<P>
<STYLE>P{margin-top:2px;margin-bottom:2px;}</STYLE>
보존량에 대해 양자역학에서는 다음과 같이 기술합니다...</P>
<P> </P>
<P>"시간의 양함수가 아닌 가관측량(observable) A가...</P>
<P>해밀토니안 연산자 H와 교환가능하면 물리량 A는 보존된다..."</P>
<P> </P>
<P>이렇게 말하는 이유는 가관측량 A의 기대값의 시간 미분이...<BR>슈뢰딩거 방정식에 의해 다음과 같이 표현되기 때문입니다..</P>
<P> </P>
<P>d<STRONG><FONT color=#c001cb><A></FONT></STRONG>/dt = i/ħ<[H, A]> + <∂A/∂t>. (1)</P>
<P> </P>
<P>해밀토니안과 가환이고 시간의 양함수가 아니라면 우변은 0 이되고...<BR>연산자 A의 "기대값"은 시간에 따라 변하지 않습니다...</P>
<P> </P>
<P>제가 강조하고 싶은 것은 거시적인 보존 법칙이...<BR>양자역학에서는 "<STRONG><FONT color=#c001cb>기대값</FONT></STRONG>"의 보존으로 나타난다는 것입니다...<BR>운동량 보존법칙, 에너지 보존 법칙, 각운동량 보존 법칙 등은...<BR>해당되는 연산자의 기대값의 보존으로 나타납니다...</P>
<P> </P>
<P>만약 계를 기술하는 해밀토니안이 잘 알려진 경우라면...<BR>가관측량 A의 변화는 식 (1)에 의해 모든 시간에 대해 계산될 수 있습니다...<BR>그러나 측정에 의한 계의 변화에서는 해밀토니안 H가 잘 정의되지 않습니다...<BR>다만 측정 전의 상태와 측정 후의 상태 함수를 알고 있다면...<BR>측정 전후의 상태함수에 대한 연산자 A의 기대값 계산으로써...<BR>가관측량 A가 보존되었는지 혹은 어느 정도의 변화가 있는지 확인할 수 있습니다...</P>
<P> </P>
<P>측정되는 양은 <FONT color=#0162f4><STRONG>고유값(eigen value)</STRONG></FONT>, 그리고 보존되는 양은 <FONT color=#c001cb><STRONG>기대값</STRONG></FONT>입니다...</P>
<P>예를 들어 입자가 두 에너지 고유 상태의 중첩 즉...</P>
<P> </P>
<P> |ψ> = c1 |E1> + c2 |E2> (2)</P>
<P> </P>
<P>에 있었다고 합시다... 에너지 측정에 의해 E1 혹은 E2가 측정되는데... </P>
<P>측정 후의 상태는 에너지 고유 상태인 |E1> 혹은 |E2> 가 됩니다....</P>
<P>이 과정에서 에너지 보존 법칙이 성립하려면....</P>
<P>측정 과정이 에너지의 교환을 동반해야합니다....</P>
<P>만약 측정 후 상태 함수가 |ψ'> = |E2> 였다면..</P>
<P>에너지의 기대값의 변화는 </P>
<P> </P>
<P> <ψ'|H|ψ'> - <ψ|H|ψ> = E2 - (c1² * E1 + c2² * E2) (3)</P>
<P> </P>
<P>가 되고 이 만큼의 에너지가 측정과정에서 공급되어야 합니다....</P>
<P> </P>
<P>결론적으로 말하면 측정은 확률적으로 물리량(연산자)의 <STRONG><FONT color=#0162f4>고유값</FONT></STRONG>을 얻게 하지만...</P>
<P>그 고유값을 얻기 위한 비용은 지불해야 합니다....</P>
<P>측정과정에서 보존량의 <FONT color=#c001cb><STRONG>기대값</STRONG></FONT>이 변했다면 그 만큼은 외부로부터 채워지거나 버려져야합니다...</P>
<P>기대값의 보존은 거시적으로 보존되는 물리량이 만족해야하는 최소한의 조건이라 생각됩니다...</P>
<P> </P>
<P>이제 위치 측정에 의해 자유 입자의 상태함수가 델타함수가 되는 경우...<BR>델타함수로 표현된 상태의 에너지 기대값을 계산해 보겠습니다...<BR>위치 공간에서 델타함수로 표현된 상태는 운동량 공간에서 상수함수가 됩니다....<BR>자유입자의 해밀토니안이 H = p²/2m 이므로...<BR>에너지 기대값을 운동량 공간에서 계산하는 것이 편리합니다...</P>
<P> </P>
<P> <H> = 적분 (-∞에서 +∞까지) 상수 × p²/2m dp (4)</P>
<P> </P>
<P>적분 결과는 무한대입니다... <BR>제곱적분이 가능하지 않은 함수를 쓰기 때문에 계산이 곤란하다면...<BR>극한을 취해서 델타함수가 나오는 sinc 함수나 가우시안 함수의...<BR>푸리에 변환을 써서 계산하고 나중에 극한을 취하면 됩니다...<BR>확인해 보면 알겠지만, 답은 마찬가지 무한대가 나옵니다.. </P>
<P><BR>위치 공간에서의 파동 함수 폭이 좁을 수록 운동에너지 "기대값"은 커집니다...<BR>앞서 설명했듯이 에너지 "기대값"의 커짐은 공급해야 할 에너지의 커짐을 의미합니다...</P>
<P> </P>
<P>입자를 작은 공간에 가두는 것은 쉬운 문제가 아닙니다...<BR>수소원자 안에 있는 전자에게 보어 반경(바닥 상태)보다...<BR>더 작은 궤도가 존재하지 않는다는 것을... <BR>현대 물리 시간에 불확정성의 원리를 근거로 계산해 보았을 것입니다...<BR>입자가 차지하는 공간이 좁아질수록 운동량의 불확정성이 증가하는데...<BR>물리적으로는 단순히 운동량이 더 모호해진다는 것만을 의미하지 않습니다....<BR>운동량의 모호성이 커지면 운동에너지가 증가합니다....</P>
<P>보어 반경 보다 더 작은 궤도를 고려한다면...<BR>그 안에서 전자는 쿨롱력에 의한 속박 에너지보다 운동에너지가 더 커져서...<BR>속박에서 풀려나게 됩니다....</P>
<P> </P>
<P>참고로 양자 입자의 경우 운동에너지의 커짐이 곧바로 운동량의 커짐을 의미하지 않습니다...</P>
<P>운동량(p)의 기대값은 0이면서 운동 에너지(p²/2m)의 기대값은 0이 아닌 경우가...<BR>고전적인 직관으로 상상하기 힘들지만 양자계에서는 흔히 있습니다...<BR>가령 수소 원자 내에서 전자의각운동량(L) 양자수가 1 이고, 부양자수가 m=0 인 경우...<BR>각운동량의 크기는 0이 아니면서... 각운동량 벡터의 기대값은 0이 됩니다...<BR>양자 입자는 이런 기묘한 방식으로 모든 보존 법칙(물리적 요구)를 만족하고 있습니다...</P>
<P> </P>
<P>마지막으로 antivirs님의 사고 실험에 있는 슬릿과 관련해서 논해보겠습니다...</P>
<P>우선 슬릿 벽의 두께(슬릿 구멍의 크기가 아닙니다...)는 유한 해야 합니다...</P>
<P>너무 얇아서 0 이 되면 벽이 없는 것과 마찬가지이고 또 얇으면 터널링에 의해 구멍 아닌 곳으로 통과할 수도 있으니까요...</P>
<P>그런데 에너지-시간 불확정성 원리에 의하면 매우 짧은 시간 동안에는 어딘가에서 에너지를 빌려 올 수 있습니다...</P>
<P>이것 때문에 양자 세계에서는 에너지 보존 법칙이 엄밀하게 성립하지 않는다고 말하기도 하는데...</P>
<P>어쨌든 거시적인 보존 법칙의 요구 때문에 빌려온 에너지는 </P>
<P> </P>
<P> Δt ≒ ħ / (2 ΔE) (5)</P>
<P> </P>
<P>라는 시간 내에 돌려 주어야 합니다...</P>
<P> </P>
<P>입자는 크기가 0인 구멍을 통과하는 동안 무한 대의 에너지 상태에 놓이게 됩니다...</P>
<P>무한대의 에너지는 식 (5)에 의해 무한히 짧은 시간 동안만 가능합니다....</P>
<P>그러나 벽의 두께가 유한하므로 유한 시간동안 무한 에너지가 지속되어야 합니다...</P>
<P>즉 구멍 크기가 0인 슬릿은 어떤 입자도 통과할 수 없습니다....</P>
<P> </P>
<P>결론적으로 작은 구멍과 관련된 실제적인 현상을 이야기하고 마치겠습니다...</P>
<P>포톤을 사용한 회절 실험에서 슬릿의 구멍이 빛의 파장보다 작으면...</P>
<P>포톤은 그 구멍을 통과해 진행할 수 없습니다...</P>
<P>이런 이야기는 광학 책을 찾아보면 직접 확인 할 수 있을 겁니다...</P>
<P>또 마이크로파의 도파관 이론에서도 도파관의 구멍 크기가 파장 보다 작으면...</P>
<P>마이크로파의 진행하는 모드가 생기지 않습니다...</P>
<P>evanescent wave라고 해서 지수함수적으로 감소하는 필드가 있을 뿐입니다...</P>
<P>그래서 도파관은 cutoff 주파수라고 해서 이 주파수 보다 낮은 주파수의 필드는 전송이 불가능합니다...</P>
<P> </P>
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첫댓글 Very excellent !! 이런 훌륭한 글 때문에 물리바다에 오는 보람이 생깁니다. 책에선 알 수 없는 엄청난 정보를 아는 재미. 도대체 어떤 분이시길래 이렇게 양자에 정통했을까? 님의 글을 보면 감탄이 끊이지 않습니다.