【요한 베르누이 Johann Bernoulli (1667~1748)】 「유체역학의 기본 베르누이 원리(방정식) 이해하기

[씨알]

【요한 베르누이 Johann Bernoulli (1667~1748)】 「유체역학의 기본 베르누이 원리(방정식) 이해하기

요한 베르누이가 괴이한 편지를 쓴다.  당대에 명망있는 수학자들에 내는 수학문제다. 수학자 요한 베르누이

물론 그는 문제를 낸 거장답게 답을 이미 알고 있다.

편지 끝에 이런말도 함께 덧부친다. "이 문제를 통해 우리는 어린아이와 어른을 가려낼 것이다." 정답을 맞추면 연원한 명성을 얻을 것이다. 마감 기한은 6개월이었다.

"높이가 다른 두점 ⓐ와 ⓑ가 있다. ⓐ와 ⓑ를 잇는 물체를 가장 빨리 내려오게 하는 선이 무엇인가?" 하는 질문이다. 직선이 답이라면 그렇게 쉬운 문제는 내지도 않을 것이다. 

독일의 위대한 철학자 라이프니츠도 문제를 받았다. 법률가 외교관 철학자였던 라이프니츠가 첫번째 정답자였다. 하지만 받아야 할 사람에게서 답이 오지 않자 오히려 베르누이는 마감기한 을 연장한다. 사실 베르누이가 이문제를 낸건 누군가를 겨냥한 것이다. 이 문제의 답을 꼭 받아야 할 사람은 수학계의 거장 바다 건너 영국의 아이작 뉴튼이다.

베르누이의 문제가 그에게 도착한 건 해를 넘긴 후였다. 베르누이의 문제를 보고 그는 베르누이가 자신을 시험하고 있다는 것을 바로 알았다. 화폐주조국장을 맏고 있던 그는 매우 바빴다. 그는 그 문제를 받자마자 몇시간 만에 그 문제를 담박에 풀어낸다. 정답이었다. 

끝까지 답을 다본 베르누이는 그것을 누가 보냈는지 그냥 안다. 그리고 이렇게 말한다. "사자는 발톱만 보고도 안다." 사자는 영국의 위대한 과학자 아이작 뉴턴이다. 뉴턴과 쌍벽을 이룬 첫번째 정답자 고트프리트 라이프니츠(1646~1716) 두 사람은 수학사에서 가장 치열한 경쟁을 한다.

요한 베르누이는 17세기부터 18세기에 걸쳐 여러 명의 수학자와 과학자를 배출한 베르누이 가문의 일원으로, 그의 형 야코프 베르누이와 함께 미적분학의 발전에 크게 기여했다.

그는 또한 고트프리트 빌험 라이프니츠와 서신을 교환하며 수학자로서 인정을 받았고, 그의 제자 중에는 레온하르트 오일러도 있었다.

요한 베르누이는 처음에는 고전학과 의학을 공부했으나, 형 야코프의 영향을 받아 수학에 관심을 갖게 되었다.

그는 라이프니츠의 미분법을 익히고, 그의 도전문제에 답변을 보내면서 그와 친분을 쌓았다.

그는 또한 프랑스로 건너가 기욤 드 로피탈에게 미적분학을 가르쳤고, 그 과정에서 자신의 발견과 저작을 로피탈하고만 공유하겠다는 계약을 맺었다.

요한 베르누이는 미적분학 뿐만 아니라, 해석학, 미분방정식, 기하학, 역학 등 다양한 수학 분야에 공헌했다.

그는 형 야코프와 함께 로피탈의 정리를 최초로 증명했고, 현수선의 공식을 발견했다.

그는 또한 최단강하곡선 문제를 풀기 위해 빛의 성질을 이용한 풀이를 제시했고, 이를 통해 사이클로이드 곡선이 최단강하곡선임을 증명했다.

요한 베르누이는 수학자로서의 업적과 더불어, 그의 가문과 제자들과의 관계도 흥미로운 이야기를 담고 있다.

그는 형 야코프와 수학적 견해의 차이로 인해 오랫동안 다투었고, 아들 다니엘 베르누이와도 경쟁적인 관계를 유지했다.

그는 또한 제자인 레온하르트 오일러와 함께 페르시아의 수학자 바시르 알-카라지의 저서를 번역하고 주석을 달았다.

​요한 베르누이는 스위스의 바젤에서 태어나서 죽을 때까지 바젤 대학교에서 수학을 가르쳤다.

【요한 베르누이 Johann Bernoulli (1667~1748)】 「유체역학의 기본 베르누이 원리(방정식) 이해하기

"유체역학의 모든 길은 베르누이 원리로 통한다."  그 만큼 유체역학에서 베르누이 원리 또는 방정식이라고 불리는 내용이 중요하다.

비행기가 나는 원리는 양력 때문이다. 당시 아인쉬타인은 이해를 못했다. 많은 물리학자들이 유체역학을 떠났다. 그래서 유체역학은 엔지니어들의 손에서 탄생한 학문이기도 하다. 이 양력도 결국 유체역학의 한 분야다.

너무 많은 조건을 가정해야하기 때문에 물리학자들이 말하는 공식이 잘 맞지 않았다. 그래서 유체역학에 사용하는 많은 공식들이 경험식이 많다. 경험식이 아닌 것들은 유속계수, 조도계수 등을 활용해서 실제에 맞추게 된다.

[위치 에너지] 위치, 즉 높이와 중력으로 인한 에너지다. 위 그림에서 Z1, Z2, Z3 입니다. 일반적으로는 h1, h2, h3로 표기를 많이 한다.

[압력 에너지] 압력, 유체의 수두로 인한 에너지다.

위 그림에서  p1​ρg​,  p2​ρg​,   p3​ρg​ 를 말한다. ​

[운동 에너지] 유체의 속도를 말한다.

위 그림에서  v1​2/2g​,  v2​2/2g​,  v3​2/2g​ 를 말한다.​

베르누이 원리 또는 방정식은 "에너지 보존법칙에 의해 임의의 어느 점에서나 에너지는 같아야 한다" 이를 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

v1​2/2g​ + p1​/ρg​ + h1​ = v2​2/2g​ + p2/​ρg​ + h2​ = v3​2/2g​ + p3​/ρg​ + h3​ = 일정​

(ρ : 밀도,  g : 중력가속도,  ρg : 비중)​

대개 임의점 2점으로 표시 하기 때문에 다음과 같이 표현한다.

v1​2/2g​ + p1​/ρg​ + h1​ = v2​2/2g​ + p2/​ρg​ + h2​ ​

보통의 경우, 유체는 물을 기본으로 합니다. 물은 또한 모든 물질의 단위중량을 재는 척도다.

v1​2/2g​ + p1/​r​ + h1​ = v2​2/2g​ + p2/​r​ + h2​ ​

r\ 은\ 물의\ 단위\ 중량r 은 물의 단위 중량​

물리학의 에너지 보존 법칙에서 왔다고 보는 것이 맞다.

  Fs      +      1/2​mV2     +     mgh = 일정  − ①​

(일, 힘)  (운동에너지)   (위치에너지)​

역학에너지를 유체에 적용하기 위해서 위 식을 부피로 나누어 주면 ​

​첫항의 Fs는 힘의 단위 N을 부피로 나누면 압력 P가 되고,​

둘째 항의 1/2​mV2을 부피로 나누면 m이 질량이므로 밀도가 된다. 즉 1/2​ρV2 이 된다.​

세째 항을 부피로 나누면 m이 질량이므로 질량/부피​ 는 밀도가 되어 ρgh 가된다.​

  P + 1/2​ρV2 + ρgh = 일정   − ②​

② 번식을 ρg로 다시 한번 나누어 주면​

P/ρg​ + V2/ 2g​ + h = 일정  − ③​

우리가 아는 베르누이 방정식이 탄생한다.​