 나타낼 수 있다는 장점이 있죠. f = ∑(f.b_i)b_i (b_i를 함수가 들어있는 벡터공간의 ON한 기저함수들이라하죠.)
내적 공리만 만족하면 그 어떤 object 끼리도 내적을 말할수 있습니다. 따라서 적당한 B.C 를주고 ..그리고 적당한 weighted fctn. 을 곱해서 내적을 정의 할수 있는것이지요. 스츄륨-리우빌(-울 교수님을 이렇게 발음하심^^) 문제란...간단히 계수가 변수로 주어지는 미방 을 말한다고 전 이해하고 있습니다.
첫댓글 함수의 직교성을 이용하는 건, 푸리에 급수를 배우면서 아마 나오죠. 임의의 주기함수를 사인함수와 코사인 함수({exp(ikTx)|k∈N})의 선형결합으로 표현할 수 있죠. 이는 서로 다른 사인함수와 코사인함수끼리 내적이 0이라는 성질을 이용한거죠. 대충 설명하면 이렇네요.
xenocult 님이 말씀하시는 좌표축은..기하학적인 축이될수도 있고..그냥 대상(object) 하나하나가 만드는 basis 가될수도 있고.. 하여튼 내적을 어떻게 주느냐에 따라서 공간을 잘~ 혹은 쉽게 분석할수 있으니까.. 이런것이 물리적으로 의미가 있다고 하는거겠죠..
스츄륨-리우빌..문제를 다루어 봤다면 금방느낄수 있으실테데요..orthogonality 를 정의하기 위해 경우에따라서 weighted fctn. 을곱해가면서까지 내적을 정의하지않았습니까..? 다~ 물리적으로 분석하기 쉽게하기위해서 한 것일테지요.. xaos 님이 설명하신 내용이 약간 덧붙여봤습니당..
p.s 그냥 더쉽게 이해할수 있는 간단한 예로.. 탄성막등의 변형도 이에 속하겠네요.. basis 를 다르게 바꾸니 분석하기 더 쉬어짐을 우리는 (책에서^^)봤잖아요.. 여기서 각각의 basis 는 xenocult 님이 말씀하시는 orthogonality 를 보장받죠~
백터에서 정의되는 내적은 알고 있는데요^^ 그런데 xaos님의 글을 보니 사인함수와 코사인함수의 내적이라 했는데 사인함수와 코사인함수는 백터가 아니라 함수인데, 이런경우에 내적이라고 하는것을 뭘 말하는 건가요? 그리고 백터의 직교성, 즉 orthogonality는 어떻게 증명하나요?
또한 함수의 직교성은 뭘 뜻하며, 함수의 직교성은 어떻게 증명하나요? 그리고 스텀-리우빌 문제는 뭘 뜻하며, 어디에 응용되나요?
일반적으로 보통 좌표계는 직교좌표계를 쓰는 경우가 많잖아요^^ 직교 좌표계는 말 그대로 직교좌표계니까 좌표축끼리 직교성을 가지고 있어서 계산이 편리하다는^^ 그런데 일반화좌표계라고 해서 직교하지 않더라도 다양하게 편의에 따라서 좌표계를 잡아서 사용할수 있다는
그리고 이렇게 잡은 일반화좌표계의 각 좌표계가 독립적이라면 다루기가 쉽고,이러한 경우를 홀로노믹(holonomic) 구속조건이라 하더라구요. 또한 좌표계끼리 독립이 아니라 서로 연관된 관계가 형성된다면 보통 그러한 구속조건을 난홀로노믹(non-holonomic)이라 하더라구요.
난홀로노믹일경우는 계산이 약간 까다로워지더라구요.
삼차원 벡터를 함수로 파악할 수 있습니다. 즉, v:{1,2,3} -> R, 즉, v = (v_1,v_2,v_3)이란 벡터를 v(1) = v_1, v(2) = v_2, v(3) = v_3 인 함수로 파악할 수 있다는 거죠. 2차원 벡터였다면, v:{1,2} -> R 인 함수였을 것이고, 2차원 공간은 이런 함수들 전체의 집합이 되는거고요.
그럼 정의역을 바꾸어 보면, v:[0,T) -> R 인 함수 전체의 집합을 벡터로 볼 수도 있습니다. 차원은 정의원의 갯수가 무한이니까 무한차원이 되는거겠구요. 내적은 띄엄띄엄한 경우에 v.w = ∑ v_i w_i 였으니까, 연속적인 경우엔 f.g = ∫f(x)g(x)dx 로 정의하고요. ∫cos x sin x dx = 0 이거든요. (범위 잘선택해야)
그래서 코사인과 사인 함수가 직교한다고 말할 수 있는 거고요. 보통 벡터 a를 orthonormal한 basis로 표현하면, a = ∑(a.e_i) e_i 가 되잖아요. 함수들도 그렇게 분해해서 선형결합으로 나타낼 수 있다는 장점이 있죠. f = ∑(f.b_i)b_i (b_i를 함수가 들어있는 벡터공간의 ON한 기저함수들이라하죠.)
내적 공리만 만족하면 그 어떤 object 끼리도 내적을 말할수 있습니다. 따라서 적당한 B.C 를주고 ..그리고 적당한 weighted fctn. 을 곱해서 내적을 정의 할수 있는것이지요. 스츄륨-리우빌(-울 교수님을 이렇게 발음하심^^) 문제란...간단히 계수가 변수로 주어지는 미방 을 말한다고 전 이해하고 있습니다.
이런 문제를 연구한 사람이 스츄륨과 리우빌 이라는 사람이라서 그렇게 부른다고 교수님이 말씀 하셨지요..
스추룸 -리우빌? 이론은 양자역학을 배우는 데 꼭 필요한 중요한 이론입니다.
파동함수들은 허미션 연산자의 아이겐펑션들이므로 직교성과 노말라이제이션이 만족되므로, 그렇죠^^
자세한건 아프켄 '수리물리' 책 보시면 잘 나옵니다.