질문입니다

[김희주]

안녕하세요 아주아주 기본 내용인걸 알고 있지만, 대수 공부가 처음이고 계속 고민해봐도 모르겠고, 혼자 공부해서 물어볼 사람이 없어서 질문드립니다.

1.  112페이지 환의 예에서 3번 연속함수 설명하실 때 영인자 예시로 든 함수(위 사진)에서 f랑 g가 영함수가 아닌데 곱하게 되면 하나가 무조건 0이라 0이 나올 수 밖에 없어서 영인자가 있다고 하셨는데 영인자는 전제가 0이 아닌 거에서 쓰는 거 아닌가요..? 둘 다 영함수가 아니라는 건 알지만 둘 중의 하나가 원소가 0이라 곱했을 때 0이 되는 건데, 원소가 0인데도 적용이 되는 건지 궁금합니다.

2. 환의 단위원이 1이 아닌 것들도 있나요? 영환의 단위원이 0인 것처럼 1이 아닌 단위원을 가진 환이 존재하는지 궁금합니다.

( 예제 2.2.2설명하실 때 1r 1s 이런식으로 표현하셔서 궁금해지게 됐습니다.  단위원은 어떤 환이던지 (영환 제외)1이지만 단순히 환r에서 단위원과 환 s에서 단위원을 구분할 목적으로 쓰신 건가요 . 단위원 값이 항상 1이 나오니까 단위원1이라고 하는 건지 아니면 정규부분군은 N이라 쓰는 것처럼 1이 그냥 기호의 의미인지 궁금합니다.)

3. 예제 2.2.2에서 체에서는 부분군이 있고 환에서는 부분군이 없다고 하셨는데 왜 없나요..?

4. 환에서 ker f 는 군에서와 의미가 같아서 곱셈이 아니라 덧셈에 대해서 항등원을 쏘는 모임이라고 하셨는데, 군에서 연산이 곱셈이면 곱셈에 대한 항등원을 쏘는 모임이지 않았나요?

 그냥 무조건 환에서는 ker이 가진 의미가 무조건 덧셈에 대해서라고 생각해야 하나요?

[황창주]

1. 다시 한번 설명드리면, f와 g는 영함수가 아니므로, C(I)에서 영원이 아닙니다. 그러나 f와 g를 곱한 함수 fg는 구간 I의 모든 점에서 0이므로, fg는 영함수입니다. 즉, fg는 C(I)에서 영원입니다. 즉, f와 g는 C(I)의 영인자입니다.
2. 1은 환의 곱셈에 대한 단위원을 나타내는 기호일 뿐입니다. 예제 2.2.2에서 S의 단위원 1은 (1, 0)입니다.
3. 환은 곱셈에 대하여 일반적으로 군이 되지 않기 때문입니다. (환의 정의참조)
4. 군의 연산이 곱셈이면 일반적으로 아벨군이 아니므로, 그 곱셈은 환의 덧셈이 될 수 없습니다. 환의 정의는 덧셈역할을 하는 연산과 곱셈역할을 하는 연산이 있어야 하고, 덧셈에 대해서 아벨군이어야 합니다. 이때 ker f는 덧셈역할을 하는 연산의 항등원을 쏘는 정의역의 원소들의 집합을 의미합니다.