정리 4.20 (연속 역함수 정리)

[염태은]

교수님께서 정리 4.20을 설명하실 때, 구간이 아니면 정리가 성립하지 않는다의 예시를 그래프로 나타내주셨습니다.

이 때 빨간색 함수의 역함수를 파란색으로 나타내시고 점선으로 표시한 곳이 불연속이 돼서 정리가 성립하지 않는다고 설명하셨는데요,

정리를 읽어보면 구간 I에서 정의된 함수 f의 역함수가 f(I) 에서 순단조&연속이라 적혀있어서 헷갈리네요..!

교수님 필기상으로는 I에서 불연속 점 발생으로 보이는데, 이 부분도 맞지만 정리 상으로는 y축의 f(I)를 기준으로 볼 때 불연속이라고 생각해야 하는걸까요?

또한 f:I->R 가 I에서 순단조&연속이면 f의 역함수는 I에서 순단조&연속이다가 성립되는지 궁금합니다!


감사합니다 :)

[김성희]

빨간색 함수는 I에서 연속입니다. 그래프가 떨어져있어서 불연속처럼 생각될 수 있지만 정의역이 두 구간의 합이므로 주어진 함수는 연속입니다. 그리고 f(I)가 파란색 함수의 정의역이므로 f(I)를 x축에서의 집합으로 보면 됩니다.

그리고 마지막 질문에선 f의 역함수의 정의역은 f(I)이므로 I와 전혀 다른 집합일 수도 있습니다.