불확정성의 원리 ( 결정론 vs 비선형적 비결정론)

[유토피아]

주사위를 던지는 것은 분명히 확률게임이다.

그렇다면 초기조건에 대해 결정할 수 있다면 결과를 예측가능한가? 각도와 던지는 힘 그리고 바닥에 조건까지 모든것을 안다면 무한정의 플랩은 예측가능한 결과를 가져오는가? 물이라는건 분명히 O2+H의 산식적용의 예이다. 수십만번을 해도 똑같은 결과가 나온다.
그렇다면 우리가 원하는 목표가 있다면 그에 맞게 행동만 한다면 원하는 결과를 얻지 않을까?

도대체 그렇다면 “초기조건”이 무엇이란 말인가?

뉴턴역학에 따르면 세상은 결정되어 있다고하는데 다시 말해서 너가 이 글을 보고 있는 것, 너가 어제 화장실에 앉아있던 시간, 눈깜빡이는 것들 조차도 모두 결정되어 있었다고 한다.

초기조건이라는건 무척 실생활에서 사용이 많이 되고 있는데 지진활동, 계절의 변화, 금융, 경제 등 인문사회의 분야는 물론 공학분야까지 사용되고 있다.

그런데 기상청은 비오는 확률을 평균 30%대 밖에 예측하지 못하는 것은 물론 다음 날 습도, 기온까지도 예측하지 못하고 있다.

 다시 말해서 “초기조건”은 예측만 한다면 이 세상은 엄청 살기 좋아질 것인데 다시 말해서 “내가 초기조건을 움직이면 결과도 함께 움직이므로 이 초기조건만 알아 낸다면 사회는 풍요로워진다”는 의미이다.

그런데 이 세상은 비선형적인 것처럼 보인다. 뉴턴역학에 따르면 빅뱅이 시작될 때부터 모든 것은 정해져버렸고 미래와 과거 현재의 차이는 없고 분기점도 없고 오로지 일련의 사건이 늘어지는 시간의 흐름뿐이다. 

결정론적인 세상에서는 될놈은 무조건 될 놈이였고 안될놈은 무엇을 해도 안되고 심지어 그 무엇조차도 결정되어 있다.

너가 이 글을 보는 것도 어떠한 수를 쓰더라도 보게 되있었다. 결코 당신은 이 운명을 벗어날 수 없다는 의미이다.

 미래는 단 한개, “자유의지”란 있을 수 없다는 것이다.

 가령 너가 먼저 행동을 하고 이에 따라 내 뇌가 맞추어 착각을 하는 것이 자유의지라는 주장도 있었지만,

이러한 뜨거운감자가 되고 있을 때 “양자역학”이 대두 되는데 가령 사고실험을 생각해보자 확률적으로 1000개중 500개는 통과되는 물질이 있다면 1개를 통과시킬때는 통과할까?

통과하지 않을까? 답은 50%다.

다시 말해서 결정되어 있지 않다는 의미이다.

여기서 중요한점은 확률로써 세상이 움직여진다는 것이다. 미래는 결정되어 있지 않다.

이러한 불확정성원리에 대해 아인슈타인이 태클을 얼었는데 이때 언급한 것이 “신은 주사위를 굴리 않는다.”고 하며 세상은 이미 결정되어 있는 것을 측정하는 것이라고 한다. 다시 말해서 아무도 달을 보지 않는다고해서 달이 없는건 아니라는 의미이다.

불확정성원리는 단지 “숨은 변수”를 못 찾았기때문이라고 한다. 이때 “벨”이 또다시 태클을 거는데 숨은변수가 있다고 치면 우주의 모든 현상이 벨 부등식을 만족시키지 않는가?에 설명을 아무도 하지 못했다.

이에 라플라스 악마는 반박불가에 빠져버렸고 세상은 확률적이라는 것에 다수론이 되버렸다. 요약하자면 세상은 복잡하고 조금이라도 초기조건이 달라지면 그 결과는 아예 달라진다. 그런데 우리는 초기조건조차 정확하게 측정하지 못하고 그 결과조차 확률적으로 도출되며 측정하기 전에는 결정되어 있지도 않다.

다시 말해 우리의 미래는 결정되어 있지 않으므로 지금이라도 열심히 사는게 우리의 초기조건을 확률적으로나마 도움받는 것이다.

독일의 물리학자인 베르너 하이젠베르크가 제안했다고 알려진 물리학 이론.
수학의 불완전성 정리와는 다르다. 이쪽은 쿠르트 괴델이 증명했다.

가장 대표적인 것으로, 입자의 위치와 운동량은 일정수준의 정확도 이상으로는 동시에 측정되지 않는다는 것이 있다. 불확정성 원리는 양자역학에 대한 추가적인 가정이 아니고 양자역학의 통계적 해석으로부터 얻어진 근본적인 결과이다. 하이젠베르크의 불확정성 원리는 위치-운동량에 대한 불확정성 원리이며, 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정할 수 없다는 것을 뜻한다. 위치가 정확하게 측정될 수록 운동량의 퍼짐(또는 불확정도)은 커지게 되고 반대로 운동량이 정확하게 측정될 수록 위치의 불확정도는 커지게 된다. 위 수식에서 위치 변화량과 운동량 변화량의 곱은 상수여야 하는데, 위치 변화량이 0으로 되어 '위치 측정이 완전히 정확하게 될 경우'에는 운동량 변화량이 무한대가 됨으로 인해 '운동량에 대한 정보가 완전불명 수준이 되어야' 두 값의 곱이 상수가 될 수 있다. 에너지와 시간의 변화량의 곱도 같은 관계이며, 비단 이뿐만 아니라 파동의 형태로 기술할 수 있는 많은 물리량이 이런 관계를 따른다. 이는 물체가 슈뢰딩거 방정식[3]을 따르며 거동한다면 필연적으로 나타나는 결과이다. 이로 인해 보어의 원자 모델은 버려졌다(혹은 개선되었다).

2. 잘못된 이해(하이젠베르크의 현미경)[편집]

방 안에 헬륨 풍선이 하나 둥둥 떠다닌다고 해 보자. 방 안은 캄캄한 데다 당신은 안대를 차고 있기 때문에 앞을 전혀 볼 수 없다. 헬륨 풍선을 확인할 수 있는 방법은 손에 있는 막대기를 휘저어서 풍선을 치는 방법 뿐이다. 헬륨 풍선은 매우 가볍기 때문에, 당신이 아무리 세심하게 막대기를 휘두른다고 해도, 풍선을 건드려서 위치를 확인하는 순간 헬륨 풍선은 다른 장소로 날아서 이동하게 된다. 따라서 당신은 헬륨 풍선의 정확한 위치를 알 수 없으며, 단지 어디쯤 존재할 것이라고 추측만 할 수 있다.

즉, 전자의 위치와 운동량을 전자로부터 직접 알아낼 수 있는 방법은 없으며, 빛이나 다른 입자[4]를 전자와 충돌시켜서 알아내야만 한다. 그런데 빛이나 다른 입자를 전자에 충돌시키는 순간, 전자의 위치와 운동량은 변화하게 되므로 우리는 현재 전자의 위치와 운동량은 알 수 없고, 단지 추측만 할 수 있을 뿐이다.

그러나 이는 불확정성 원리를 쉽게 이해하게 한답시고 그 내용을 완전히 왜곡한 한 예이다. 실제 불확정성 원리는 '관측의 부정확'에 있는 것이 아니다. 막대기가 풍선을 건드려도 막대기가 풍선에 가한 에너지가 0이라 풍선의 운동이 전혀 영향을 받지 않을 상황을 가정하더라도, 풍선의 위치는 주위와 상호작용을 하든 안하든 상관없이 불확정적이다. 즉 풍선의 정확한 위치라는 것이 애초에 우주에 존재하지 않는다. 단, 우리가 막대기로 풍선을 건드리는 순간 파동함수가 붕괴되어 특정한 값으로 풍선의 위치가 관측되는 것일 뿐이다. [5]

사실 이러한 비유로 인해 많은 사람들이 불확정성 원리를 완전히 잘못 이해하고 있으며, 이 예는 아주 나쁜 예라고 할 수 있다. 그럼에도 불구하고 실제로 불확정성이 생기는 이유를 일반인에게 쉽게 설명할 방법이 없으므로 아직도 쓰이는 예이다. 그 이유 중 하나는 이 원리를 발견한 하이젠베르크 본인이 만든 설명이기도 하기 때문이다.[6] (또한 이 설명은 전자의 이중-단일 슬릿의 관찰 조건 변화에 따른 실험적 결과와도 일치하지 않는다!)

3. 좀 더 자세한 설명[편집]

우선 제일 먼저 유의해야 할 것은, 어떠한 '관측'을 할 때, 그러니까 다른 어떤 것과 상호작용을 하면서 물리량 중 하나가 직접 관여하게 될 때는, 심지어는 에너지가 전혀 연관되어 있지 않는 관측(물리적으로 불가능하지만)을 하더라도 불확정성은 존재한다. 이는 위에 있는 풍선 비유 등의 잘못된 비유로 불확정성을 배운 사람이 받아들이기 힘든 결과일 것이나, 양자역학적(엄밀히 말하자면 통계역학적 성질)으로 예측되는 결과이다.

저 관계의 참 뜻은, 수만(혹은 그 이상)개의 사건을 통해서 위치와 운동량을 동시에 측정한다고 했을 때, 위치와 운동량에 대해서 평균값을 구할 수 있지만, 구한 평균값을 통해서 표준편차를 구하였을 때, 위치의 표준편차와 운동량의 표준편차가 0이 되지 않는다[7]고 두 표준편차의 곱이 $\mathrm{\hslash }/2$의 관계로 묶여 있다는 것을 의미한다.

완벽하게 앞뒤가 같은 동전을 수만번 던지는 실험을 했다 하자. 그러면 던진 횟수 당 앞, 혹은 뒤가 나온 경우의 수 비율은 1/2가 된다. 이를 통해, 우리는 실험이 종료한 후에 다음에 동전을 던졌을 때, 앞이 나올 기대를 1/2 확률만큼 존재한다고 주장할 수 있게 된다. 반면, 어느 이상한 동전은 수만번 던져 볼 때 마다 항상 앞이 나온다면, 우리는 직접 던지지 않고도 앞면(표준편차가 0 인 상태)이 나올것이라고 기대할 수 있다.

즉, 표준편차 두개 모두 0이될 수 없다라는 뜻 자체는 다음에 위치와 운동량을 측정했을 때, 표준편차에 따라 다른 값을 가질 수 있는 확률이 존재한다는 뜻이며, 평균적으로 표준편차크기만큼 벗어날 뿐, 더 많이 벗어난 값도, 덜 벗어난 값도 측정가능하다. 이것은 어떤 상태에 대해서 명확하게 위치와 운동량을 지정할 수 없다는 뜻으로 확장된다.

그런데 세상만사가 단순하게 돌아가는 것은 아니라서, 어느 일정한 온도를 유지하는 기체나 고체, 혹은 액체만 바라보더라도, 물질속 원자(혹은 분자)들 모두가 독립적으로 운동하지 않으며, 서로 충돌을 하면서 에너지를 교환하게 된다. 그래서 각 원소가 가지게 될 운동량 크기의 평균값은 분명 볼츠만 상수로 정의되는 물리계 전체의 운동량 크기값과 같지만, 속으로 들어가면 다른 원소(혹은 분자)와 충돌해서 평균값보다 더 큰 값이나 적은 값을 가지는 원자(혹은 분자)가 있을 수도 있다.

우리가 확률이란 개념을 도입하여 사용하면 사용할 수록, 부분적으로 평균값에서 벗어나는 수가 늘어나며, 오차를 매울 수 있는 방법은 존재하지 않는다.[8] 다만, 코펜하겐 해석에 따라 파동함수를 정의하면, 위와 같이 위치와 운동량의 표준편차가 연결되어 있으며, 표준편차 곱 최소값은 $\mathrm{\hslash }/2$이다.

그런데 코펜하겐 해석에 쓰여 있는 것 같이, 파동함수는 불변하길 바라는데 정보를 측정할 때마다 다른 물리량이 측정된다는 뜻으로 보인다. 이를 통해서 우리가 파동함수를 통해 위치만을 잘 측정해서 규정 하였고,이후에 운동량을 측정하는 것으로 관점을 바꿔 운동량을 잘 측정하게 되었다면, 위치를 측정한 이후의 운동량을 측정하는 순간 파동함수가 변화해야한다라는 해석에 도달한다. 겉으로 보기에 코펜하겐 해석을 위반 한 것처럼 보이나, 우리가 위치를 측정하기 위해서는 물리계 전체를 나타내는 불변한 파동함수 중 위치에 대한 정보를 선택적으로 뽑아야, 위치를 정확하게 알 수 있다라는 점이다. 즉, 파동함수 원형 자체는 여전히 유일하고 불변적이나 부분적으로 우리가 선택한 정보만이 관측에 의해서 변화(혹은 파괴)된다는 것을 의미 하기 때문에, 실상 문제는 없다.[9][10]

다른 예를 들어 보자. 어떤 입자의 운동량을 매우 정밀하게 측정해서 위치를 정확하게 알 수 없다고 가정한다. 측정된 위치의 오차가 1m라고 하고 실험 기구의 오차가 1mm라 할 때, 측정할 때 이 입자는 어떻게 보이겠는가? 사람들은 입자가 1m 범위에 뿌옇게 흐려져 있는 상황을 상상하고, 불확정성이 1m이기 때문에 실험기기의 오차가 1mm인 것은 무의미하다고 생각할 것이다. 그러나 이것은 참이 아니다. 실제로는 관측을 하면 실험기기의 오차인 1mm 안쪽의 정밀도로 위치를 알아낼 수 있다. 다만 그 입자가 가질 수 있는 위치의 범위가 1m일 뿐이다. 그러한 상황의 동일한 입자 여럿을 두고 하나씩 꺼낸 다음에 위치를 측정해 보면 그 위치는 1mm 안쪽의 정밀도로 결정되나 분포가 1m에 걸쳐져 있다. 여기서 같은 입자의 위치를 여러 번 측정하지 않는 이유는 실험의 엄밀성을 위해서이다.

서두에서도 언급되어 있듯이, 입자의 위치와 운동량은 동시에 어떠한 정확도 이상으로는 측정되지 않는다는 것은 물체가 슈뢰딩거 방정식을 따르며 거동한다면 필연적으로 나타나는 결과이다.
웨이브 패킷의 일반적인 모양[11]
양자역학에서 미시 세계의 물질은 이처럼 한 '점'이 아니라 (비교적) 넓은 영역에 걸쳐서 확률적으로 존재한다.[12] 여기서 위치 $x$의 정확성을 높히기 위해 위치를 파동함수 위의 특정 범위로 제한하고자 한다면, 나머지 영역의 함수값은 버려야 하므로 결과적으로 운동량의 정확도가 제한된다.[13] 반대로 운동량을 더 정확하게 알아내고자 한다면 파동함수에서 보다 넓은 영역을 고려해야 하므로 위치 $x$는 그만큼 더 불확정해진다.[14] 이는 상술했다시피 미시 세계의 물질들이 입자이자 동시에 파동이기 때문에 수학적으로 도출되는 한계이며, 관측 장비의 실용적, 또는 물리적 한계와는 무관하다. 불확정성의 "원리"라고 명명된 것도 이 때문.[15]

보다 직관적으로 설명하자면, 사실 '나무를 보면 숲이 보이지 않고, 숲을 보면 나무가 보이지 않는다' 와 같은 이야기이다. 어떤 나무(입자)가 숲에서 어디에 위치해 있는지를 보기 위해서는 멀리 떨어져서 숲 전체를 보아야 한다. 그런데 그러면 그 특정한 나무가 어떤 특성(운동량)을 가졌는지에 대해서는 알기 힘들다. 그렇다고 접근해서 그 나무에 대해 측정하면 그 나무의 특성은 알 수 있게 되겠지만, 숲 전체에서 그 나무가 어디에 위치하는 지는 알 수 없게 되는 것이다. 나무와 숲이야 움직이지 않으니 두 관측 결과를 조합해서 숲과 나무에 대해 확정적인 정보를 얻을 수 있겠지만, 불확정성 원리에서 말하는 입자와 파동은 결코 멈추지 않으므로 이 원리를 극복하는 것은 불가능하다.