<P>양자역학의 기본틀을 인식(이해가 아니라 ^^;)하기 위해서는 파동역학을 알아야 합니다.</P>
<P> </P>
<P>간단하게(?) 설명하면</P>
<P> </P>
<P>원래 양자역학의 파동역학은 새로운 수학이 아니라 전자기학에서 쓰이던 파동역학과 같은 체계로 이루어져 있습니다. 해석과 적용만이 새로운 거죠..</P>
<P> </P>
<P>전자기파를 단순 사인파로 만든다고 합시다.</P>
<P> </P>
<P>y(t) = A sin ωt</P>
<P> </P>
<P>이것을 해석해보면... 시간이 π/ω 배수가 아닌, t ≠ nπ/ω 인 경우는 어느 시간이든 y 값은 0이 아닙니다. </P>
<P>예로 π/ω = 10 인 경우 시간이 1초 이든 101초이든 10001초이든 심지어 무한대 시간 까지 y 값은 0이 아니죠... 반대로 음수 시간영역에서도 0이 아닌 경우가 무한대까지 걸쳐 있습니다.</P>
<P> </P>
<P>다르게 말하면 단순 사인파는 무한영역에 걸쳐 있습니다(이점이 입자성과의 차이점입니다. 한곳에 존재하는 것이 아니라는 거져... 파동이라는 것은... 파동은 때로는 필드라고 불리기도 합니다)</P>
<P> </P>
<P>따라서, 펄스와 같은 한정된 시간 범위 동안 존재하는 파를 만드려면, 여러 진동수의 사인파를 적정 비율로 섞어서 만듭니다.</P>
<P> </P>
<P>y = A₁ sin ω₁t + A₂ sin ω₂t + A₃ sin ω₃t + A₄ sin ω₄t + ...</P>
<P> </P>
<P>이것의 대표적인 응용중의 하나가 바로 라디오 입니다. 우리가 어떤 방송을 듣고 싶으면 그 방송국 주파수를 맞추자나요... 근데, DJ의 목소리는 단일 음도 아니고 계속 나오는 것도 아니며, 소리가 음절 마디마디마다 끊어져서 소리가 나옵니다.</P>
<P> </P>
<P>즉, 단순 사인파는 아니라는 겁니다. 따라서, 역으로 추정해보면, 방송국 주파수는 대표주파수일뿐 그 주파수만 잡아서는 방송을 들을 수는 없겠죠...</P>
<P>대표 주파수와 그와 비슷한 주파수들을 섞어서 방송국 안테나에서는 발신하는 겁니다.</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>정리해 보면... </P>
<P>어떤 시간 범위, [t, t + Δt] 범위 동안 대부분의 파동이 존재하게 하려면, </P>
<P>주파수 범위, [ω, ω + Δω] 범위 정도의 사인파들을 섞어야 합니다.</P>
<P> </P>
<P>근데, 우리가 원하는 파동을 얻으려면, 다음 한계가 존재합니다.</P>
<P> </P>
<P>Δt Δω > 1</P>
<P> </P>
<P>정확하게 1 은 아니지만, 어느 하나의 범위를 0으로 하기 위해서는 나머지 하나가 무한대 영역을 가져야 한다는 한계를 가집니다.</P>
<P>즉, Δt = 0 으로 하고 싶다면, Δω = ∞ 로... 어떤 정확한 시각에만 펄스를 만드려면 무한개의 여러 진동수 파를 섞어야 합니다.</P>
<P>반대로 Δω = 0으로 하고 싶다면, Δt = ∞로... 즉, 한가지 주파수의 파동을 만드면, 파동이 존재하는 시간은 무한대 영역에 걸쳐 있다는 거져</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>자 양자역학에서는 이런 체계를 그대로 가져옵니다. </P>
<P>이유는 간단... 운동량이 파장의 함수로 나타난다는 실험결과가 발견되면서 입니다.</P>
<P> </P>
<P>위의 논리를 그대로 적용되는 거죠...</P>
<P>위치 범위가 [x, x + Δx] 영역으로 한정 지으려면</P>
<P>운동량의 범위가 [p, p + Δp] 영역으로 나타나게 됩니다.</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>근데 전자기파의 해석을 그대로 살짝 바꿔서 적용하면 안됩니다.</P>
<P>의미는 전혀 다른 것이니까요... Δx 동안 존재한다고 하면 안된다는 거져.. ^^</P>
<P> </P>
<P>다시 첨 식으로 돌아가서 y 함수와 했던 것과 같은식으로 서술 할 수 있습니다.</P>
<P>전자의 상태 |Ψ>를 운동량의 상태들로 표시하면</P>
<P> </P>
<P>|Ψ> = C₁|p₁> + C₂|p₂> + C₃|p₃> + C₄|p₄> + ...</P>
<P> </P>
<P>로 표현할 수 있죠... p들의 분포의 평균이 P 이고 표준편차가 Δp 라고 하면</P>
<P>이 상태의 전자의 위치에 대한 기대치는 X 가 되고, 표준편차는 Δx 가 됩니다.</P>
<P> </P>
<P>즉, 파동함수이긴 한데 전자기학의 경우와는 완전히 다른 확률로 해석을 하게 됩니다.</P>
<P> </P>
<P>X라는 위치 근처에 Δx 정도 범위에 입자가 있을 꺼라고 예측되는 상태에서</P>
<P>입자가 가질 수 있는 운동량의 경우의 수는 평균 P를 기준으로 대략 Δp의 범위 정도 경우의 수를 가진다라고 해석을 합니다.</P>
<P> </P>
<P>여기서, 전자기학에 없는 새로운 개념(수학으로는 표현 안되는)이 있는데</P>
<P>그것이 바로 측정입니다.</P>
<P> </P>
<P>|Ψ> 상태에 있는 전자의 운동량을 측정해버리면, 딱 하나의 운동량 상태로 변질되어 버립니다. 물론 어느 운동량 상태가 될지는 미리 100% 정확도로 예측은 불가능합니다.</P>
<P> </P>
<P>하나의 운동량 상태가 되면 즉시, 위치의 확률 분포도 변질 되어... 위치표준편차가 무한대가 됩니다. 즉, 어디에 있을지 50%로의 정확도로 예측하는 것도 불가능하고... 1%의 정확도로 예측하는 것도 불가능해 진다는 것이죠</P>
<P> </P>
<P>예측 정확도는 0%라는 것을 뜻합니다.</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>저 나름대로 연구해본 결과.... 양자역학에서 알려진 문구 중에 크게 두가지가 잘못되었습니다.</P>
<P> </P>
<P>1. 위치-운동량 동시 측정은 불가능하다.</P>
<P> </P>
<P>이것은 실험을 전혀 모르는 사람이거나, 양자역학을 제대로 분석안한 사람들이 한말 같습니다. 운동량을 측정하기 위해서는 디텍터를 놓을 위치를 결정해야 합니다! 바로 모순이 나오죠...</P>
<P>그리고, 위치와 운동량을 동시 측정하는 방법은 원론적으로는 가능합니다. 바로 EPR 파라독스에서 제시한 방법을 쓰면되져...</P>
<P>아니면 단일슬릿 실험을 해보면 압니다. 슬릿 자체가 운동량의 절대값 크기를 바꾸지는(에너지보전법칙때문) 않기 때문에 슬릿 통과후 스크린에 도착하는 위치로 도착위치에 어떤 운동량으로 왔는지는 알 수 있습니다.</P>
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<P> </P>
<P>2. 위치-운동량을 동시에 가질 수 없다..</P>
<P> </P>
<P>이것은 양자역학이 확률역학이라는 점을 깡그리 무시한 해석입니다.</P>
<P>정확하게는 표준편차가 동시에 둘다 0이 될 수 없다가 정확한 해석입니다.</P>
<P>불확정성 원리에서 불확정성이 뜻하는 것은 확정성의 반대 되는 말이죠..</P>
<P>이 확정성이라는 것은 통계역학에서 100%의 확신을 말하는 겁니다.</P>
<P>투표결과를 미리 예측하는 통계에서 신뢰도가 95%라고 말하는 것은 95%정도만 확실하고</P>
<P>5% 정도 틀릴 수 있다... 즉... 똑같은 상황을 100번 재현하면 95번 정도는 예측이 맞고</P>
<P>나머지 5번은 예측이 틀릴 수 있다는 것을 뜻합니다.</P>
<P>불확정성원리는 확률을 말하는 것이지... 입자가 위치-운동량을 동시에 가질지 안가질지를 말하는 것은 아닙니다. 왜냐하면, 이론이든 실험이든 동시에 안가진다는 것을 증명한적은 없으니까요(증명이 안되니 여지껏 논란이 되는 거죠 ㅋㅋ)</P>
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<STYLE>P{margin-top:2px;margin-bottom:2px;}</STYLE>
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물리적 대상을 측정하는 행위란 "이미 주어진 정보" 를 끄집어 내는 것이 아닙니다. 제가 보기엔 anti 님의 말씀이 다른 분들이 말씀하시는 어느 설명보다 현대 양자역학과 가장 가깝습니다. 고전역학과 양자역학의 "시스템" 이란 분명히 틀리고, 양자역학의 "상태" 는 고전시스템의 방식으로 결정되지 않습니다.
동시에 측정하는건 가능한데 동시에 정확히 측정하는건 불가능하단 말씀이시죠?? 근데 그걸 묻고 있는게 아니라 어떤책에보니 측정과 상관없이 실.제.로 입자의 위치와 운동량은 정확한 값을 갖지 않는다라고 써있어서...;; 그게 상식적인 개념으론 이해가 안되서 질문을 드렸던 거예염.^^;;
동시에 측정하는 것도 가능하고 정확히 측정하는 것도 가능합니다. 따라서, 위치와 운동량이 정확한 값을 갖는 것도 가능합니다. 하지만(!) 양자 시스템에서는 이것을 가지고 아무것도 할 수가 없습니다. 고전시스템은 이 정보가 그 시스템의 어떤 "상태" 를 기술하지만 양자역학에서는 그렇지 않습니다.
이것을 충분히(?) 많이 측정한 후에 얻어지는 "통계적 분포" 들 만이 양자시스템을 기술합니다. 불확정성의 원리는 이 "측정" 을 이야기하지 않습니다. 따라서, 언젠가 이야기 한 것처럼 이 통계분포가 다음 측정에 대한 결과를 정확히 예측하게 해 주지 않습니다. 오로지 <<이 통계적 분포에 기인한>>
밝히리님 ... operator는 측정이 아닙니다. 측정에 대응하는 수학적 연산자 입니다. 연산자가 commute 하지 않는 다는 것은 둘의 통계적 표준편차가 동시에 0이 될 수 없음을 말합니다.. 게다가... 실험의 호환성(?, compatible)을 뜻하는 거지... 측정 못한다는 뜻하는 것이 아닙니다.
하이튼..........분명한사실은..........제가 수학공부 좀 해야겠네염.....^_^;; 물론 수학적 태크닉은 양자역학공부의 필요조건이지 절대 충분조건이 아니라는 사실...ㅜㅜ;; 제가 느낀건....사람의 언어는 일상생활에서만으로 정의되니 물리학적으로 강력한 언어의 국어사전을 따로 만들었으면...-_-;;(햇갈리다는말)
첫댓글 흐음....anti님은 현대 양자론과 약간 다른 견해이신가 보군요....하이튼.....근데 왜 책에는 측정을 하지 않더라도 위치-운동량의 정확한 값은 동시에 존재하지 않는다라고 써있죠?? 흐미;;;;; 아니면 아직도 논란의 대상?^^;;
물리적 대상을 측정하는 행위란 "이미 주어진 정보" 를 끄집어 내는 것이 아닙니다. 제가 보기엔 anti 님의 말씀이 다른 분들이 말씀하시는 어느 설명보다 현대 양자역학과 가장 가깝습니다. 고전역학과 양자역학의 "시스템" 이란 분명히 틀리고, 양자역학의 "상태" 는 고전시스템의 방식으로 결정되지 않습니다.
불확정성 원리란, 같은 대상이라 하더라도 A라는 정보를 알기 위한 양자시스템과 B라는 정보를 알기 위한 양자시스템은 서로 다르고, 순차적으로 이루어진 둘 사이의 정보를 알아내는 과정에서 결정되는 "공통의 상태"가 없음을 기본으로 이끌어낸 통계적 표준편차의 범위입니다.
안티님 말씀대로 <불확정성 원리 = 두 정보가 동시에 존재할 수 없음> 의 해석은 양자역학에서 증명되거나 실험된 적이 없습니다.
성은님께, antivirs님의 글대로 '위치-운동량 동시측정은 불가능하다'는 틀린 말입니다. 하지만 위치-운동량의 정확한 값을 동시에 측정하는 것은 불가능합니다.
동시에 측정하는 것, 가능합니다.
동시에 측정하는건 가능한데 동시에 정확히 측정하는건 불가능하단 말씀이시죠?? 근데 그걸 묻고 있는게 아니라 어떤책에보니 측정과 상관없이 실.제.로 입자의 위치와 운동량은 정확한 값을 갖지 않는다라고 써있어서...;; 그게 상식적인 개념으론 이해가 안되서 질문을 드렸던 거예염.^^;;
동시에 측정하는 것도 가능하고 정확히 측정하는 것도 가능합니다. 따라서, 위치와 운동량이 정확한 값을 갖는 것도 가능합니다. 하지만(!) 양자 시스템에서는 이것을 가지고 아무것도 할 수가 없습니다. 고전시스템은 이 정보가 그 시스템의 어떤 "상태" 를 기술하지만 양자역학에서는 그렇지 않습니다.
이것을 충분히(?) 많이 측정한 후에 얻어지는 "통계적 분포" 들 만이 양자시스템을 기술합니다. 불확정성의 원리는 이 "측정" 을 이야기하지 않습니다. 따라서, 언젠가 이야기 한 것처럼 이 통계분포가 다음 측정에 대한 결과를 정확히 예측하게 해 주지 않습니다. 오로지 <<이 통계적 분포에 기인한>>
<<확률>> 만이 다음 측정에 대한 유일한 정보입니다. "불확정성 원리"란 근본적으로 우리가 원하는 다른 물리량들에 대한 이 <<통계적 분포>> 와 그에 포함된 표준편차들의 곱이 최소값을 갖는다는 것을 말합니다. 그뿐입니다.
운동량과 위치를 동시에 정확히 측정하는 것은 불가능합니다. position operator와 momentum operator가 commute 하지 않기 때문이지요.
밝히리님 ... operator는 측정이 아닙니다. 측정에 대응하는 수학적 연산자 입니다. 연산자가 commute 하지 않는 다는 것은 둘의 통계적 표준편차가 동시에 0이 될 수 없음을 말합니다.. 게다가... 실험의 호환성(?, compatible)을 뜻하는 거지... 측정 못한다는 뜻하는 것이 아닙니다.
하이튼..........분명한사실은..........제가 수학공부 좀 해야겠네염.....^_^;; 물론 수학적 태크닉은 양자역학공부의 필요조건이지 절대 충분조건이 아니라는 사실...ㅜㅜ;; 제가 느낀건....사람의 언어는 일상생활에서만으로 정의되니 물리학적으로 강력한 언어의 국어사전을 따로 만들었으면...-_-;;(햇갈리다는말)