세상을 바꾼 5 개의 수 -π ＜ 넘버스 ＞

[인향만리]

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옮긴곳 : 천문학,우주를 사랑하는 사람들
글쓴이 : KFK


<넘버스>는 수학과 과학의 역사에서 아주 중요한 수 다섯 개를 선별해 각각에 담긴 철학적, 역사적 의미를 탐색한 책이다.

EBS 다큐멘타리로 방송된 내용을 책으로 엮은 것이라 내용도 그렇게 어렵지 않고 재미있다.

원주율 π(파이)의 역사에 관한 이야기의 출발점은 고대 이집트, 그리스, 중국의 수학자들로부터 시작된 ‘원과 정사각형의 관계’다.

저자들은 만물의 본원적 형상 중 하나인 원(하늘)과 정사각형(땅)이라는 기하학 도형 속에서 π가 탄생한 내력을 밝혀나가는 과정이 참 흥미롭다.

두 남자가 마주 보고 서 있다. 한 사람은 주 문왕의 아들이자 주나라 건국시조 무왕의 동생인 주공이다. 그 앞에 마주선 이는 바로 전설 속 산술의 대가로 알려진 상고라는 사람이다.

주공이 상고에게 묻는다.

“하늘은 계단을 밟아 오를 수가 없고, 땅은 자를 얻어 잴 수가 없소. 그 수들은 어디서 나온 것이오?”

주공이 천지의 이치를 따지고자 던진 말인데, 상고의 대답은 좀 의외다.

“그 수들의 법은 원과 정사각형으로부터 나왔는데, 원은 정사각형으로부터 나오고, 정사각형은 곡척(직각)으로부터 나오고, 곡척은 9x9=81로부터 나온 것입니다.”

직각과 제곱수를 보니 피타고라스 정의가 생각난다. 아마도, 중국의 상고는 피타고라스보다 수 백 년 전에 그 정의를 알고 있었는지 모르겠다.

어쨌든 이 수수께끼 같은 답에서 우리는 기하학의 기본 도형인 원과 정사각형을 만난다.

π는 그리스어로 둘레를 뜻하는 단어인 περιμετρος의 앞 글자를 따서 부르기 시작했다고 한다.

욕조에서 부력의 원리를 발견하고 “유레카!”를 외쳤던 아르키메데스가 여기도 등장한다.

실제로 그가 평생을 연구한 분야는 원에 관한 연구였다고 한다. 그는 연구 끝에 이런 결론에 이른다.

“원의 넓이는, 밑변이 원둘레와 같고 높이가 반지름과 같은 직각 삼각형의 넓이와 같다.”

그의 방식을 따라가 보자. 먼저 원을 네 조각을 내어 펼치자.

그와 똑같은 모양을 위에 끼워 맞춘다. 두 개의 원을 위아래로 붙인 셈이다.

이 원을 계속해서 더 잘게 조각낸다. 처음의 부채꼴은 잘게 쪼갤수록 점점 더 직성에 가까워진다. 그러다가 마침내 직사각형에 아주 가까운 도형이 될 것이다.

여기에서 직사각형의 절반인 직각삼각형은 원 하나의 넓이와 같다. 그리고 원둘레가 바로 직각삼각형의 밑변이다.

직각삼각형의 넓이= 1/2 × (높이) × (밑변)
                               = 1/2 × (반지름) × (원둘레)
                                = 원의 넓이

원의 문제를 직각삼각형의 문제로 바꾼 것은 획기적인 아이디어였다.

그러나, 남은 문제가 있다. 원의 넓이를 알려면, 원둘레를 알아야 하는데, 그럼 원둘레는 어떻게 구할까?

지름이 1인 원에 각각 내접, 외접하는 정육각형이 있다. 지름이 1이므로 반지름은 1/2이다. 내접하는 육각형의 둘레길이가 3이 나온다. 외접하는 육각형의 둘레는 피타고라스 정리를 이용하면, 3.4641이 나온다.

따라서 원둘레는 3과 3.4641 사이에 있는 것을 알 수 있다.
(잘 따라오고 계신지~~~)

이렇게 계속해서, 정12각형, 정24각형, 정48각형으로 늘리면서, 각각의 둘레 길이를 구해보자.

두 둘레의 간격이 좁아져 점점 원둘레 값에 다가갈 것이다.

아르키메데스는 기원전 3세기에 자와 컴퍼스만 이용해서, 모래나 양피지에 그림을 그려가며 96각형까지 정확하게 원둘레 값을 구했다고 한다.

계산해 보면, 3.1408과 3.1429 사이에 원둘레 값이 있다는 것이다.

근대로 넘어오면서, 데카르트는 좌표라는 개념을 발명함으로써 기하학을 방정식이라는 대수학으로 표현하게 되었다.

원주율이란 원의 지름과 둘레의 비율, 곧 우리가 π라고 부르는 것이다.

원의 넓이는 ‘반지름x반지름x π'이므로 반지름이 1인 원의 넓이는 π다. 따라서 같은 넓이를 가진 정사각형을 작도하려면 한 변이 루트 π인 정사각형을 작도해야 한다. 이것이 가능할까?

다시 말해, x²-π=0인 해를 가질 수 있는가?

1882년 린데만은 파이가 ‘초월수’임을 밝혀내며 방정식의 근이 될 수 없음을 증명했다.

초월수란 유리수를 계수로 갖는 어떠한 방정식도 만족시킬 수 없는 (근이 될 수 없는)수이며, 복소수의 범위까지 걸쳐 있다.

결국 파이는 인간의 힘으로 결코 닿을 수 없는 존재이며, 원적문제는 풀 수 없는 불가능의 영역이었다는 말이다.

고대 중국인들은 원을 ‘하늘의 도형’으로 여겼다. 그들은 그때부터 π가 초월수란 것을 알았던 것은 아닐까?

[인향만리]

인간이 수를 만들어 놓고, 나중에 기호를 만들고...
그 것으로 증명되는 것을 참으로 규정하고 있지요~

그런데 원주율π라는 '개념'을 만들어서 원의 넓이도 구하고 있는데...
결국 π는 인간이 닿을 수 없는 '초월수'라고 하네요~^^

[인향만리]

어쨌든 재미있는 것은 원圓은 理性의 세계에서 정확히 계산될 수 없으며, 따라서 정확하게 그려질 수도 없다는 것입니다.

서양과학은 진리의 증명을 수학으로 했는데...이러면 참 곤란해지는 것?ㅎㅎ

[인향만리]

고대 주나라 상고가 대답한...
" 원은 직각에서 나오고, 직각은 9×9=81에서 나온다"는 말을

제 실력으로는 도저히 이해를 못하겠습니다~^^

[김덕신]

예전에 감명깊게 본 걸작다큐입니다.

학교에서 수학시간에 공식외우기말고 이렇게 역사와 철학으로 수학에 다가갔으면 월매나 좋았을까 생각했더랬지요.

[인향만리]

네~ 수학도 과학도 교육방법이 획기적으로 달라져야 되는데...

인문학적 상상력을 가미해서 흥미를 유발해야하는데...

공식외워서 주어진 시간에 답맞추기 연습만하니...다 입시제도 폐해이겠죠

[김덕신]

전공과 직업이 눈에 안보이는 전기,전자,무선통신이라 수학으로 밥벌어 먹지만 지금도 어렵습니다.

서프라이즈에서 방영한 사고로 뇌를 다쳐 모든 사물이 숫자로 보인다는 사람이 월매나 부럽던지...

언젠가 이 바닥을 보니 수학천재들이 이 세상을 설계하고 판은 정치가와 권력자들이 만들드라구요.

삐양가서 살고 싶네요
~♪ヽ(´▽｀)/

[인향만리]

ㅎㅎㅎ 수학천재들이 세상을 설계하고, 권력자들들이 그 판을 운영한다...

[솔구름88]

우리 과학의 불가사의 중 하나.
2천수백년전의
다뉴세문경
우린 그때
돌도끼 ,돌칼 가자고 살았다고
역사책애서 배웠는데

21센치의 둥근구리거울에
원과 직선이 정교하게 기하학적으로 그려져 있는것
무려 13000개의 선.

도대체 이런 수학 과학 기술이 어떻게.?
.지금의 과학기술로도 만들지를 못해.

세계의 수학과 과학이 우리로 부터 우리가 원조
시작이라 할수 있읍니다.

1mm안에 머리카락 굵기의 선을
3개 질서정연하게 그려넣은것.
지금의 수학,과학을 능가한 솜씨.

벌써 수십년이 흘렀네..
삼성전자의 어느 임원
"우리는 다뉴세문경을 만든 조상을 가진민족이다
우리의 피속엔 그 유전자가.."
머잖아
남북한이 수학.과학대국이 될것입니다.

[솔구름88]

며칠전 인향만리님이
여기에 아주 좋은글
,보기쉽지 않은글 .

닐스보어의 양자역학을
그 어려운걸 아주쉽게 올렸던데
양자역학을 체계적으로 완성한
대 뭏리학자 닐스보어가
양자에 대한 문장(문양, 도안)을 그렸눈데
놀랍게도 우리 태극을....
..
우리조상은 가마득히 오랜 세월이전
우주의 원리와 태극을 알고
우주와의 교류를 태극으로 연구한 민족입니다,,

[인향만리]

솔구름님의 글을 읽고보니 반도체 나노공정 시대를 열어가는 우리나라가 필연 같네요~^^

요즘 화학도 택극원리에 입각해서 연구하시는 분들도 계신것 같습니다.

양자컴퓨터, AI시대도 우리나라가 주도할 수도 있을지 과연...
진짜 수학 같은데...

[다삶]

상고님의 답변중에서 원은 직각에서 나온다는 뜻은...
원을 그리는 방법에서 유추해 볼 수가 있읍니다.
못두개에 실을 묶고 하나는 땅바닥에 꽂아 고정시키고 나머지는 직각방향으로 당기면 땅바닥에 원이 그어집니다.
이건 누구나 아시는 것이지요.
그러나 구구팔십일은 전혀 모르겟군요.

[인향만리]

댓글 고맙습니다~
직각은 두각의 교차를 전제로 하는거라...
본문의 그림 즉, 원을 계속 직각으로 무수히 작게 쪼개는 원리? 방식?이 아닐까 싶습니다만...
결국 결과는 직각사각형 모양이 되니까요~^^