수학이야기...소수(素數)의 법칙

[인향만리]

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누구나 동의하듯이 수학의 가장 근본적인 대상은, 하나(1) 둘(2) 셋(3)으로 나가는 자연수처럼 세는 수다. 그런 숫자들 중에서 2, 3, 5, 7,11,13으로 나가는 소수(素數)는 특별하다고 여겨진다. 여기서 소수는 자신과 1로만 나눠지는 수를 말한다.

그렇다면 이 소수는 당최 모두 몇 개가 있는 건가? 이 질문은 기원전 3세기 유클리드가 첨 제기했는데, 그는 “무한히 많은 소수가 존재한다”고 했다. 이 명제에 대한 유클리드의 언급은, 아마도 수학 역사상 최초의 진실로서 아름다운 추론이 되겠다.

일단 소수가 무한히 많음을 알게 되었으니, 다음 질문이 당연히 이어질 것이다.
이 소수들은 어떤 규칙으로 흩어져 있는가? 즉 특정 패턴이라도 있냐 말이다.

이 소수를 바라보는 인간의 마음과
무관하게도, 소수는 복잡하고 절대적인
어떤 實在(실재)를 자신 속에 숨기고 있는 듯하다. 이 소수야말로 초월적으로 불가사의하다.

그렇다면 아예 법칙이 읎는가? 얼핏 보면 원칙이 없어 보이는 이 소수(素數)는, 놀랍게도 법칙을 따른다.

사진: 가우스(리만의 스승)

1792년 가우스가 불과 15살 때, 그는 흥미로운 걸 알아차렸다. 무작위 같은 소수에서 보이는 어떤 규칙성 말이다.

즉, ‘어떤 특정 숫자에 이르기까지 소수가 몇 개인지를 알려면, 그 수를 자연로그(ln)로 처리하면 얻을 수 있다’는 걸 찾아낸 거다.

가령, 1부터 1,000,000까지 소수가
몇 개인지 알려면 전자계산기를 꺼내 1,000,000을 친 다음에, 그걸 ln(1,000,000)으로 계산하면 되는데, 72,382라는 숫자가 나온다.

100만까지의 실제 소수의 갯수는 78,498인데~ 계산기를 두들겨서 나온 72,382와 8% 정도 차이가 난다. 하지만 숫자가 100만보다 점점 더 커질수록 그 차이(%오차)는 0에 가까워진다.

그런데 가우스는 자연수가 무한히 커져갈수록 소수들이 점차 줄어드는 현상을 ‘자연로그함수’가 알려준다는 것을 증명할 수가 없었다.

사진: 베른하르트 리만

훗날 그 소수(素數)의 fantasy 속을 잠시 들여다본 사람이 바로 B. 리만이었다. 1859년 8쪽 밖에 안되는 논문에서 그는 소수의 비밀이랄까 불가사의를 간파한 듯한 내용을 발표했다.

리만은 과거 오일러가 제안했던 제타함수에서부터 그 작업을 시작했다.

오일러는 이 함수가 오직 實數(실수) 값을 갖는다고 보았다. 그러나 리만은, 제타함수를 실수가 아닌 '복소수' 영역까지 확장시켰다.

여기서 복소수는 실수와 허수로 이뤄진다. 이렇게 복소수는 실수와 허수 두 부분을 가지므로, 두 개의 ‘차원’이라고 말할 수도 있다.

다시 말해 실수(實數)처럼 직선을 형성하는 게 아니라, 평면을 형성한다는 거다. 리만은 그 제타함수를 직선이 아닌 평면(복소평면)으로 확장시킨 것이다.

그는 말한다. “복소평면 위의 모든 점 하나하나는 height(높이)를 결정한다”고~

따라서 제타함수를 넓게 바라보면, 마치 모든 방향으로 영원히 뻗어있는 산과 언덕, 그리고 계곡들로 이뤄진 추상적 풍경(제타 풍경)을 연상시킨다.

리만에 의하면~ 제타 풍경에서 가장 흥미로운 것은, 고도(높이)가 0인 점들이다. 마치 해수면 위의 점처럼~ 이 點(점)들을 가리켜 제타 함수의 영점(zero)이라고 한다.

왜 0이냐구? 이 점(點)에 대응하는 복소수를 제타함수에 대입하면,
그 결과 값이 0으로 나오기 때문.

바로 이 제타함수의 0점들을 이용하여 리만은 경이로운 일을 해낼 수가 있었다.
즉, 사상 최초로 무한히 많은 소수들이
어케 배열되는지를 ‘정확하게’ 나타내주는 공식을 내놓았던 것.

이런 발견 덕에, 전술했듯이 수학은 멋진 음악처럼 하모니를 형성할 수 있었다.

다시 말해 제타함수의 各 0점들을 리만의 소수공식(제타함수)에 대입하면, 순수 음악을 닮은 파동이 나온다. 비유적으로 말해서~ 이 순음(純音: 단일 주파수 소리)들을 모두 결합시키면, 음악의 和聲 화성처럼 소수들만의 하모니가 생성된다.

이 제타함수가 말해주는 제타풍경 內의 어느 특정한 0점(고도가 0)의 위치는, 거기에 대응하는 음표의 높이와 세기로 결정된다.

특히 그 0점(零點)이 동쪽으로 멀리 떨어져 있을수록 마치 음의 세기가 더 커지는 것처럼 된다.

더 나아가 모든 0점이 제타풍경의 세로로 된 가는 띠(일직선)에 놓여있을 때에야 비로소 소수들은, 오케스트라가 하모니를 이루듯이 어느 한 악기 소리가 다른 악기 소리를 죽이지 않게 되는 거다.

(훗날에는 0점들의 간격조차도 의미를 지니고 있음을 어느 수학자가 밝혀내기도 했다ㅡ>이 대목은 다음 기회에)

여기서 한 걸음 더 나아가 리만은,
“제타 풍경의 모든 0점이 남에서 북으로 향하는 어떤 선(임계선)을 따라 ‘정확하게’ 배열되어 있다”고 말했다.
이것이 저 유명한 <리만 제타 가설>이다.

무한한 소수들이 제타 풍경의 무한한 0점들처럼 집단을 이루며 서로 인접하고 있다는 것은, 마치 마법(magic)과도 같은 것이다.

그런데 이 0점들이 어디에 위치하는지를 계산하는 건, 쉬운 일이 아니다. 많은 수학자들이 그 0점들의 위치를 찾았지만, 그래봐야 겨우 수백 개 밖에 되지 않았다.

이후로 컴퓨터가 수십억 개의 0점들을 찾아냈는데~ 그 0점들 각각은 정확히 한 개의 선(임계선)에 놓여 있었다.

이쯤 되면 리만 가설이 참(眞)일 가능성이 높아지는데, 문제는 제타 풍경의 무한히
먼 지점까지 탐사하려면 서두에서j 언급한
그 100만년이 지나야 할지 모른다는 점이다.^^

즉 그때 가서야 0점(零點)들의 진정한 실체가 드러날지 모른다는 얘기다.

리만 가설을 고수하는 다수의 수학자들은, 그 가설의 ‘미학적’ 근거에서 그렇게 말하는 것일지도~
즉 리만 가설이 참인 것이, 참이 아닌 것보다 더 단순하고 이름다우며,
또한 그 가설이 참이라야 소수들의 분포가 내추럴하다고 여기는 거다.

일부 수학자들은 “자신들이 플라톤적 우주(現 문명뿐만 아니라 미래 문명까지 초월하는 우주)를 살피는 천문학자와도 같다”고 말하기도 한다.

어느 수학자는 한술 더 떠서 “소수들의 수열(數列)은 우리 주위의 물리학적 實在들보다 훨씬 더 영원한 실재성을 지니고 있으며, 이걸 완벽히 이해하려면 100만 년이 걸릴지도 모른다”라고~

소수는 ‘제타함수’를 정의한다.
그 제타함수는 ‘0점’을 정의한다.
글구 그 0점들은 ‘소수의 비밀’을 품고 있다.
과연 그 비밀이 100만 년까지나 갈까?

기다리다 지친 혹자는, 러셀의 소설 <수학자의 악몽> 속 쥔공처럼

“썩 꺼져라! 이 골 때리는 넘아~
너는 편의상 만든 '기호'에 지나지 않을 뿐이니~”라고 말할지도 모를 일이다.^^

“훗날 핵전쟁으로 모든 것이 파괴된 세상에서 살아남은 먼 미래 世代의 아이들에게 문명 재건을 위해 딱 한마디만 남긴다면, 뭐라 하겠냐”고 생전의 리처드 파인만에게 누군가가 물었더니~

파인만은 다음과 같이 대답했다.
“모든 물질은 원자로 이루어져 있다.”
(그 원자만큼이나 소수도 중요하리라)

리만가설은, 다음과 같은 추측을 말한다.
“제타함수의 자명하지 않은 모든 0점의 실수부는 1/2다.
<리만 제타함수가 0을 만족하는 모든 자명하지 않은 根(근)의 실수부는 1/2이다>”
이 한 문장을 풀어서 설명하기 위해 지금까지 비유로써 폿팅했음을~^^

- 천문학, 우주를 사랑하는 사람들-
글 : 킹스맨

[인향만리]

소수와 제타함수 0점...
제타함수가 0을 만족하는 자명하지않은 실수부는 1/2...

0점들이 한개의 선에 일직선으로 인접해서 놓여있는 마법같은 현상...

이 소수의 규칙이 우주의 신비를 품고있다??

[김덕신]

윗글을 읽으니 무극,태극,황극이었음

[인향만리]

허수는 실수가 아닌 복소수이다.

실수 a, b와 허수단위 i로서 a+bi인 형식으로 나타내지는 수를 일반적으로 복소수라고 한다. 

계산할 때는 i를 마치 문자와 같이 보고 계산하여 i2이 나타나면 그것을 -1로 바꾸는 규칙에 따라서 계산한다.

a+bi에서, b=0일 때, 이것은 실수 a와 동일하다. 

한편, a+bi에서 a=0일 때, 즉 허수부만 남은 경우는 순허수(純虛數)라고 한다.

[인향만리]

유리수와 무리수를 통틀어 실수라 한다.

즉,실수는 무리수,양의정수,0,음의정수,정수가 아닌 유리수로 이루어진다

무리수는 순환하지 않는 무한소수이다(예 원주율 파이)

무리수는 분수 a/b(a, b는 정수, b≠0)의 꼴로 나타낼 수 없다.

서로 다른 임의의 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있고, 수직선은 실수에 대응하는 점으로 완전히 매워져 있다.

즉 수직선은 실수를 나타내는 직선이다.

[인향만리]

우리가 한 점으로 나타낼수 있어 수직선을 이루는 수를 실수라고 할때,

무리수 중 순허수(순환하지많는 소수)는 본인의 수를 제곱을 해야만, 실수인 음의 실수 (-)로 나타납니다.

즉 허수자체는 점으로 나타낼 수 없고, 제곱하면 음(-)의 작.용.만 한다?

우주는 ㆍ점으로 존재하는 실수인 입자와 1:1대칭점으로써 허수인 비물이 존재하는데...
비물질은 물질인 입자에 음(-)의 작용을 한다로 해석해야 될까요?

[인향만리]

실수와 허수의 합으로 이루어진 복소수는... 물리에서 전자의 특성을 닮은 것이 되나요?

입자였다가 입자가 아니었다가...

[바람과 비]

실생활에 가까운 數 만을 터득하는것도 재미있는 일입니다
천부경을 안다는사람들이 복잡하게 數를 풀어 그소리가그소리처럼 들리는데
천부경 안에 들어있는 數는 99數입니다

그런고로 81字 에 99를 더하면 180 입니다.
지구둘레 半 입니다
180이 되는 해에 地開闢이 일어납니다.....
西東에서 東西로 方位가 바뀌는 개벽......

그리고 9.9단에 대해서

1.9= 9
2.9= 18
3.9 =27
4.9= 36

......................5.9= 45..........이 數는 中數라고 합니다

6.9 =54.... 9 18 27 36 54 ====144=坤策數

7.9= 63
8.9 =72 ......63 72 81====== = 216=乾策數
9.9 =81

中數 45를 빼면 합 360입니다

[인향만리]

천부경 글자수가 81글자이고, 이 81이란 수가 성수이다...

81개 글자 중 숫자글자 수는 31개다
그래서 31이 상수로서 중요하다고 하던데요...

바람과 비님의 99는 천부경에 사용된 숫자 31개들의 合을 말씀하시는지요?